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创新设计浙江专用2016


【创新设计】 (浙江专用)2016-2017 学年高中数学 第一章 集合与 函数概念 习题课 函数及其基本性质课时作业 新人教版必修 1
1.已知 y=f(x)与 y= x+3+ 1-x是相等的函数,则函数 y=f(x)的定义域是( A.[-3,1] )

? 1 ? B.?- ,2? ? 4 ? ? 1 ? D.?- ,+∞? ? 4 ?

? 1 ? C.?- ,2? ? 4 ?

解析 由于 y=f(x)与 y= x+3+ 1-x是相等的函数,故二者的定义域相同.又因为 y = x+3+ 1-x的定义域为{x|-3≤x≤1},故选 y=f(x)的定义域为[-3,1]. 答案 A 2.若奇函数 f(x)在区间[3,6]上是增函数,在区间[3,6]上的最大值为 8,最小值为-1, 则 2f(-6)+f(-3)的值为( A.10 ) C.-15 D.15

B.-10

解析 由题意,f(x)在区间[3,6]上也为增函数,所以 f(6)=8,f(3)=-1,故 2f(-6) +f(-3)=-2f(6)-f(3)=-15. 答案 C 3.若对于任意实数 x, 都有 f(-x)=f(x), 且 f(x)在区间(-∞, 0]上是增函数, 则( A.f(-2)<f(2) )

? 3? B.f(-1)<f ?- ? ? 2? ? 3? D.f(2)<f ?- ? ? 2? ?3?>f(2). ?2? ? ?

? 3? C.f ?- ?<f(2) ? 2? ? 3? (0,+∞)上是减函数,∴f ?- ?=f ? 2?
答案 D

解析 根据题意可知,f(x)是偶函数.∵f(x)在区间(-∞,0]上是增函数,∴f(x)在区间

4.函数 f(x)满足:f(x+1)=x(x+3),x∈R,则 f(x)的最小值为________. 2 ? 1? 9 所以 2 2 解析 由 f(x+1)=x(x+3)=(x+1) +(x+1)-2 得 f(x)=x +x-2=?x+ ? - , ? 2? 4

f(x)的最小值是- .
9 答案 - 4 5.(2016·辽宁朝阳市重点中学期中)函数 f(x)=

9 4

ax+1 在区间(-2,+∞)上是增函数, 则 x+a

a 的取值范围是________.
1

2 ? ?a -1>0, ax+1 a2-1 ? 解析 f(x)= =a- ,若 f(x)在(-2,+∞)为增函数,则 解 x+a x-(-a) ? ?-a≤-2,

得 a≥2. 答案 [2,+∞) 6.已知函数 f(x)=x+ ,且 f(1)=3. (1)求 m; (2)判断函数 f(x)的奇偶性. 解 (1)∵f(1)=3,即 1+m=3,∴m=2.

m x

2 (2)由(1)知,f(x)=x+ ,其定义域是{x|x≠0},

x

2 ? 2? 关于原点对称,又 f(-x)=-x+ =-?x+ ?=-f(x),所以此函数是奇函数. -x ? x? 7.(1)如图①,给出奇函数 y=f(x)的局部图象,试作出 y 轴右侧的图象并求出 f(3)的值;

图①

图②

(2)如图②,给出偶函数 y=f(x)的局部图象,比较 f(1)与 f(3)的大小,并试作出 y 轴右 侧的图象. 解 (1)奇函数 y=f(x)在 y 轴左侧图象上任一点 P(-x,-f(x))关于原点的对称点为

P′(x,f(x)),下图为补充后的图象.易知 f(3)=-2.

(2)偶函数 y=f(x)在 y 轴左侧图象上任一点 P(-x,f(x))关于 y 轴的对称点为 P′(x,

f(x)),下图为补充后的图象.易知 f(1)>f(3).

2

8.设函数 f(x)在 R 上是偶函数,在区间(-∞,0)上递增,且 f(2a +a+1)<

2

f(2a2-2a+3),求 a 的取值范围.
解 由 f(x)在 R 上是偶函数,在区间(-∞,0)上递增, 可知 f(x)在(0,+∞)上递减. 2 ? 1? 7 2 ∵2a +a+1=2?a+ ? + >0, ? 4? 8 2 ? 1? 5 2 2a -2a+3=2?a- ? + >0, ? 2? 2 且 f(2a +a+1)<f(2a -2a+3), 2 2 2 ∴2a +a+1>2a -2a+3,即 3a-2>0,解得 a> . 3
2 2

?2 ? 故 a 的取值范围是? ,+∞?. ?3 ?
能 力 提 升 9.已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则 g(1) 等于( A.4 ) B.3 C.2 D.1

解析 由题意知:f(-1)+g(1)=-f(1)+g(1)=2,①

f(1)+g(-1)=f(1)+g(1)=4,②
①+②得 g(1)=3. 答案 B 10.已知定义域为 R 的函数 f(x)在区间(8,+∞)上为减函数,且函数 y=f(x+8)为偶函 数,则( ) B.f(6)>f(9) D.f(7)>f(10)

A.f(6)>f(7) C.f(7)>f(9)

解析 因为函数 y=f(x+8)为偶函数,其对称轴是 y 轴,所以 y=f(x)的对称轴是直线 x =8.故 f(7)=f(9)>f(10). 答案 D 11.已知 f(x)是定义在[-2,0)∪(0,2]上的奇函数,当 x>0 时,f(x) 的图象如图所示,则 f(x)的值域是________. 解析 当 x>0 时, f(x)的值域是(2, 3].根据奇函数的性质可得, f(x) 的值域是[-3,-2)∪(2,3]. 答案 [-3,-2)∪(2,3] 12.若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足对任意 x1, x2∈[0, +∞)(x1≠x2)都有

f(x2)-f(x1) x2-x1
3

<0,则 f(1),f(-2),f(3)的大小关系是________. 解析 由

f(x2)-f(x1) <0 可 知 , f(x) 在 区 间 [0 , + ∞) 上 为 减 函 数 , 所 以 x2-x1

f(1)>f(2)>f(3).又因为 f(x)是偶函数,所以 f(-2)=f(2),因此 f(1)>f(-2)>f(3).
答案 f(1)>f(-2)>f(3)

x+a 13.已知函数 f(x)= 2是 R 上的奇函数. 1+x
(1)求 a 的值; (2)用定义证明该函数在[1,+∞)上的单调性.

x+a x (1)解 因为 f(x)= 所以 f(0)=0, 解得 a=0, 此时 f(x)= 2是 R 上的奇函数, 2是 1+x 1+x
奇函数. (2)证明 设 x1,x2 是[1,+∞)上的任意两个数,且 1≤x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)=

x1
1+x

2 1



(x2-x1)(x1x2-1) = , 2 2 1+x (1+x1)(1+x2)
2 2 2 2

x2

因为 1≤x1<x2,所以 x2-x1>0,x1x2-1>0,1+x1>0,1+x2>0,所以 f(x1)-f(x2)>0,即

f(x1)>f(x2),所以函数 f(x)在[1,+∞)上是减函数.
探 究 创 新 14.已知函数 f(x),当 x,y∈R 时,恒有 f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证:f(x)是奇函数; 1 (2)如果 x∈(0,+∞),f(x)<0,并且 f(1)=- ,试求 f(x)在区间[-2,6]上的最值. 2 (1)证明 ∵函数定义域为 R,其定义域关于原点对称. ∵f(x+y)=f(x)+f(y),令 y=-x, 则 f(0)=f(x)+f(-x).令 x=y=0, 则 f(0)=f(0)+f(0),得 f(0)=0. ∴f(x)+f(-x)=0,得 f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数. (2)解 设 x1<x2,且 x1,x2∈(0,+∞). 则 f(x2-x1)=f[x2+(-x1)] =f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1). ∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0. ∴f(x2)-f(x1)<0, 即 f(x)在 R 上单调递减. ∴f(-2)为最大值,f(6)为最小值. 1 ∵f(1)=- ,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1, 2
4

f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2)]=-3.
∴f(x)在区间[-2,6]上的最大值为 1, 最小值是-3.

5


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