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高中数学必修三课件1.3算法案例(第3课时)


算法案例
(第三课时) 第三课时)

进位制

[问题1]我们常见的数字都是十进制的, 问题1]我们常见的数字都是十进制的, 1]我们常见的数字都是十进制的 但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的. 但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的. 比如时间和角度的单位用六十进位制,电子计 比如时间和角度的单位用六十进位制, 算机用的是二进制.那么什么是进位制? 算机用的是二进制.那么什么是进位制?不同的 进位制之间又有什么联系呢? 进位制之间又有什么联系呢? 进位制是人们为了计数和运算的方便而 进位制是人们为了计数和运算的方便而 约定的一种记数系统,约定满二进一, 约定的一种记数系统,约定满二进一,就是二 进制;满十进一,就是十进制;满十六进一, 进制;满十进一,就是十进制;满十六进一,就 是十六进制;等等. 是十六进制;等等. “满几进一”,就是几进制 几进制的基数就是几 满几进一” 就是几进制 几进制的基数就是几. 满几进一 就是几进制,几进制的基数就是几 可使用数字符号的个数称为基数. 可使用数字符号的个数称为基数.基数 都是大于1的整数. 都是大于1的整数.

如二进制可使用的数字有0和 基数是 基数是2; 如二进制可使用的数字有 和1,基数是 十进制可使用的数字有0,1,2,…,8,9等十个 等十个 十进制可使用的数字有 数字,基数是 基数是10; 数字 基数是 十六进制可使用的数字或符号有0~9等10 等 十六进制可使用的数字或符号有 个数字以及A~F等6个字母 规定字母 个字母(规定字母 个数字以及 等 个字母 规定字母A~F对应 对应 10~15),十六进制的基数是 十六进制的基数是16. 十六进制的基数是 注意:为了区分不同的进位制, 注意:为了区分不同的进位制,常在数字 的右下脚标明基数,. 的右下脚标明基数,. 如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数. 表示二进制数,34 表示5进制数. 十进制数一般不标注基数. 十进制数一般不标注基数

[问题 十进制数 问题2]十进制数 中的3表示 个千,7表示 问题 十进制数3721中的 表示 个千 表示 中的 表示3个千 表示7 个百,2表示 个十,1表示 个一,从而它可以写成 表示2个十 表示1个一 个百 表示 个十 表示 个一 从而它可以写成 下面的形式: 下面的形式 3721=3×103+7×102+2×101+1×100. × × × × 想一想二进制数1011(2)可以类似的写成什 想一想二进制数 么形式? 么形式 1011(2)=1×23+0×22+1×21+1×20. × × × × 同理: 同理 3421(5)=3×53+4×52+2×51+1×50. × × × × C7A16(16)=12×164+7×163+10×162 × × × +1×161+6×160. × ×

一般地,若 是一个大于 的整数,那么以 是一个大于1的整数 那么以k为 一般地 若k是一个大于 的整数 那么以 为 基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起 基数的 进制数可以表示为一串数字连写在一起 的形式 anan-1…a1a0(k) (0<an<k,0≤an-1,…,a1,a0<k) 意思是:(1)第一个数字a 不能等于0; 意思是:(1)第一个数字an不能等于0; :(1)第一个数字 (2)每一个数字 每一个数字a 都须小于k. (2)每一个数字an,an-1,…,a1,a0都须小于k. ,a k进制的数也可以表示成不同位上数字与 进制的数也可以表示成不同位上数字与 基数k的幂的乘积之和的形式 的幂的乘积之和的形式,即 基数 的幂的乘积之和的形式 即 anan-1…a1a0(k)=an×kn+an-1×kn-1 注意这是一 位数. 位数 1+a ×k0 . 个n+1位数 +…+a1×k 0

[问题 二进制只用 和1两个数字 这 问题3]二进制只用 两个数字,这 问题 二进制只用0和 两个数字 两种状态相对应,因 正好与电路的通 正好与电路的通和断两种状态相对应 因 计算机内部都使用二进制.计算机在进 此计算机内部都使用二进制 计算机在进 行数的运算时,先把接受到的数转化成二 行数的运算时 先把接受到的数转化成二 进制数进行运算,再把运算结果转化为十 进制数进行运算 再把运算结果转化为十 进制数输出. 进制数输出 那么二进制数与十进制数之间是 如何转化的呢? 如何转化的呢?

把二进制数110011(2)化为十进制数 化为十进制数. 例1:把二进制数 把二进制数 分析:先把二进制数写成不同位上数字与 先把二进制数写成不同位上数字与2 分析 先把二进制数写成不同位上数字与 的幂的乘积之和的形式,再按照十进制数的运算 的幂的乘积之和的形式 再按照十进制数的运算 规则计算出结果. 规则计算出结果 解:110011(2) =1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20 × × × × × × =1×32+1×16+1×2+1=51. × × ×

k进制数转化为十进制数的方法 进制数转化为十进制数的方法
先把k进制的数表示成不同位上数字 先把 进制的数表示成不同位上数字 与基数k的幂的乘积之和的形式 的幂的乘积之和的形式,即 与基数 的幂的乘积之和的形式 即 anan-1…a1a0(k) =an×kn+an-1×kn-1+…+a1×k1+a0×k0 . 再按照十进制数的运算规则计算出结果. 再按照十进制数的运算规则计算出结果

301 例:10231(4)=________(10) ) )
235(7) )

124 =________

(10) )

十进制数转化为k进制数的方法 十进制数转化为 进制数的方法
化为二进制的数. 例2:把89化为二进制的数 把 化为二进制的数 分析:把 化为二进制的数 需想办法将89 化为二进制的数,需想办法将 分析 把89化为二进制的数 需想办法将 先写成如下形式

89=an×2n+an-1×2n-1+…+a1×21+a0×20 .

89=44×2+1, 44=22×2+0, 22=11×2+0, × × × × 11=5×2+1, 5=2×2+1, 2=1×2+0, 1=0×2+1, × × × 89=44×2+1, × 可以用2连续去除 连续去除89 可以用 连续去除 或所得商(一直到商为 或所得商 一直到商为 =(22×2+0)×2+1 × × 0为止 然后取余数 为止),然后取余数 为止 =((11×2+0)×2+0)×2+1 × × × ---除2取余法 取余法. 除 取余法 =(((5×2+1)×2+0)×2+0)×2+1 × × × × =((((2×2+1)×2+1)×2+0)× 2+0)×2+1 × × × × × =(((((1×2)+0)×2+1)×2+1)×2+0)× 2+0)×2+1 × × × × × × =1×26+0×25+1×24 × × × +1×23+0×22+0×21+1×20=1011001(2). × × × ×

化为二进制的数. 例2:把89化为二进制的数 把 化为二进制的数
解: 我们可以用下面的除法算式表示除2取余法 取余法: 我们可以用下面的除法算式表示除 取余法

2 89 2 44 2 22 2 11 2 5 2 2 21 0

余数 1 0 0 1 1 0 1

把算式中各步所得的余数 从下到上排列,得到 从下到上排列 得到 89=1011001(2). 这种方法也可以推广为把 十进制数化为k进制数的 十进制数化为 进制数的 算法,称为 称为除 取余法 取余法. 算法 称为除k取余法

化为五进制的数. 例3:把89化为五进制的数 把 化为五进制的数 作为除数,相应的除法算式为 解:以5作为除数 相应的除法算式为 以 作为除数 相应的除法算式为: 余数 5 89 5 17 4 5 3 2 0 3 ∴ 89=324(5).

[问题 你会把三进制数 问题4]你会把三进制数 化为二进制数吗? 问题 你会把三进制数10221(3)化为二进制数吗 第一步:先把三进制数化为十进制数 解:第一步 先把三进制数化为十进制数 第一步 先把三进制数化为十进制数: 10221(3)=1×34+0×33+2×32+2×31+1×30 × × × × × =81+18+6+1=106. 第二步:再把十进制数化为二进制数 第二步 再把十进制数化为二进制数: 再把十进制数化为二进制数 106=1101010(2). ∴10221(3)=106= 1101010(2).

345 ) 例:137(10)=________(6) ) 1110 ) 213(4)=________(3) )

小结
进位制的概念及表示方法; 进位制的概念及表示方法; anan-1…a1a0(k) =an×kn+an-1×kn-1+…+a1×k1+a0×k0 . 各种进位制之间的相互转化. 各种进位制之间的相互转化.



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