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2.2.3 线面平行的性质定理


2.2.3 线面平行的性质定理

必修2

第二章

点、直线、平面之间的位置关系

复习1:直线和平面的位置关系 1、直线和平面有哪几种位置关系? 平行、相交、直线在平面内 2、反映直线和平面三种位置关系的依据是什 么? 公共点的个数 1.直线在平面内——有无数个公共点; 2.直线与平面相交——有且只有一个公共点; 3.直线与平面平行——没有公共点。
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系

复习2:面面平行的判定定理
定理中的线与线、线与面应直线和平面平行的判定定 理是:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该 直线与此平面平行.(线线平行,线面平行) 具备的条件是:一线在平面外,一线在平面内;两直线互 相平行。 平面和平面平行的判定定理是:一个平面内有两条相 交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。 (线不在多,重在相交) 定理中的线与线、线与面应具备的条件是:两条直线必 须相交,且两条直线都平行于另一个平面。 定理的推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平 行于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系

思考:如果一条直线与平面平行,那么
这条直线是否与这平面内的所有直线都 平行?
a c b

?

那 么 直 线 a 会 与 平 面 ?内 那 些 线 平 行 呢 ?
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系

思考: 教室内日光灯管所在直线与地
面平行,如何在地面上作一条直线与灯 管所在的直线平行??
怎样作平行 线?

l

?

a

a

如果一条直线和一个平面平行,经过这条直 线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线 试用文字语言将上述原理表述成一个命题. 平行.
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系

探研新知

已知:如图,a∥α , a ?β ,α ∩β =b。 求证:a∥b。

?
a b

?

证明:∵α ∩β =b,∴b?α ∵ a∥α ,∴a与b无公共点, ∵a?β ,b?β ,∴a∥b。

我们可以把这个结论作定理来用.
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系

线面平行的性质定理
定理:一条直线和一个平面平行,则过这条直线的任一 平面与此平面的交线与该直线平行。 a
图形 α
a 符号语言: a // ? , ? ? ,? ? ? ? b
a // b .

β

b

判定直线与直线平行的重要依据。 作用: 关键:寻找平面与平面的交线。 简述:线面平行,则线线平行
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系

如果一条直线和一个平面平行,则这条直线( D )

A 只和这个平面内一条直线平行;
B 只和这个平面内两条相交直线不相交; C 和这个平面内的任意直线都平行; D 和这个平面内的任意直线都不相交。

必修2

第二章

点、直线、平面之间的位置关系

2.判断下列命题是否正确,若正确,请简述理由, 若不正确,请给出反例.
(1)如果a、b是两条直线,且a∥b,那么a 平行于经过b的 任何平面;( ) (2)如果直线a、b和平面α 满足a ∥ α , b ∥ α ,那么a ∥ b ;( )

(3)如果直线a、b和平面α 满足a ∥ b,a ∥ α ,b ? α , 那么 b ∥ α ;( ) (4)过平面外一点和这个平面平行的直线只有一条.( )
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系

定理的应用
例3:有一块木料如图,已知棱BC平行于面A′C′(1) 要经过木料表面A′B′C′D′ 内的一点P和棱BC将木 料锯开,应怎样画线?(2)所画的线和面AC有什么关 系?

解:(1)过点P作EF∥B’C’, 分别交棱A’B’,C’D’于点E, F。连接BE,CF,则 EF,BE,CF就是应画的线。
A1

D1 P

E

C1

F
D

B1
C B

A
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系

例题示范

例3:有一块木料如图,已知棱BC平 行于面A′C′(1)要经过木料表面A′B′C′D′ 内的一 点P和棱BC将木料锯开,应怎样画线?(2)所画的线和面 AC有什么关系?

(2)因为棱BC平行于平面A'C',平面BC'与平面A'C' 交于B'C',所以BC∥B'C',由(1)知,EF∥B'C', 所以,EF∥BC,因此,EF//BC, EF?平面AC,BC?平面AC.所以,EF//平面AC. BE、CF显然都与平面AC相交。
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系

定理的应用
例4:已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个 平面,求证:另一条也平行于这个平面。 第一步:将原题改写成数学符号 语言 如图,已知直线a,b,平面α,且 a//b,a//α ,a,b都在平面α 外. 求证:b//α. 第二步:分析:怎样进行平行的 转化?→如何作辅助平面?

第三步:书写证明过程
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系

定理的应用
例4 如图,已知直线a,b,平 面α,且a//b,a//α ,a,b都在 平面α 外.求证:b//α.
证明:过a作平面β ,使它与 平面α相交,交线为c. 因为a//α,a ?β ,α ?β =c, 所以 a// c. 因为a//b,所以,b//c. 又因为c ?α, b? α, 所以 b// α。
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系

巩固练习:

线面平行性质定理的简单应用 如图所示,四边形 ABCD 是矩形,P?平 面 ABCD,过 BC 作平面 BCFE 交 AP 于 E,交 DP 于 F.求证:四边形 BCFE 是梯形.

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第二章

点、直线、平面之间的位置关系

[解题过程] 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴BC∥AD, 而AD?平面PAD, ∴BC∥平面PAD. 又∵过BC的平面FEBC与平面PAD的交线为EF, ∴BC∥EF,显然EF=\BC, ∴四边形BCFE是梯形.

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第二章

点、直线、平面之间的位置关系

证明: A C //B D ? A C 与 B D 确 定 一 个 平 面 AD
A B // 平 面 ? AB ? 平 面 A D
平 面 ? ? 平 面 AD ? CD

2、已知:如图,AB//平面? ,AC//BD, 且 AC、BD与 ? 分别相 交于点C, D. 求证:AC=BD

巩固练习:

? A B // C D

A C // B D

? ABC D为
平行四边形
第二章

? AC ? BD

?

必修2

点、直线、平面之间的位置关系

巩固练习:
3.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,H 分别为棱A1B1,D1C1上的点,且EH∥A1D1,过 EH的平面与棱BB1,CC1相交,交点分别为F, G, 求证:FG∥平面ADD1A1.

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第二章

点、直线、平面之间的位置关系

证明: 因为EH∥A1D1,EH?平面BCC1B1, FG?平面BCC1B1, 所以EH∥平面BCC1B1, 又平面FGHE∩平面BCC1B1=FG, 所以EH∥FG, 即FG∥EH∥A1D1, 又FG?平面ADD1A1,A1D1?平面ADD1A1, 所以FG∥平面ADD1A1.

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第二章

点、直线、平面之间的位置关系

巩固练习:
长方体 ABCD - A1 B 1 C 1 D 1中,点 P ? BB(异于 B 、 B 1) 4、 1 PA ? BA 1 ? M , PC ? BC 求证: MN // 平面 ABCD
A1

1

? N,
D1 C1

B1

P M D N C

A

B

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第二章

点、直线、平面之间的位置关系

证明:
连结 AC 、 A 1 C 1 长方体中 A 1 A // C 1 C ? A 1 C 1 // AC AC ? 面 A 1 C 1 A1 C 1 ? 面 A1 C 1
? AC // 面 A 1 C 1 B AC ? 面 ACP A 1 B ? PA ? M ? ? ? 面 ACP ? 面 A 1 C 1 B ? MN PC ? BC 1 ? N ?
A A1

D1

C1

B1

P M D N C

B

? AC // MN MN ? 面 ABCD AC ? 面 ABCD
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系

? MN // 面 ABCD

证法2

(略写)
A1

D1

C1

利用相似三角形对应边成比例 及平行线分线段成比例的性质
? PBM ? PBN

B1

P

∽ ? AA 1 M ∽? CC 1 N
? PN NC

? ?

PM MA PN NC

? ?

PB AA 1 PB
A D

M

N C

CC

B

1

?

PM MA

CC

1

? AA 1

? AC // MN MN ? 面 ABCD AC ? 面 ABCD
? MN // 面 ABCD

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第二章

点、直线、平面之间的位置关系

巩固练习:
5、已知ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD

外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,
画出过G和AP的平面。
P M
G

D H A
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系

C
O

B

反思~领悟:
线面平行的判定定理
线线平行 线面平行 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的 一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。

线面平行的性质定理
线面平行 线线平行

如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的 平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。
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