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2019年最新-高等数学-集合与函数-精选文档_图文

高等数学

y
y?f(x)
N

CM

??

o

x0

T
xx

y

oa x1

b xi?1? i x i xn?1

x

第一节 集合与函数
一、集合 数集 二、函数 三、函数的初等性质 四、函数的运算 五、初等函数 六、小结

一、集合、数集
1. 集合
(1)集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
(2)集合的元素:组成这个集合的事物。
a?M, a?M,
(3)集合表示方法
有限集 A ?{a 1,a2,? ,an}
无限集 M?{xx所具有的}特征
(4)相互关系

2. 两种常见数集
(1)区间(略) (2)邻域:
a)定义: 设a与?是两个, 且 实 ??数 0.
数{x集 x?a??}称 为 a的 ?邻 点 ,域
? ? ? 记 U ( a ,作 )? { x a ?? x ? a ?} .
(a??,a??)

b) 几何解释

?

?

a??

a

a??

x

点a叫做这邻域的中心 ,? 叫做这邻域的半径.

c) 点 a的去 ?邻 心 :域 点 a的 ?邻域去a掉



?
作U(a,?

)?{x0?x?a??}.

例?: ,求 x 使 ? U (0 ,得 ?)时2 , x?3 .有

二、函数
例 圆内接正多边形的周长

S3

S4

?

Sn

?2nrsin n

n?3,4,5,?

S5

S6

圆内接正n 边形
O
?r
n

1. 概念
定 义 设 x 和 y 是 两 个 变 量 , D 是 一 个 给 定 的 数 集 , 如果对于每个数 x ? D, 变量 y 按照一定法则总有 确定的数值和它对应,则称 y 是 x的函数,记作

y?f(x) 数集D叫做这个函数的定义域

因变量

自变量

当 x 0? D 时 ,称 f(x 0)为函 x 0 处 数的 在 . 函 点
函数值全体组成的数集 W?{yy?f(x),x?D}称为函数的 . 值域

函数的两要素: 定义域与对应法则.

( x D x0)

对应法则f

(
W

y f (x0)

自变量
)
因变量

约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值.

例如 y?, 1?x2 例如y, ? 1
1?x2

D:[?1,1] D:(?1,1)

2. 几个特殊的函数举例

(1) 符号函数

y

? 1 当x?0 y?sgnx??? 0 当x?0
???1 当x?0

1

o

x

-1

x?sgxn? x

(2) 取整函数 y=[x]

y

[x]表示不超过 x的最大整数 4

3

2

-4 -3 -2 -1 1o -11 2 3 4 5 x -2 -3 -4

阶梯曲线

(3) 取最值函数

y? mf( a x )g x ,(x ){}y ? mf(ix )n g ,(x ) {}

y

y

f (x)

f (x)

g(x)

o

x

g(x)

o

x

(4) 在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.

例,如 f(x)?? ? ?2 xx 2? ?1 1,,

x?0 x?0

y?x2 ?1

y?2x?1

例1

设 f(x)?? ? ?? 121 0? ?xx? ?2 1,求函 f(x? 数 3)的定 . 义



?f(x)?? ? ??12

0?x?1 1?x?2

? f(x?3)?? ? ?? 121 0? ?x x? ?3 3? ?2 1

?????12

?3?x??2 ?2?x??1

故 Df :[?3,?1]

三、函数的特性
1.函数的有界性: 设函数 f (x)在集合 D上有定义,若存在正常数 B , 使得对任意x?D,有 f(x)?B(或对任意x?D
有f(x)?B),则称 f (x) 在 D上有上界(或有下 界),且称 B为 f (x)在 D上的一个上界(或下界)。
若M?0存在,使得对任意 x?D有| f(x)|?M,
则称 f (x) 在 D上有界;否则称 f (x)为 D上的无界
函数。

y M
y=f(x)

o

x X

-M 有界

y M

x0

oX

x

-M

无界

注:有界的概念与数集紧密相关 如 y?1在 (0,?)? 上无 ,在 [1界 ,?)? 上有 . 界
x

2 函数的单调性:
设函 f(x)的 数定D ,义 区I域 ? 间 D , 为 如果 I上 对任 于 x 1 及 x 2 意 ,区 当 x 1? 两 x 2 间 时 , 点
恒f(有 x1)?f(x2),
则称函 f(x)在 数区 I上 间是单调 ; 增加的

y

y? f (x)

f (x2 )
f ( x1 )

o

x

I

设函 f(x)的 数定D ,义 区I域 ? 间 D , 为

如果 I上 对任 于 x 1 及 x 2 意 ,区 当 x 1? 两 x 2 间 时 , 点

恒f有 (x1)?f(x2),

则称函 f(x)在 数区 I上 间是单调 ; 减少的

y

y? f (x)

f ( x1)

f (x2 )

o

x

单调性是一 .如 个局I部概念

f(x)?x2在区 I1?间 (?? ,0),I2?(0,?? ),I3?(?? ,?? )上。

3 函数的奇偶性(前提是定义域关于原点对称)
设 D 关于原 , 对 点 ? x 于 ? 对 D , 有 称 f( ? x )? f(x )称f(x)为偶函 ; 数
y y?f(x)

f(?x)

f (x)

-x o x

x

偶函数

设 D 关于原 , 对 点 ? 于 x对 ?D , 有 称 f(? x )? ? f(x ) 称f(x)为奇函 ; 数

-x f(?x)

y
o 奇函数

y?f(x)
f (x)
xx

4 函数的周期性: 设函f数 (x)的定义D 域, 如为果存在一个不为零的 数 l,使得对 x?于 D ,(x? 任 l)?D 一 .且 f(x ? l)?f(x ) 恒成立. 则称 f(x)为周期函 ,l称 数 f为 (x)的周 . 期
(通常说周期函数的周期是指其最小正周期).

? 3l 2

?l 2

l 2

3l 2

四、反函数
(1) 反函数的概念及性质
若函数 f:D? f(D )为单射, 则存在逆映射 f?1:f(D)?D
称此映射 f ?1 为 f 的反函数 . 习惯上, y?f(x),x? D 的反函数记成 y?f? 1(x),x? f(D ) 性质: 1) y=f (x) 单调递增 (减) 其反函数 y?f?1(x)存在 , 且也单调递增 (减) .
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2) 函数 y?f(x)与其反函数 y?f ?1(x) 的图形关于直线 y?x对称 .
例如 ,

y y? f ?1(x)

Q(b, a)

y?x y? f(x)

P(a,b)

o

x

指数函数 y?ex,x? (?,? ?? ) 互为反函数 ,
对数函数 y ? lx n ,x ? (0 ,? ? )

它们都单调递增, 其图形关于直线 y?x对称 .

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五 基本初等函数

幂函数

x 指数函数

a

对数函数 a x

三角函数 log a x
反三角函数 sin x cos x等

arcsinx arccoxs等

六 复合运算、初等函数

1.复合函数:设函数y?f(u )u ,??(x) 的定

义域分别为D1,D2. ?的值域为W,且 ?D 1

W . 则y称?函f[?数(x)]

y由?函f(u数)

u及??(x)

复合而成

x?自变u? 量 中, 间变 y?因 量 变 , 量

? ? x ? u ? ( x ) ? y ? f ( u ) ? f [( x )]

内函数

外函数

注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复
合函数的; 函数能复合需满足: W?D 1 例1:y?arcsui,nu?2?x2; y?arcs2in?(x2)
例2:y ? 1? x2 (y ? u,u ?1? x2) 当x ?[?1,1]时,有意义,能复合。 当x ? ?1或x ?1时,不能复合。

2.复合函数可以由两个以上的函数经过复

合构成.

例如y? coxt, 2

y?

u,

u?cov,tv

?

x 2

.

例1

设D(x)????10

x?Q ,
x?Q

求 D (?7)D ,(1?2)并 . 讨 D (D (x)论 的 ) 性 . 质 5

解 D(?7) ? 1, D(1? 2)?0, D (D (x)? )1 , 5 y

单值函数, 有界函数,

1

偶函数,

周期函数(无最小正周期)

o

x

例2 设 f(x )? 2 x ,g (x )? ? ? ? 1 1 ? ? x x ,,x x ? ? 0 0 求 f[g (x )及 ]g [f(x )]

解f[: g(x)]?2g(x)?

?21? x ??21? x

, ,

x x

? ?

0 0.

因 为 对 x?R 任 ,意 都 2x? 有 0,

所 g [f以 (x )? ]1 ? 2 x,x ? (?,? ? )? .

例3

设f(x)?? ?ex, ?x,

x x? ?1 1,?(x)?? ? ?x x2? ?21,,

x?0 ,
x?0

求f[?(x)].



?e?(x), ?(x)?1 f[?(x)]??

??(x), ?(x)?1

10 当 ?(x)?1时 ,

或x?0, ? (x )? x ? 2 ? 1 , 或x?0, ? (x)?x2?1?1,

x??1; 0?x? 2;

20 当 ?(x)?1时 ,

或x?0, ? (x )? x ? 2 ? 1 , ?1?x?0;

或x?0, ? (x)?x2?1?1,

x? 2;

综上所述

?ex?2,

f

[?(x)]?

?? ? ?

x ? 2, ex2?1,

??x2 ?1,

x ? ?1 ?1? x ? 0
. 0? x? 2
x? 2

设f(x)?? ?ex, ?x,

x x? ?1 1,?(x)?? ? ?x x2? ?21,,

x?0 ,
x?0

求f[?(x)].

2 初等函数
由常数及基本初等函数经有限次四则运算 与复合运算构成并可用一个式子表示的函数。

例如 y? coxt,



2

?ex?2, x ? ?1

f

[?(

x)]?

?? x?2, ??ex2?1,

?1? x ? 0 .
0? x? 2

×

??x2 ?1, x ? 2

六、小结
基本概念 集合, 区间, 邻域
函数的概念 函数的特性
有界性,单调性,奇偶性,周期性.
反函数
基本初等函数
复合运算、初等函数

思考题
设?x?0,函数值f(1)?x? 1?x2, x
求函数y?f(x) (x?0)的解析表达式.

思考题解答

设 1?u x



f?u??1?
u

1 1?u2

? 1?

1?u2 , u



1?1?x2

f(x)?

. (x?0)

x



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