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【优化方案】2016年高中数学 第二章 统计 2.1.1简单随机抽样学案 新人教A版必修3


2.1 2.1.1

随机抽样 简单随机抽样

1.问题导航 (1)什么叫简单随机抽样? (2)最常用的简单随机抽样方法有哪两种? (3)抽签法是如何操作的? (4)随机数表法是如何操作的? 2.例题导读 通过教材中的“思考”,我们了解抽签法的优、缺点及适用条件.

1.简单随机抽样的定义 设一个总体含有 N 个个体,从中逐个不放回地抽取 n 个个体作为样本(n≤N),如果每次 抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样. 2.简单随机抽样的分类
?抽签法(抓阄法) ? 简单随机抽样? ?随机数法 ?

3.随机数法的类型 随机数表法 ? ? 随机数法?随机数骰子法 ? ?计算机产生的随机数法

1.判断下列各题.(对的打“√”,错的打“×”) (1)在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能性与第几次抽取有关,第一次抽到的可 能性最小;( ) (2)有同学说:“随机数表只有一张,并且读数时只能按照从左向右的顺序读取,否则产 生的随机样本就不同了,对总体的估计就不准确了”.( ) 解析:(1)在简单随机抽样中,每个个体被抽到的可能性相等,与第几次抽取无关; (2)随机数表的产生是随机的,读数的顺序也是随机的,不同的样本对总体的估计相差并 不大. 答案:(1)× (2)× 2.某校期末考试后,为了分析该校高一年级 1 000 名学生的学习成绩,从中随机抽取了 100 名学生的成绩单,就这个问题来说,下面说法中正确的是( )

-1-

A.1 000 名学生是总体 B.每名学生是个体 C.每名学生的成绩是所抽取的一个样本 D.样本的容量是 100 解析:选 D.该问题中,1 000 名学生的成绩是总体,每个学生的成绩是个体,抽取的 100 名学生的成绩是样本,样本的容量是 100. 3.抽签法的优点、缺点各是什么? 解:优点:简单易行,当总体个数不多的时候搅拌均匀很容易,每个个体有均等的机会 被抽中,从而保证样本的代表性.缺点:当总体个数较多时很难搅拌均匀,产生的样本代表 性差的可能性很大.

1.简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法,简单随机抽样有两种选取个体的方 法:放回和不放回,我们在抽样调查中用的是不放回抽样,常用的简单随机抽样方法有抽签 法和随机数法. 2.随机数表法的优点与抽签法相同,缺点上当总体容量较大时,仍然不是很方便,但是 比抽签法公平,因此这两种方法只适合总体容量较少的抽样类型. 3.简单随机抽样中每个个体入样的可能性都相等,均为 n/N,但是这里一定要将每个个 体入样的可能性、第 n 次每个个体入样的可能性、特定的个体在第 n 次被抽到的可能性这三 种情况区分开来,避免在解题中出现错误.

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简单随机抽样的概念 下面的抽样方法是简单随机抽样吗?为什么? (1)从无数个个体中抽取 20 个个体作为样本; (2)从 50 台冰箱中一次性抽取 5 台冰箱进行质量检查; (3)一彩民选号,从装有 36 个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽取 6 个号签. [解] (1)不是简单随机抽样.因为总体的个数是无限的,而不是有限的. (2)不是简单随机抽样.虽然“一次性”抽取和“逐个”抽取不影响个体被抽到的可能 性,但简单随机抽样的定义要求的是“逐个不放回地抽取”. (3)是简单随机抽样.因为总体中的个体数是有限的,并且是从总体中逐个进行抽取的, 是不放回、等可能地进行抽样. 方法归纳 判断一个抽样是否为简单随机抽样的依据是其四个特征

1.下列抽样方式是否是简单随机抽样? (1)在某车间包装一种产品,在自动包装的传送带上每隔 30 分钟抽一包产品,称其质量 是否合格; (2)某班有 56 名同学,指定个子最高的 5 名同学参加学校组织的篮球赛. 解:由简单随机抽样的特点可知,(1)(2)均不是简单随机抽样.

抽签法的应用 2015 年,某师范大学为了支援西部教育事业,现从报名的 18 名免费师范毕业生中 选取 6 人组成志愿小组,请用抽签法确定志愿小组成员,写出抽样步骤. [解] 抽样步骤是: 第一步,将 18 名志愿者编号,号码是 1,2,?,18; 第二步,将号码分别写在同样大小的小纸片上,揉成团,制成号签; 第三步,将得到的号签放入一个不透明的袋子中,并充分搅匀;

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第四步,从袋子中依次抽取 6 个号签,并记录上面的编号; 第五步,与所得号码对应的志愿者就是志愿小组的成员. 方法归纳 (1)一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点:一是制签是否方便;二是个体之间差异不 明显.一般地,当样本容量和总体容量较小时,可用抽签法. (2)应用抽签法时应注意以下几点: ①编号时,如果已有编号可不必重新编号; ②号签要求大小、形状完全相同; ③号签要均匀搅拌; ④要逐一不放回地抽样.

2.某校高一(1)班有学生 48 人,为了调查某种情况,打算抽取一个样本容量为 10 的样 本,问若采用抽签法抽样将如何进行? 解:首先把该校学生都编上号,号码是 1,2,3,4,?,48.并制成 48 个形状、大小相 同的号签,然后将这些号签放在一个不透明的容器内,搅拌均匀后,逐个无放回地抽取 10 个 号签,这样就可以得到一个容量为 10 的样本.

随机数表法的应用 (2015·衡阳模拟)已知某总体由编号为 01,02,?,19,20 的 20 个个体组成.利 用下面的随机数表选取 5 个个体,选取方法是从随机数表中第 1 行的第 5 列和第 6 列的数字 开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第 4 个个体的编号为( ) 7816 3204 6572 9234 0802 4935 6314 8200 0702 3623 4369 4869 9728 6938 0198 7481

A.08 B.07 C.02 D.01 [解析] 从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列的数字开始由左到右依次选取两个数字, 依次为 65,72,08,02,63,14,07,?,其中 08,02,14,07,?符合条件,故选 B. [答案] B [互动探究] 如将本例中的“从随机数表中第 1 行的第 5 列和第 6 列的数字开始由左到 右依次选取两个数字”改为“从随机数表中第 1 行的倒数第 2 列和第 3 列的数字开始由右到 左依次选取两个数字”,其他条件不变,则选出来的第 4 个个体的编号为多少? 解:从随机数表中第 1 行的倒数第 2 列和第 3 列的数字开始由右到左依次选取两个数字, 依次为 91,08,27,99,63,42,07,04,13,?,其中 08,07,04,13,?符合条件,故 选出来的第 4 个个体的编号为 13. 方法归纳 利用随机数表法抽样时应注意的问题: (1)编号要求位数相同,若不相同,需先调整到一致后再进行抽样,如当总体中有 100 个 个体时, 为了操作简便可以选择从 00 开始编号, 那么所有个体的号码都用两位数字表示即可, 从 00~99 号. 如果选择从 1 开始编号, 那么所有个体的号码都必须用三位数字表示, 从 001~ 100.很明显每次读两个数字要比读三个数字节省读取随机数的时间. (2)第一个数字的抽取是随机的.
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(3)当随机数选定,开始读数时,读数的方向可左,可右,可上,可下,但应是事先定好 的.

3.有一批机器编号为 1,2,3,?,112,请用随机数表法抽取 10 台入样,写出抽样过 程(随机数表见教材 P103 附表). 解:第一步,将原来的编号调整为 001,002,?,112. 第二步,在随机数表中任选一数作为开始,任选一方向作为读数方向.比如,选第 9 行 第 7 个数“3”向右读. 第三步,从“3”开始向右读,每次取三位,凡不在 001~112 中的数跳过去不读.前面 已经读过的数不读,依次可得到 074,100,094,052,080,003,105,107,083,092. 第四步,对应原来编号为 074,100,094,052,080,003,105,107,083,092 的机器 便是要抽取的对象.

易错警示

因基本概念不明致误

为了了解参加第 27 届世界大学生冬运会的 2 015 名运动员的身高情况,从中抽取 100 名运动员进行调查,就这个问题,下面说法中正确的是( ) ①2 015 名运动员是总体;②每个运动员是个体;③所抽取的 100 名运动员是一个样本; ④样本容量为 100;⑤每个运动员被抽到的可能性相等. A.④⑤ B.①②③ C.①②④⑤ D.①②③④⑤ [解析] 抽样的目的是了解参加冬运会的 2 015 名运动员的身高情况, 故总体应该是 2 015 名运动员的身高,而不是这 2 015 名运动员,同理,个体应该是每个运动员的身高,样本应 该是所抽取的 100 名运动员的身高.故①②③都不正确,④⑤正确. [答案] A [错因与防范] (1)解决本题易搞错考察的对象,误认为考察对象为运动员,从而误认为①②③也正确. (2)解决此类问题时,关键是明确考察的对象,根据有关的概念可得总体、个体与样本的 考察对象是相同的.

4.(2014·高考四川卷)在“世界读书日”前夕,为了了解某地 5 000 名居民某天的阅读 时间,从中抽取了 200 名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中,5 000 名居民的阅读 时间的全体是( ) A.总体 B.个体 C.样本的容量 D.从总体中抽取的一个样本 解析:选 A.调查的目的是“了解某地 5 000 名居民某天的阅读时间”,所以“5 000 名 居民的阅读时间的全体”是调查的总体.

1.一个总体共有 15 个个体,用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为 5 的样本,每 个个体被抽到的可能性是( )
-5-

A. C.

1 3 1 10

B. D.

1 5 1 15

5 1 解析:选 A.简单随机抽样具有等可能性,每个个体被抽到的可能性是 = . 15 3 2.下面的抽样方法是简单随机抽样的是( ) A.在某年明信片销售活动中,规定每 100 万张为一个开奖组,通过随机抽取的方式确定 号码的后四位为 2 709 的为三等奖 B.从 20 个零件中一次性抽出 3 个进行质量检查 C.某学校分别从行政人员、老师、后勤人员中抽取 2 人、14 人、4 人了解学校机构改革 的意见 D.用抽签法从 10 件产品中选取 3 件进行质量检验 解析:选 D.根据简单随机抽样的定义及特点可判断 D 为简单随机抽样. 3.在某年的高考中,A 省有 20 万名考生,为了估计他们的数学平均成绩,从中逐个抽取 2 015 名学生的数学成绩作为样本进行统计分析,请回答以下问题:本题中,总体、个体、样 本、样本容量各指什么? 解:总体是指在该年的高考中,A 省 20 万名考生的数学成绩;个体是指在该年的高考中, A 省 20 万名考生中每一名考生的数学成绩;样本是指被抽取的 2 015 人的数学成绩;样本容 量是 2 015.

[A.基础达标] 1.用随机数表法从 100 名学生(男生 25 人)中抽选 20 人进行评教,某男学生被抽到的机 率是( ) A. C. 1 100 1 5 B. D. 1 25 1 4

20 1 解析:选 C.简单随机抽样是等可能性抽样,每个个体被抽到的机率都是 = .故选 C. 100 5 2.(2015·昌乐二中检测)用随机数法进行抽样有以下几个步骤: ①将总体中的个体编号;②获取样本号码;③选定开始的数字;④选定读数的方向. 这些步骤的先后顺序应为( ) A.①②③④ B.①③④② C.③②①④ D.④③①② 解析:选 B.先编号,再选数. 3.下列抽样试验中,适合用抽签法的是( ) A.从某厂生产的 3 000 件产品中抽取 600 件进行质量检验 B.从某厂生产的两箱(每箱 15 件)产品中抽取 6 件进行质量检验 C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱 15 件)产品中抽取 6 件进行质量检验 D.从某厂生产的 3 000 件产品中抽取 10 件进行质量检验 解析:选 B.A、D 中个体总数较大,不适合用抽签法;C 中甲、乙两厂生产的两箱产品性

-6-

质可能差别较大,因此未达到搅拌均匀的条件,也不适于用抽签法;B 中个体数和样本容量均 较小,且同厂生产的两箱产品,性质差别不大,可以看成是搅拌均匀了. 4.某工厂的质检人员对生产的 100 件产品采用随机数表法抽取 10 件检查,对 100 件产 品采用下面的编号方法:①01,02,03,?,100;②001,002,003,?,100;③00,01, 02,?,99.其中正确的序号是 ( ) A.①② B.①③ C.②③ D.③ 解析:选 C.根据随机数表法的要求,只有编号数字位数相同,才能达到随机等可能抽样. 5.(2015·青岛检测)对于简单随机抽样,下列说法中正确的为( ) ①它要求总体的个数有限,以便对其中各个个体被抽取的概率进行分析;②它是从总体 中逐个地进行抽取;③它是一种不放回抽样;④它是一种等概率抽样,不仅每次从总体中抽 取一个个体时,各个个体被抽取的概率相等,而且在整个抽样过程中,各个个体被抽取的概 率也相等,从而保证了这种抽样方法的公平性. A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 解析:选 D.这四点全是简单随机抽样的特点. 6.下列调查的样本合理的是________. ①在校内发出一千张印有全校各班级的选票,要求被调查学生在其中一个班级旁画 “√”,以了解最受欢迎的教师是谁;②从一万多名工人中,经过选举,确定 100 名代表, 然后投票表决,了解工人们对厂长的信任情况;③到老年公寓进行调查,了解全市老年人的 健康状况;④为了了解全班同学每天的睡眠时间,在每个小组中各选取 3 名学生进行调查. 解析:①中样本不具有代表性、有效性,在班级前画“√”与了解最受欢迎的老师没有 关系;③中样本缺乏代表性;而②④是合理的样本. 答案:②④ 7.某中学高一年级有 400 人,高二年级有 320 人,高三年级有 280 人,以每人被抽取的 可能性均为 0.2,从该中学抽取一个容量为 n 的样本,则 n=________. 解析:∵ =0.2, 400+320+280 ∴n=200. 答案:200 8.一个总体数为 60 的个体编号为 00,01,02,?,59,现需从中抽取一个容量为 7 的 样本,请从随机数表的倒数第 5 行(下表为随机数表的最后 5 行)第 11~12 列的 18 开始,依 次向下,到最后一行后向右,直到取足样本,则抽取样本的号码是________. 95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 46 40 62 98 80 54 97 20 56 95 38 79 58 69 32 81 76 80 26 92 15 74 80 08 32 16 46 70 50 80 82 80 84 25 39 90 84 60 79 80 67 72 16 42 79 71 59 73 05 50 24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 08 22 23 71 77 91 01 93 20 49 96 35 23 79 18 05 98 90 07 35 82 96 59 26 94 66 39 67 98 60 解析:先选取 18,向下 81、90、82 不符合要求,下面选取 05,向右读数,07、35、59、 26、39,因此抽取的样本的号码为:18、05、07、35、59、26、39. 答案:18、05、07、35、59、26、39 9.某车间工人加工一种轴 100 件,为了了解这种轴的直径,要从中抽取 10 件轴在同一 条件下测量,如何采用简单随机抽样的方法抽取样本? 解:法一:(抽签法)将 100 件轴编号为 1,2,?,100,并做好大小、形状相同的号签,

n

-7-

分别写上这 100 个数,将这些号签放在一起,进行均匀搅拌,接着逐个不放回地抽取 10 个号 签,然后测量这 10 个号签对应的轴的直径. 法二:(随机数表法)将 100 件轴编号为 00,01,?,99,在随机数表中选定一个起始位 置,如取第 21 行第 1 个数开始(见教材 P103 附表),向右选取 10 个为 68,34,30,13,70,55, 74,77,40,44,这 10 个号码对应的轴即为所要抽取的对象. 10.要从某汽车厂生产的 30 辆汽车中随机抽取 3 辆进行测试,请选择合适的抽样方法, 并写出抽样过程. 解:应使用抽签法,步骤如下: ①将 30 辆汽车进行编号,号码是 1,2,3,?,30; ②将 1~30 这 30 个编号写到大小、形状都相同的号签上; ③将写好的号签放入一个不透明的容器中,并搅拌均匀; ④从容器中每次抽取一个号签,连续抽取 3 次,并记录下上面的编号; ⑤所得号码对应的 3 辆汽车就是要抽取的对象. [B.能力提升] 1.采用简单随机抽样从含有 6 个个体的总体中抽取一个容量为 3 的样本,某个个体前两 次未被抽到,则第三次被抽到的机会是( ) A. C. 1 2 1 6 B. D. 1 3 1 5

解析:选 A.从含有 6 个个体的总体中,抽取容量为 3 的样本,则每个个体在每次被抽到 1 的机会都是 ,这与第几次抽取无关. 2 2.为了了解全校 240 名高一学生的体重情况,从中抽取 40 名学生进行测量.下列说法 正确的是( ) A.总体是 240 B.个体是每一名学生 C.样本是 40 名学生 D.样本容量是 40 解析:选 D.本题中的研究对象是学生的体重,而不是学生自身.总体是 240 名学生的体 重,个体是每一名学生的体重,样本是抽取的 40 名学生的体重,总体容量是 240,样本容量 是 40. 3.齐鲁风彩“七乐彩”的中奖号码是从 1~30 个号码中选出 7 个号码来按规则确定中奖 情况,这种从 30 个号码中选 7 个号码的抽样方法是________. 解析:当总体的个数不多时,宜采用抽签法.因为它简便易行,可用不同的方式制签, 抽签也方便. 答案:抽签法 4.2014 年 10 月 10 日,袁隆平“超级稻”亩产创 1 026.7 公斤新纪录.要考察某种品牌 的 850 颗种子的发芽率,从中抽取 50 颗种子进行试验,利用随机数表法抽取种子,先将 850 颗种子按 001,002,?,850 进行编号,如果从随机数表第 3 行第 6 列的数开始向右读,请 依次写出最先检验的 4 颗种子的编号:________.(随机数表见教材 P103 附表) 解析:从随机数表第 3 行第 6 列的数 2 开始向右读第一个小于 850 的数字是 227,第二个 数字是 665,第三个数字是 650,第四个数字是 267,符合题意. 答案:227,665,650,267 5.某电视台举行颁奖典礼,邀请 20 名港台、内地艺人演出,其中从 30 名内地艺人中随 机挑选 10 人,从 18 名香港艺人中随机挑选 6 人,从 10 名台湾艺人中随机挑选 4 人.试用抽

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签法确定选中的艺人,并确定他们的表演顺序. 解:第一步:先确定艺人:(1)将 30 名内地艺人从 01 到 30 编号,然后用相同的纸条做 成 30 个号签,在每个号签上写上这些编号,然后放入一个不透明小筒中摇匀,从中抽出 10 个号签,则相应编号的艺人参加演出;(2)运用相同的办法分别从 18 名香港艺人中抽取 6 人, 从 10 名台湾艺人中抽取 4 人. 第二步:确定演出顺序:确定了演出人员后,再用相同的纸条做成 20 个号签,上面写上 1 到 20 这 20 个数字,代表演出的顺序,让每个演员抽一张,每人抽到的号签上的数字就是这 位演员的演出顺序,再汇总即可. 6.(选做题)(2015·洛阳高一检测)现在有一种够级游戏,其用具为四副扑克,包括大小 鬼(又称为花)在内共 216 张牌,参与人数为 6 人,并围成一圈.够级开始时,从这 6 人中随 机指定一人从已经洗好的扑克牌中随机抽取一张牌 (这叫开牌),然后按逆时针方向,根据这 张牌上的数字来确定抓牌的先后,这 6 人依次从 216 张牌中抓取 36 张牌,问这种抓牌的方法 是否是简单随机抽样? 解:简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本,而这里只是随机确定了起始 的牌,其他各张牌虽然是逐张抓牌,但是各张在谁手里已被确定,只有抽取的第一张扑克牌 是随机抽取的,其他 215 张牌已经确定,即这 215 张扑克牌被抽取的可能性与第一张扑克牌 被抽取的可能性不相同,所以不是简单随机抽样.

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