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四川省岳池县第一中学高中数学 3.2 一元二次不等式及其解法学案 新人教A版必修5


§3.2 一元二次不等式及其解法(1)
学习目标 1. 正确理解一元二次不等式的概念,掌握一元二次不等式的解法; 2. 理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系,能借助二次函数的图象及一元二次方程 解一元二次不等式. 教学重点 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型;一元二次不等式的解法 。 教学难点 理解二次函数、一元二次 方程与一元二次不等式解集的关系。 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P76~ P78,找出疑惑之处) 复习 1:解下列不等式: 1 1 1 ① x ? ?1 ; ② ? x ? 1; ③ ? x ? 1 ? 0 . 2 2 2

复习 2:写出一个以前所学的一元二次不等式_____________,一元二次函数________________,一元二次 方程___________________

二、新课导学 ※ 学习探究 探究一:某同学要上网,有两家公司可供选择,公司 A 每小时收费 1.5 元(不足 1 小时按 1 小时收费);公 司 B 的收费原则为:在第 1 小时内(含恰好 1 小时,下同)收费 1.7 元,第 2 小时内收费 1.6 元,以后每小 时减少 0.1 元(若一次上网时间超过 17 小时按 17 小时计算). 如何选择?

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归纳:这是一个关于 x 的一元二次不等式,最终归结为如何解一元二次不等式. 新知:只含有____个未知数,并且未知数的最高次数是_______的不等式,称为_______________. 探究二:如何解一元二次不等式?能否与一元二次方程与其图象结合起来解决问题呢? 归纳:解不等式时应先将二次项系数化为正,再根据 图象写出其解集. ※ 典型例题 例 1 求不等式 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集. 二次函数
y ? ax2 ? bx ? c
??0

??0

??0


a ? 0 )的图象

一元 二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0

? a ? 0 ?的根
ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

变式:求下列不等式的解集. (1) x2 ? 2 x ? 3 ? 0 ; (2) ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 .

例 2 求不等式 4 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 的 解集.

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小结:解一元二次不等式的步骤:(1)将原不等式化为一般式.(2)判断 ? 的符号.(3)求方程的 根. (4)根据图象写解集. ※ 动手试试 练 1. 求不等式 4 x 2 ? 4 x ? 15 的解集 .

练 2. 求不等式 13 ? 4 x 2 ? 0 的解集.

三、总结提升 ※ 学习小结 解一元二次不等式的步骤:(1)将原不等式化为一般式( a ? 0 ).(2)判断 ? 的符号.(3)求方程的根. (4)根据图象写解集. ※ 知识拓展
?a ? 0 (1) ax 2 ? bx ? c ? 0 对一切 x ? R 都成立的条件为 ? ?? ? 0 ?a ? 0 (2) ax 2 ? bx ? c ? 0 对一切 x ? R 都成立的条件为 ? ?? ? 0

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 已知方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的两根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,若 a ? 0 ,则不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 的解为( A.R C. x ? x1 或 x ? x2
2

).

B. x1 ? x ? x2 D.无解 ).

2. 关于 x 的不等式 x ? x ? c ? 0 的解集是全体实数的条件是( 1 1 1 1 A. c ? B. c ? C. c ? D. c ? 4 4 4 4 3. 在下列不等式中,解集是 ? 的是( ). 2 2 A. 2 x ? 3x ? 2 ? 0 B. x ? 4 x ? 4 ? 0 2 C. 4 ? 4 x ? x ? 0 D. ?2 ? 3x ? 2 x 2 ? 0 4. 不等式 x 2 ? 3x ? 0 的解集是 . 5. y ? ?2x2 ? 12x ? 18 的定义域为 .

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课后作业 ① 求下列不等式的解集 (1) x 2 ? 3x ? 10 ? 0 ;

(2) x2 ? 4 x ? 5 ? 0 .

2. 若关于 x 的一元二次方程 x2 ? (m ? 1) x ? m ? 0 有两个不相等的实数根,求 m 的取值范围.

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§3.2 一元二次不等式及其解法(2) 学习目标 1. 巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系; 2. 进一步熟练解一元二次不等式的解法. 教学重点 熟练掌握一元二次不等式的解法 教学难点 理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系 学习过程 一、课前准备 复习 1:一元二次不等式的解法步骤是 1.____________________ 3.____________________ 4._______________

2.________________

复习 2: 解不等式. (1) 3x 2 ? 7 x ? 10 ; (2) ?2 x 2 ? x ? 5 ? 0 .

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离 s m 和汽车的速度 x km/h 有如下的关系: 1 1 2 s? x? x . 20 180 在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于 39.5m,那么这辆汽车刹车前的速度是多少?(精确到 0.01km/h)

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例 2 一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量 x(辆)与创造的 价值 y(元)之间有如下的关系: y ? ?2x2 ? 220x 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收 6000 元以上,那么它在一 个星期内大约应该生产多少 辆摩托车?

例 3 产品的总成本 y(万元)与产量 x 之间的函数关系式是 y ? 3000 ? 20x ? 0.1x2 , x ? (0, 240). 若每台产 品的售价为 25 万元,求生产者不亏本时的最低产量.

※ 动手试试 练 1. 在一次体育课上,某同学以初速度 v0 ? 12m / s 竖直上抛一排球,该排球能够在抛出点 2 m 以上的 位置最多停留多长时间?(注:若不计空气阻力,则竖直上抛的物体距离抛出点的高度 h 与时间 x 满足关

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1 系 h ? v0t ? gt 2 ,其中 g ? 9.8m / s2 ) 2

练 2.某文具店购进一批新型台灯,若按每盏台灯 15 元的价格销售,每天能卖 出 30 盏;若售价每提高 1 元,日销售量将减少 2 盏. 为了使这批台灯每天获得 400 元以上 的销售收入,应怎样制定这批台灯的销售 价格?

三、总结提升 ※ 学习小结 进一步熟练掌握一元二次不等式的解法、一元二次不等式与一元二次方程以及一元二 次函数的关系. ※ 知识拓展 (1)连结三个“二次”的纽带是:坐标思想:函数值 y 是否大于零等价于为 P ( x, y ) 是否在 x 轴的上方. (2)三个“二次”关系的实质是数形结合思想: ax 2 ? bx ? c ? 0 的解 ? y ? ax2 ? bx ? c 图象上的点 ( x, 0) ;
ax 2 ? bx ? c ? 0 的解 ? y ? ax2 ? bx ? c 图象上的点 ( x, y ) 在 x 轴的上方的 x 的取值范围.

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1 1. 函数 y ? 的定义域是( ). 2 x ? x ? 12 A. ? x | x ? ?4 或 x ? 3} B. {x | ?4 ? x ? 3} C. ? x | x ? ?4 或 x ? 3} D. {x | ?4 ? x ? 3} ).

1 2 1 2 2. 不等式 ( )2 x ?3 x ?9 ? ( ) x ?3 x ?17 的解集是( 3 3 A.[2,4] B. (??, 2] ? [4, ??) C.R D. (??, ?2] ? [4, ??)
3. 集合 A= ?x | x2 ? 5x ? 4 ? 0} ,

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B= {x | x2 ? 5x ? 6 ? 0} ,则 A ? B =(
A. {x |1 ? x ? 2 或 3 ? x ? 4} B. {x |1 ? x ? 2 且 3 ? x ? 4} C.{1,2,3,4} D. {x | ?4 ? x ? ?1 或 2 ? x ? 3} 4. 不等式 ( x ? 5)( x ? 2) ? 0 的解集为

).

. .

5. 已知两个圆的半径分别为 1 和 5,圆心距满足 d 2 ? 10d ? 24 ? 0 ,则两圆的位置关系为 课后作业 1. 求下列不等式的解集: (1) ? x 2 ? 3x ? 10 ? 0 ;

(2) x(9 ? x) ? 0 .

2. 据气象部门预报,在距离某码头 O 南偏东 45? 方向 600km 处的热带风暴中心 A 在以 20km/h 的速度向正 北方向移动,距风暴中心 450km 以内的地区都将受影响. 从现在起多长时间后,该码头将受到热带风暴影 响,影响时间为多长?

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§3.2 一元二次不等式及其解法(3) 学习目标 1. 掌握一元二次不等式的解法; 2. 能借助二次函数的图象及一元二次方程解决相应的不等式问题. 学习过程 一、课前准备 复习 1:实数比较大小的方法_____________

复习 2:不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的解集.

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:含参数的一元二次不等式的解法 问题:解关于 x 的不等式: x2 ? (2m ? 1) x ? m2 ? m ? 0 分析:在上述不等式中含有参数,因此需要先判断参数对的解的影响. 先将不等式化为方程 x2 ? (2m ? 1) x ? m2 ? m ? 0 此方程是否有解,若有,分别为__________,其大小关系为________________ 试试:能否根据图象写出其解集为_____________

※ 典型例题

1 例 1 设关于 x 的不等式 ax 2 ? bx ? 1 ? 0 的解集为 {x | ?1 ? x ? } ,求 a? b. 3

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小结:二次不等式给出解集,既可以确定对应的二次函数图象开口方向(即 a 的符号),又可以确定对应 的二次方程的两个根,由此可根据根与系数关系建立系数字母关系式,或通过代入法求解不等式. 1 1 变式:已知二次不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集为 {x | x ? 或 x ? } ,求关于 x 的不等式 cx 2 ? bx ? a ? 0 的解 2 3 集.

例 2 A ? {x | x2 ? 4x ? 3 ? 0} , B ? {x | x2 ? 2x ? a ? 8 ? 0} ,且 A ? B ,求 a 的取值范围.

小结: (1)解一元二次不等式含有字母系数时,要讨论根的大小从而确定解集. (2)集合间的关系可以借助数轴来分析,从而确定端点处值的大小关系. 例 3 若关于 m 的不等式 mx2 ? (2m ? 1) x ? m ? 1 ? 0 的解集为空集,求 m 的取值范围.

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变式 1:解集为非空.

变式 2:解集为一切实数. 小结: m 的不同实数取值对不等式的次数有影响,当不等式为一元二次不等式时, m 的取值还会影响二次 函数图象的开口方向,以及和 x 轴的位置关系. 因此求解中,必须对实数 m 的取值分类讨论. ※ 动手试试 练 1. 设 x 2 ? 2 x ? a ? 8 ? 0 对于一切 x ? (1,3) 都成立,求 a 的范围.

练 2. 若方程 x 2 ? 2 x ? a ? 8 ? 0 有两个实根 x1 , x2 ,且 x1 ? 3 , x2 ? 1 ,求 a 的范围.

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三、总结提升 ※ 学习小结 对含有字母系数的一元二次不等式,在求解过程中应对字母的取值范围进行讨论,其讨论的原则性一 般分为四类: ※ 按二次项系数是否为零进行分类 ; ※ 若二次项系数不为零,再按其符号分类; ※ 按判别式 ? 的符号分类; ※ 按两根的大小分类. ※ 知识拓展 解高次不等式时,用根轴法:就是先把不等式化为一端为零,再对另一端分解因式,并求出它的零点, 把这些零点标在数轴上,再用一条光滑的曲线,从 x 轴的右端上方起,依次穿过这些零点,则大于零的不 等式的解对应着曲线在 x 轴上方的实数 x 的取值集合; 小于零的不等式的解对应着曲线在 x 轴下方的实数 x 的取值集合. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 若方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的两根为 2,3,那么 ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集为( A. {x | x ? 3 或 x ? ?2} B. {x | x ? 2 或 x ? ?3} C. {x | ?2 ? x ? 3} D. {x | ?3 ? x ? 2} 1 1 2. 不等式 ax 2 ? bx ? 2 ? 0 的解集是 {x | ? ? x ? } ,则 a ? b 等于( ). 2 3 A. ? 14 B.14 C. ? 10 D.10 2 3. 关于 x 的不等式 x ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 的解集为 ? ,则实数 a 的取值范围是( ). 3 3 A. (? ,1] B. ( ?1,1) C. ( ?1,1] D. (? ,1) 5 5 4. 不等式 x 2 ? 5 x ? 24 的解集是 . 1 5. 若不等式 ax 2 ? bx ? 2 ? 0 的解集为 {x | ?1 ? x ? ? } ,则 a , b 的值分别是 4 课后作业 1. m 是什么实数时,关于 x 的一元二次方程 , mx2 ? (1 ? m) x ? m ? 0 没有实数根.

).

.

2. 解关于 x 的不等式 x2 ? (2 ? a) x ? 2a ? 0 (a∈R).

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