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高中数学一轮复习坐标系

课时分层训练(五十五) (对应学生用书第 236 页) 坐标系 π? ? ? π? 1.在极坐标系中,求点?2,6?到直线 ρsin?θ-6?=1 的距离. ? ? ? ? π? ? [解] 点?2,6?化为直角坐标为( 3,1), ? ? ? 3 ? 1 ? π? 直线 ρsin?θ-6?=1 化为 ρ? sin θ- cos θ?=1, ? ? 2 ?2 ? 3 1 得 2 y-2x=1, 即直线的方程为 x- 3y+2=0, 故点( 3,1)到直线 x- 3y+2=0 的距离 d= | 3- 3×1+2| 12+?- 3?2 =1. 6分 10 分 3分 2 ? π? 2.在极坐标系下,已知圆 O:ρ=cos θ+sin θ 和直线 l:ρsin?θ-4?= 2 . ? ? (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (2)当 θ∈(0,π)时,求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标. [解] (1)圆 O:ρ=cos θ+sin θ,即 ρ2=ρcos θ+ρsin θ, 圆 O 的直角坐标方程为 x2+y2=x+y, 即 x2+y2-x-y=0, 2 ? π? 直线 l:ρsin?θ-4?= 2 ,即 ρsin θ-ρcos θ=1, ? ? 则直线 l 的直角坐标方程为 y-x=1,即 x-y+1=0. 2 2 ? ? ?x +y -x-y=0, ?x=0, (2)由? 得? ? ? ?x-y+1=0, ?y=1, 2分 4分 6分 8分 π? ? 故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为?1,2?. ? ? 10 分 ? π? 3.(2017· 邯郸调研)在极坐标系中,已知直线 l 的极坐标方程为 ρsin?θ+4?=1, ? ? 1 π? ? 圆 C 的圆心的极坐标是 C?1,4?,圆的半径为 1. ? ? (1)求圆 C 的极坐标方程; (2)求直线 l 被圆 C 所截得的弦长. [解] (1)设 O 为极点,OD 为圆 C 的直径,A(ρ,θ)为圆 C 上的一个动点,则 π π ∠AOD=4-θ 或∠AOD=θ-4, ?π ? ? π? OA=ODcos?4-θ?或 OA=ODcos?θ-4?, ? ? ? ? ? π? ∴圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cos?θ-4?. ? ? 2 ? π? (2)由 ρsin?θ+4?=1,得 ρ(sin θ+cos θ)=1, 2 ? ? ∴直线 l 的直角坐标方程为 x+y- 2=0, ? 2 2? 又圆心 C 的直角坐标为? , ?,满足直线 l 的方程, 2 2 ? ? ∴直线 l 过圆 C 的圆心, 故直线被圆所截得的弦长为直径 2. 8分 10 分 4分 6分 2分 ?x=tcos α, ? 4. (2015· 全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1: (t 为参数, t≠0), ?y=tsin α 其中 0≤α<π.在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ= 2sin θ,C3:ρ=2 3cos θ. (1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (2)若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求|AB|的最大值. 【导学号:79170370】 [解] (1)曲线 C2 的直角坐标方程为 x2+y2-2y=0,曲线 C3 的直角坐标方程 为 x2+y2-2 3x=0, 2 2 ? ?x +y -2y=0, 联立? 2 2 ? ?x +y -2 3x=0, 2分 2 3 ? ? ?x= 2 , ?x=0, 解得? 或? 3 ? ?y=0 ? ?y=2. ? 3 3? 所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为(0,0)和? , ?. ? 2 2? 4分 (2)曲线 C1 的极坐标方程为 θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中 0≤α<π. 因此 A 的极坐标为(2sin α,α),B 的极坐标为(2 3cos α,α). π?? ? ? 所以|AB|=|2sin α-2 3cos α|=4?sin?α-3??. ? ? ?? 5π 当 α= 6 时,|AB|取得最大值,最大值为 4. 10 分 8分 5 . (2018· 太 原 模 拟 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为 ?x=1+cos θ, x2 y2 ? (θ 为参数), 曲线 C2 的普通方程为16+ 4 =1, 以原点为极点, ?y=sin θ x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线 C1 的普通方程和 C2 的极坐标方程; 1 1 (2)若 A,B 是曲线 C2 上的两点,且 OA⊥OB,求|OA|2+|OB|2的值. [解] (1)依题意,曲线 C1 的普通方程为(x-1)2+y2=1,即 x2-2x+y2=0, 2分 曲线 C2 的极坐标方程为 ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=16(只要写出 ρ, θ 的关系式均可). 4分 π? ρ2cos2θ ρ2sin2θ ? (2)曲线 C2 的极坐标方程为 16 + 4 =1,设 A(ρ1,θ),B?ρ2,θ+2?, ? ? 2 2 2 2 2 ρ1 cos2θ ρ1 sin2θ ρ2 2sin θ ρ2cos θ 代入 C2 的极坐标方程得 16 + 4 =1, 16 + 4 =1, 6分 9分 1 1 cos2θ sin2θ sin2θ cos2θ 5 故ρ2+ρ2= 16 + 4 + 16 + 4 =16, 1 2 3 1 1 5 ∴|OA|2+|OB|2=16. 10 分 ?x=2+cos α 6. (2018· 大同模拟)在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为? (α ?y=2+sin α 为参数),直线 C2 的方程为 y= 3x,以 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立 极坐标系. (1)求曲线 C1 和直线 C2 的极坐标方程; 1


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