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湖北省襄阳市枣阳市白水中学2015-2016学年高一上学期12月月考数学试卷


2015-2016 学年湖北省襄阳市枣阳市白水中学高一(上)12 月月 考数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1.已知全集 U={x∈N|0≤x≤8},U=A∪B,A∩(?UB)={1,3,5,7},则集合 B=( ) A.{0,2,4} B.{0,2,4,6} C.{0,2,4,6,8} D.{0,1,2,3,4} 2.tan(﹣1410°)的值为( )

A.

B.

C.

D.

3.函数 f(x)= A.[2,+∞)B. (2,+∞)

的定义域为( C. (1,+∞)

) D.[1,+∞) )

4.如果偶函数 f(x)在[3, 7]上是增函数且最小值是 2,那么 f (x) 在[﹣7,﹣3]上是( A.减函数且最小值是 2 B..减函数且最大值是 2 C.增函数且最小值是 2 D.增函数且最大值是 2 5.已知 x+x =3,那么与 x ﹣x A.3 B.﹣ C.±3
﹣1

2

﹣2

的值为( D.±



6.函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,则 f( 为( )

)的值

A.

B.0

C.

D.1

7.为得到函数

的图象,只需将函数 y=sin2x 的图象(



A.向左平移 C.向左平移

个长度单位 个长度单位
a

B.向右平移 D.向右平移
b c

个长度单位 个长度单位 ) = +

8.设 a,b,c 都是正数,且 3 =4 =6 ,那么( A. = + B. = + C. = + D.

9.方程 sinx﹣ =0 的零点的个数为( A.1280 B.1279 C.1284 D.1283



10. 某购物网站在 2013 年 11 月开展“全场 6 折”促销活动, 在 11 日当天购物还可以再享受“每 张订单金额(6 折后)满 300 元时可减免 100 元”.某人在 11 日当天欲购入原价 48 元(单 价)的商品共 42 件,为使花钱总数最少,他最少需要下的订单张数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4

11.若不等式 lg

≥(x﹣1)lg3 对任意 x∈(﹣∞,1]恒成立,则 a 的取

值范围是( ) A. (﹣∞,0] B.[1,+∞) C.[0,+∞) D. (﹣∞,1]

12.函数 f(x)=min(2

,|x﹣2|) ,其中 min(a,b)=

,若动直线 y=m 与函

数 y=f(x)的图象有三个不同的交点,它们的横坐标分别为 x1,x2,x3,则 x1x2x3 的最大 值( ) A.2 B.3 C.1 D.不存在

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填在答题卡对应题号的位 置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. ) 13.sin +cos +tan(﹣ )= .

14.函数 f(x)=

,x∈[2,4]的最小值是



15.已知奇函数 y=f(x)满足 f(x+3)=f(x) ,f(2)=1,则 f(2014)= 16.给出以下命题:



①若函数 y=2cos(ax﹣

)的最小正周期是 4π,则 a= ;

②函数 y=

是奇函数;
n x

③函数 y=sinx+sin|x|的值域是[0,2]; ④当 a>1,n>0 时,总存在 x0,当 x>x0 时,就有 logax<x <a . 其中正确命题个数为 .

三.解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (10 分) (2015 秋?枣阳市校级月考)已知全集 U=R,集合 A={x|4x+a>0},B={x|x ﹣ 2x﹣3>0}. (1)当 a=4 时,求集合 A∩B; (2)若 A∩(?UB)=?,求实数 a 的取值范围.
2

18. (12 分) (2014 秋?湖北期末)用“五点法”作 y=f(x)=sin(2x+ 象,并叙述如何由 y=f(x)变换得到 y=sinx.

)在区间[0,π]的图

19. (12 分) (2012 秋?和平区期中)已知定义域为 R 的函数 f(x)=1﹣ (Ⅰ)求函数 f(x)的值域; (Ⅱ)证明:函数 f(x)是奇函数; (Ⅲ)判断函数 f(x)在定义域上的单调性,并证明你的结论.



20. (12 分) (2013 秋?浦东新区期末)经研究发现,学生的接受能力依赖于老师引入概念和 描述总量所用的时间,开始讲题时,学生的兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始 分散.分析结果和实验表明,用 f(x)表示学生掌握和接受概念的能力,x 表示提出和讲授 概念的时间(单位:分) ,有以下的公式:

f(x)= (1)开讲后 5 分钟与开讲后 20 分钟比较,学生的接受能力何时强呢? (2)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多长的时间? (3)若讲解这道数学题需要 55 的接受能力以及 13 分钟的时间,老师能否及时在学生一直 达到所需接受能力的状态下讲完这道题? 21. (12 分) (2014 秋?湖北期末)已知函数 f(x)=x +|x﹣a|+1,x∈R,a∈R. (1)讨论函数的奇偶性; (2)若函数 f(x)的最小时为 g(a) ,令 m=g(a) ,求 m 的取值范围.
2

22. (12 分) (2015 秋?枣阳市校级月考)已知函数 f(x)=log9(9 +1)+kx(k∈R)是偶函 数. (1)求 k 的值; (2)若函数 y=f(x)的图象与直线 y= x+b 没有交点,求 b 的取值范围; (3)设 h(x)=f(x)﹣log9(a?3 ﹣ a) ,若函数 h(x)有且只有一个零点,求实数 a 的 取值范围.
x

x

2015-2016 学年湖北省襄阳市枣阳市白水中学高一(上) 12 月月考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1.已知全集 U={x∈N|0≤x≤8},U=A∪B,A∩(?UB)={1,3,5,7},则集合 B=( ) A.{0,2,4} B.{0,2,4,6} C.{0,2,4,6,8} D.{0,1,2,3,4} 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】集合. 【分析】先利用不等关系式化简全集 U,再结合集合 A 与 B 的补集的交集,结合 Venn 图得 到集合 B 即可. 【解答】解:U=A∪B={x∈N|0≤x≤8} ={0,1,2,3,4,5,6,7,8}, {1,3,5,7}?A,而 B 中不包含{1,3,5,7}, 用 Venn 图表示如图 ∴B={0,2,4,6,8}. 故选:C,

【点评】本小题主要考查 Venn 图表达集合的关系及运算、集合的表示法、交集补集等基础 知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题. 2.tan(﹣1410°)的值为( )

A.

B.

C.

D.

【考点】运用诱导公式化简求值. 【专题】三角函数的求值. 【分析】利用诱导公式把要求的式子化为 tan30°,从而求得结果.

【解答】解:tan(﹣1410°)=tan(﹣180°×8+30°)=tan30°= 故选 A. 【点评】本题主要考查诱导公式的应用,属于基础题.



3.函数 f(x)=

的定义域为(



A.[2,+∞)B. (2,+∞) C. (1,+∞) D.[1,+∞) 【考点】函数的定义域及其求法. 【专题】方程思想;定义法;函数的性质及应用. 【分析】根据函数出来的条件进行求解即可. 【解答】解:要使函数有意义,则 log2(x﹣1)≥0, 即 x﹣1≥1,得 x≥2, 故函数的定义域为[2,+∞) , 故选:A. 【点评】本题主要考查函数的定义域的求解,要求熟练掌握常见函数成立的条件. 4.如果偶函数 f(x)在[3, 7]上是增函数且最小值是 2,那么 f (x) 在[﹣7,﹣3]上是( A.减函数且最小值是 2 B..减函数且最大值是 2 C.增函数且最小值是 2 D.增函数且最大值是 2 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【专题】计算题;综合题;转化思想. 【分析】由偶函数在关于 y 轴对称的区间上单调性相反及偶函数定义可选出正确答案. 【解答】解:因为偶函数 f(x)在区间[3,7]上是增函数, 所以 f(x)在区间[﹣7,﹣3]上也是减函数, 且偶函数 f(x)在区间[3,7]上有 f(3)min=2, 则 f(x)在区间[﹣7,﹣3]上有 f(﹣3)min=f(3)=2, 故选 A. 【点评】本题考查偶函数的定义及在关于 y 轴对称的区间上单调性的关系.属中档题. 5.已知 x+x =3,那么与 x ﹣x A.3 B.﹣ C.±3
﹣1



2

﹣2

的值为( D.±



【考点】有理数指数幂的化简求值. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由于(x﹣x ) =(x+x ) ﹣4=3 ﹣4=5,可得 公式即可得出. 【解答】解:∵(x﹣x ) =(x+x ) ﹣4=3 ﹣4=5, ∴
2
﹣2 ﹣1 ﹣1 ﹣1

2

﹣1

2

2

,再利用平方差

2

﹣1

2

2


﹣1

∴x ﹣x =(x+x ) (x﹣x )=



故选:C. 【点评】本题考查了指数运算法则、乘法公式,属于基础题.

6.函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,则 f( 为( )

)的值

A.

B.0

C.

D.1

【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【专题】计算题;三角函数的图像与性质. 【分析】利用 y=Asin(ωx+φ)的部分图象可确定振幅 A 及周期 T,继而可求得 ω=2,利用 曲线经过( ,2) ,可求得 φ,从而可得函数解析式,继而可求 f( T= ﹣ = , )的值.

【解答】解:由图知,A=2, ∴T= 又 =π,解得 ω=2, ×2+φ=2kπ+ (k∈Z) ,

∴φ=2kπ+ ∴φ= ,

(k∈Z) ,0<φ<π,

∴f(x)=2sin(2x+

) ,

∴f( )=2sin = . 故选:C. 【点评】本题考查利用 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定解析式,φ 的确定是关键,考查识 图与运算能力,属于中档题.

7.为得到函数 A.向左平移 个长度单位

的图象,只需将函数 y=sin2x 的图象( B.向右平移 个长度单位 个长度单位



C.向左平移 个长度单位 D.向右平移 【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】计算题. 【分析】利用 y=sin2x=cos(2x﹣

)及函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换即可选得答案. ) ,

【解答】解:∵y=sin2x=f(x)=cos(2x﹣

∴f(x+ =cos(2x+

)=cos[2(x+ ) ,

)﹣

]

∴为得到函数 y=cos(2x+ ) ,的图象,只需将函数 y=sin2x 的图象向左平移 个长度单 位; 故选 C. 【点评】本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,考查诱导公式的应用,属于中档题. 8.设 a,b,c 都是正数,且 3 =4 =6 ,那么(
a b c



A . = + B. = + C. = + D . = + 【考点】指数函数综合题. 【专题】计算题. 【分析】利用与对数定义求出 a、b、c 代入到四个答案中判断出正确的即可. 【解答】解:由 a,b,c 都是正数,且 3 =4 =6 =M,则 a=log3 ,b=log4 ,c=log6
a b c M M M

代入到 B 中,左边= =

=



而右边=

=

+

=

=



左边等于右边,B 正确; 代入到 A、C、D 中不相等. 故选 B. 【点评】考查学生利用对数定义解题的能力,以及换底公式的灵活运用能力.

9.方程 sinx﹣ =0 的零点的个数为( ) A.1280 B.1279 C.1284 D.1283 【考点】函数零点的判定定理. 【专题】计算题;函数思想;转化法;函数的性质及应用. 【分析】根据方程和函数之间的关系转化为函数交点个数问题即可得到结论. 【解答】解:由程 sinx﹣ =0 得 sinx= ,

设函数 y=f(x)=sinx,g(x)= , 当 g(x)=1 时,x=2014, 当 g(x)=﹣1 时,x=﹣2014, ∵320×2π≤2014<321×2π,每个周期含有 2 个交点,此时有 321×2=642 个, ∴当 x<0,也有 642 个, 共有 642×2=1284, 故选:C.

【点评】本题考查方程的根与两个函数的交点的关系,体现了转化的数学思想.难度较大. 10. 某购物网站在 2013 年 11 月开展“全场 6 折”促销活动, 在 11 日当天购物还可以再享受“每 张订单金额(6 折后)满 300 元时可减免 100 元”.某人在 11 日当天欲购入原价 48 元(单 价)的商品共 42 件,为使花钱总数最少,他最少需要下的订单张数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】函数的最值及其几何意义. 【专题】应用题. 【分析】因是选择题,可进行分步计算,用 42=9+11+11+11 易得. 【解答】解:∵原价是:48×42=2016(元) , 2016×0.6=1209.6(元) , ∵每张订单金额(6 折后)满 300 元时可减免 100, ∴若分成 10,10,11,11, 由于 48×10=480,480×0.6=288, 达不到满 300 元时可减免 100, ∴应分成 9,11,11,11. ∴只能减免 3 次, 故答案选:C. 【点评】本题是一道应用题,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合 适的解法.

11.若不等式 lg

≥(x﹣1)lg3 对任意 x∈(﹣∞,1]恒成立,则 a 的取

值范围是( ) A. (﹣∞,0] B.[1,+∞) C.[0,+∞) D. (﹣∞,1] 【考点】函数恒成立问题. 【专题】函数的性质及应用;不等式的解法及应用.

【分析】原不等式可整理为 a≤
x

=( ) +( ) ,然后转化为求函数 y=( ) +( )

x

x

x

在(﹣∞,1)上的最小值即可,利用单调性可求最值.

【解答】解:不等式 lg

≥(x﹣1)lg3,

即不等式 lg

≥lg3

x﹣1




x x

≥3

x﹣1

,整理可得 a≤

=( ) +( ) ,

x

x

∵y=( ) +( ) 在(﹣∞,1)上单调递减,

∴x∈(﹣∞,1)时,y=( ) +( ) > + =1, ∴要使原不等式恒成立,只需 a≤1, 即 a 的取值范围是(﹣∞,1]. 故选:D. 【点评】本题考查不等式恒成立问题、函数单调性,考查转化思想,考查学生灵活运用知识 解决问题的能力.

x

x

12.函数 f(x)=min(2

,|x﹣2|) ,其中 min(a,b)=

,若动直线 y=m 与函

数 y=f(x)的图象有三个不同的交点,它们的横坐标分别为 x1,x2,x3,则 x1x2x3 的最大 值( ) A.2 B.3 C.1 D.不存在 【考点】函数的图象. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由 f(x)表达式作出函数 f(x)的图象,由图象可求得符合条件的 m 的取值范围, 不妨设 0<x1<x2<2<x3,通过解方程可用 m 把 x1,x2,x3 分别表示出来,利用基本不等 式即可求得 x1?x2?x3 的最大值. 【解答】解:作出函数 f(x)的图象如下图所示:



,解得 A(4﹣2

,2

﹣2) , ﹣2.

由图象可得,当直线 y=m 与 f(x)图象有三个交点时 m 的范围为:0<m<2 不妨设 0<x1<x2<2<x3,

则由 2

=m 得 x1=

,由|x2﹣2|=2﹣x2=m,

得 x2=2﹣m,由|x3﹣2|=x3﹣2=m, 得 x3=m+2,且 2﹣m>0,m+2>0,
2 2

∴x1?x2?x3=
2

?(2﹣m)?(2+m)=
2

(4﹣m )≤ (

) =1,

当且仅当 m =4﹣m . 即 m= 时取得等号,

∴x1?x2?x3 存在最大值为 1. 故选:C.

【点评】本题考查函数与方程的综合运用,考查基本不等式在求函数最值中的应用,考查数 形结合思想,考查学生综合运用知识分析解决新问题的能力,属于中档题. 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填在答题卡对应题号的位 置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. ) 13.sin +cos +tan(﹣ 【考点】运用诱导公式化简求值. 【专题】计算题. 【分析】利用三角函数的诱导公式 sin =cos 果. ,tan(﹣ )=﹣tan(6π+ )= 0 .

=sin(4π+ )=﹣tan

)=sin

,cos

=cos(8π+



,然后根据特殊角的三角函数值求出结

【解答】解:sin +cos +tan(﹣ )=sin +cos ﹣tan = + ﹣1=0 故答案为 0. 【点评】 本题考查了三角函数的诱导公式以及特殊角的三角函数值, 熟练掌握诱导公式可以 提高做题效率,属于基础题.

14.函数 f(x)=

,x∈[2,4]的最小值是 3 .

【考点】函数的值域. 【专题】计算题;函数的性质及应用.

【分析】分离常数可得 f(x)=

=2+

,从而求最小值.

【解答】解:函数 f(x)= ∵x∈[2,4], ∴x﹣1∈[1,3];

=2+



故 1≤

≤3;

故 3≤2+

≤5;

故函数 f(x)=

,x∈[2,4]的最小值是 3;

故答案为:3. 【点评】本题考查了函数值域的求法.高中函数值域求法有:1、观察法,2、配方法,3、 反函数法,4、判别式法;5、换元法,6、数形结合法,7、不等式法,8、分离常数法,9、 单调性法,10、利用导数求函数的值域,11、最值法,12、构造法,13、比例法.要根据题 意选择. 15.已知奇函数 y=f(x)满足 f(x+3)=f(x) ,f(2)=1,则 f(2014)= ﹣1 . 【考点】函数奇偶性的性质;函数的值. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】先求出 f(x)的周期,再利用函数的周期性与奇偶性,求出 f(2014)的值. 【解答】解:∵f(x)满足 f(x+3)=f(x) , ∴f(x)的周期为 T=3, ∴f(2014)=f(672×3﹣2)=f(﹣2) , 又∵f(x)是奇函数,且 f(2)=1, ∴f(2014)=f(﹣2)=﹣f(2)=﹣1. 故答案为:﹣1. 【点评】 本题考查了判断函数的周期性以及利用函数的周期性与奇偶性求函数值的问题, 是 基础题目. 16.给出以下命题: ①若函数 y=2cos(ax﹣ )的最小正周期是 4π,则 a= ;

②函数 y=

是奇函数;
n x

③函数 y=sinx+sin|x|的值域是[0,2]; ④当 a>1,n>0 时,总存在 x0,当 x>x0 时,就有 logax<x <a . 其中正确命题个数为 1 . 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】函数的性质及应用;简易逻辑. 【分析】①由周期公式 T= 求得 a 值判断;②由 sinx≠1 可知函数的定义域不关于原点 对称判断; ③分 x≥0 和 x<0 求出函数的值域判断; ④由函数的增减性的快慢说明④正确. 【解答】解:①若函数 y=2cos(ax﹣ )的最小正周期是 4π,则 a=± ,故①不正确;

②函数 y=

=sinx(sinx≠1) ,不是奇函数,故②不正确;

③当 x≥0 时, 函数 y=sinx+sin|x|=2sinx, 值域为[﹣2, 2], 当 x<0 时, 函数 y=sinx+sin|x|=sinx ﹣sinx=0. 综上可得,函数 y=sinx+sin|x|的值域是[﹣2,2],故③不正确; ④当 a>1,n>0 时,总存在 x0,当 x>x0 时,有 1ogax<x <a ,命题④正确. ∴只有④正确. 故答案为:1. 【点评】本题考查了命题的真假判断与应用,考查了基本初等函数的性质,是中档题. 三.解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (10 分) (2015 秋?枣阳市校级月考)已知全集 U=R,集合 A={x|4x+a>0},B={x|x ﹣ 2x﹣3>0}. (1)当 a=4 时,求集合 A∩B; (2)若 A∩(?UB)=?,求实数 a 的取值范围. 【考点】交、并、补集的混合运算;交集及其运算. 【专题】函数思想;综合法;集合. 【分析】 (1)当 a=2 时,求出集合 A,利用集合的基本运算求 A∩B,A∪B. (2)求出?UB, 然后根据集合关系 A∩(?UB)=?,确定 a 的取值范围. 【解答】解:由 4x+a>0 得 x>﹣ ,即 A={x|x>﹣ }. 2 由 x ﹣2x﹣3>0 得(x+1) (x﹣3)>0,解得 x<﹣1 或 x>3, 即 B={x|x<﹣1 或 x>3}. (1)当 a=4 时,A={x|x>﹣1}. ∴A∩B={x|x>3}. A∪B={x|x≠﹣1}. (2)∵B={x|x<﹣1 或 x>3}, ∴?UB={x|﹣1≤x≤3}. 又∵A∩(?UB)=?, ∴﹣ ≥3, 解得 a≤﹣12. ∴实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣12]. 【点评】本题主要考查集合的基本运算,以及利用集合关系确定参数问题,比较基础.
2 n x

18. (12 分) (2014 秋?湖北期末)用“五点法”作 y=f(x)=sin(2x+ 象,并叙述如何由 y=f(x)变换得到 y=sinx. 【考点】五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象. 【专题】三角函数的图像与性质.

)在区间[0,π]的图

【分析】分别令 2x+ =0、 、π、 、2π,可得 x=﹣ 、 、 、 、 ,由 此得到函数在一个周期内图象上的关键的点, 描出这五个点的坐标再连成平滑的曲线, 即可

得到函数在一个周期内的图象.最后由函数图象平移、伸缩的公式加以计算,可得由 f(x) =sin(2x+ )的图象变换到 y=sinx 的方法. 【解答】解:列出如下表格: π 0 2x+ x y ﹣ 0 2 ,0) , ( 0 ,1) , ( ﹣2 ,0) , ( 0 ,﹣1) , ( ,0) .



在直角坐标系中描出点(﹣

连成平滑的曲线如图所示,即为函数 f(x)=sin(2x+

)在一个周期内的图象,

将 f(x)=sin(2x+ )的图象先向左平移 个单位,再将所得图象上点的纵坐标不变, 横坐标变为原来的 2 倍,可得函数 y=sinx 的图象. 【点评】本题给出正弦型三角函数,求它的单调区间并作出一个周期内的图象,着重考查了 三角函数的单调性、三角函数的图象作法与函数图象的变换公式等知识,属于中档题.

19. (12 分) (2012 秋?和平区期中)已知定义域为 R 的函数 f(x)=1﹣



(Ⅰ)求函数 f(x)的值域; (Ⅱ)证明:函数 f(x)是奇函数; (Ⅲ)判断函数 f(x)在定义域上的单调性,并证明你的结论. 【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】本题(Ⅰ)通过已知指数函数的值域求出函数 f(x)的值域; (Ⅱ)通过函数奇偶 性的定义证明函数 f(x)是奇函数; (Ⅲ)利用函数单调性的定义和已知指数函数的单调性, 证明函数 f(x)在定义域上的单调递增,得到标题结论. x 【解答】解: (Ⅰ)∵3 +1∈(1,+∞) ,





∴f(x)的值域为(﹣1,1) .

(Ⅱ)证明:函数 f(x)的定义域为 R,图象关于原点对称,



=1﹣

=

=﹣1+

=﹣f(x) ,

∴f(x)是奇函数. (Ⅲ)f(x)是 R 上的增函数. 证明如下:任取 x1,x2∈R 且 x1<x2,

则 f(x1)﹣f(x2)= = x ∵y=3 在 R 上是增函数,且 x1<x2, ∴ 又∵(3 ,即 +1) (3 +1)>0, ,



∴f(x1)﹣f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2) , ∴f(x)是 R 上的增函数. 【点评】本题考查了函数的值域、奇偶性、单调性,本题有一定的思维难度,运算量适中, 属于中档题. 20. (12 分) (2013 秋?浦东新区期末)经研究发现,学生的接受能力依赖于老师引入概念和 描述总量所用的时间,开始讲题时,学生的兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始 分散.分析结果和实验表明,用 f(x)表示学生掌握和接受概念的能力,x 表示提出和讲授 概念的时间(单位:分) ,有以下的公式:

f(x)= (1)开讲后 5 分钟与开讲后 20 分钟比较,学生的接受能力何时强呢? (2)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多长的时间? (3)若讲解这道数学题需要 55 的接受能力以及 13 分钟的时间,老师能否及时在学生一直 达到所需接受能力的状态下讲完这道题? 【考点】函数模型的选择与应用. 【专题】应用题. 【分析】 (1)分别计算出 f(5) ,f(20)再比较它们的大小 f(5) 、f(20)即可得出开讲后 5 分钟学生的接受能力比开讲后 20 分钟强. (2)分两类讨论函数的最大值:①当 0<x≤10 时,②当 16<x<30 时,从而得出开讲后 10 钟学生达到最强的接受能力,并维持 6 分钟. (3)分两种情形讨论:①当 0<x<10 时,②当 16<x<30 时,分别令 f(x)>55,求得 相应 x 的取值范围,得出结论:学生达到或超过 55 的接受能力的时间 11.3 分钟,小于 13 分钟,故这位老师不能在学生所需状态下讲完这道题. 【解答】解: (1)f(5)=53.5,f(20)=47?f(5)>f(20)?. 开讲后 5 分钟学生的接受能力比开讲后 20 分钟强. 2 (2)当 0<x≤10 时,f(x)=﹣0.1(x﹣13) +59.9?f(x)是增函数?最大值是

f(10)=59;当 16<x<30 时,f(x)是递减的函数, ?f(x)<f(16)=59,故开讲后 10 钟学生达到最强的接受能力,并维持 6 分钟. (3)当 0<x<10 时,令 f(x)>55,则 6<x<10; 当 16<x<30 时,令 f(x)>55,则 16<x<17.3 因此,学生达到或超过 55 的接受能力的时间 11.3 分钟, 小于 13 分钟,故这位老师不能在学生所需状态下讲完这道题. 【点评】本题函数模型为分段函数,分段函数模型的构造中,自变量取值的分界是关键点, 只有合理的分类,正确的求解才能成功地解题.但分类时要做到不重不漏.正确求出函数解 析式后,利用函数的常规方法求解相关问题.求分段函数的最值,应先求出函数在各部分的 最值, 然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值, 取各部分的最小者为整个函数的 最小值. 21. (12 分) (2014 秋?湖北期末)已知函数 f(x)=x +|x﹣a|+1,x∈R,a∈R. (1)讨论函数的奇偶性; (2)若函数 f(x)的最小时为 g(a) ,令 m=g(a) ,求 m 的取值范围. 【考点】函数奇偶性的判断;函数的图象. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 (1)根据函数奇偶性的定义进行判断; (2)若函数 f(x)的最小时为 g(a) ,令 m=g(a) ,求 m 的取值范围. 2 【解答】解: (1)若 a=0,则 f(x)=x +|x|+1, 2 2 f(﹣x)=(﹣x) +|﹣x|+1=x +|x﹣a|+1=f(x) ,此时 f(x)为偶函数, 若 a≠0,∵f(0)=1+|a|≠0,∴f(x)不是奇函数, ∵f(1)=2+|1﹣a|,f(﹣1)=2+|a+1|, ∴f(﹣1)≠f(1) ,则函数不是偶函数; 即 a≠0 时,f(x)为非奇非偶函数. (2)当 x≤a 时,f(x)=(x﹣ ) +a+ . a< ,函数 f(x)在(﹣∞,a]上单调递减. 2 2 从而函数 f(x)在(﹣∞,a]上的最小值为 g(a)=f(a)=a +1;此时 m≥a +1, a≥ 时,函数 f(x)在(﹣∞,a]上的最小值为 g(a)=f( )= +a,且 f( )≤f(a) ; 当 x≥a 时,函数 f(x)=(x+ ) ﹣a+ . a≤﹣ 时,函数 f(x)在[a,+∞)上的最小值为 g(a)=f(﹣ )= ﹣a,且 f(﹣ )≤f (a) ;此时 m≥ ﹣a, a>﹣ ,函数 f(x)在[a,+∞)上单调递减,从而函数 f(x)在[a,+∞)上的最小值为 g 2 2 (a)=f(a)=a +1.此时 m≥a +1. 综上得,a≤﹣ 时,函数 f(x)的最小值为 ﹣a;
2 2 2

当﹣ ≤a≤ 时,函数 f(x)的最小值为 a +1; a≥﹣ 时,函数 f(x)的最小值为 +a. 【点评】 本题主要考查函数奇偶性的判断, 考查了绝对值函数的对绝对值的讨论及二次函数 在定义域下求最值综合性较强,难度较大. 22. (12 分) (2015 秋?枣阳市校级月考)已知函数 f(x)=log9(9 +1)+kx(k∈R)是偶函 数. (1)求 k 的值; (2)若函数 y=f(x)的图象与直线 y= x+b 没有交点,求 b 的取值范围; (3)设 h(x)=f(x)﹣log9(a?3 ﹣ a) ,若函数 h(x)有且只有一个零点,求实数 a 的 取值范围. 【考点】对数函数的图像与性质. 【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)因为 f(x)为偶函数所以 f(﹣x)=f(x)代入求得 k 的值即可; (2)函数与直线没有交点即 log9(9 +1)﹣ x= x+b 无解,即方程 log9(9 +1)﹣x=b 无 x 解.令 g(x)=log9(9 +1)﹣x,则函数 y=g(x)的图象与直线 y=b 无交点.推出 g(x) 为减函数得到 g(x)>0,所以让 b≤0 就无解. (3)函数 f(x)与 h(x)的图象有且只有一个公共点,即联立两个函数解析式得到方程, 方程只有一个解即可 【解答】解: (1)因为 y=f(x)为偶函数, 所以?x∈R,f(﹣x)=f(x) , 即 log9(9 +1)﹣kx=log9(9 +1)+kx 对于?x∈R 恒成立.
﹣x

2

x

x

x

x

x

即 2kx=log9(9 +1)﹣log9(9 +1)=log9( 即(2k+1)x=0 恒成立, 而 x 不恒为零,所以 k=﹣ .

﹣x

x

)=log9(9 )=﹣x 恒成立,

﹣x

(2)由题意知方程 log9(9 +1)﹣ x= x+b 即方程 log9(9 +1)﹣x=b 无解. x 令 g(x)=log9(9 +1)﹣x,则函数 y=g(x)的图象与直线 y=b 无交点.

x

x

因为 g(x)=log9(

)=log9(1+



任取 x1、x2∈R,且 x1<x2,则 0<9 <9 ,从而

x1

x2





于是 log9(1+

)>log9(1+

) ,即 g(x1)>g(x2) ,

所以 g(x)在(﹣∞,+∞)是单调减函数.

因为 1+

>1,所以 g(x)=log9(1+

)>0.所以 b 的取值范围是(﹣∞,0) .

(3)由函数 h(x)有且只有一个零点,

则方程 3 +
x

x

=a?3 ﹣ a 有且只有一个实数根.
2

x

令 3 =t>0,则关于 t 的方程(a﹣1)t ﹣ at﹣1=0(记为(*) )有且只有一个正根. 若 a=1,则 t=﹣ ,不合,舍去; 若 a≠1,则方程(*)的两根异号或有两相等正根. 由△ =0?a= 或﹣3; 但 a= ?t=﹣ ,不合,舍去; 而 a=﹣3?t= ; 方程(*)的两根异号?(a﹣1)?(﹣1)<0,即﹣a+1<0,解得:a>1. 综上所述,实数 a 的取值范围{﹣3}∪(1,+∞) . 【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质,熟练掌握对数函数的图象和性质,是 解答的关键.

2016 年 1 月 14 日



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