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【师说】2015高考雄关漫道(新课标)数学(文)全程复习构想课件:3.7 正弦定理与余弦定理


3.7 正弦定理与余弦定理

考点梳理 1.正弦定理 a b c = = =2R,其中 R 是三角形外接圆的半 ____________________ sinA sinB sinC sinA∶sinB∶sinC ; 径. 由正弦定理可以变形为: (1)a∶b∶c=________________ a c=2RsinC ;(3)sinA= ,sinB (2)a=2RsinA,b=2RsinB, ____________ 2R c b 2R = ,sinC=__________ 等形式,以解决不同的三角形问题. 2R

2.余弦定理 2 2 2 2 2 a + c -2accosB,c2=⑦ a2=⑤b ______________ , b =⑥ ______________ +c -2bccosA a2+ b2-2abcosC 余弦定理可以变形为: ____________. b2+c2-a2 cosA=⑧__________________ , 2bc a2+c2-b2 cosB=⑨__________________ , 2ac a2+b2-c2 cosC=⑩__________________. 2ab 1 1 1 abc 1 3 .S △ABC = absinC = bcsinA = acsinB = = (a + b + 2 2 2 4R 2 c)· r(r 是三角形内切圆的半径),并可由此计算 R、r.

考点自测 1.已知△ABC 中,a= 2,b= 3,B=60° ,那么角 A 等 于( ) A.135° B.90° C.45° D.30°

a b 2 3 解析:根据正弦定理 = 得: = ?sinA= sinA sinB sinA sin60° 2 ,又 a<b,∴A<B,A=45° ,故选 C. 2 答案:C

a b c 2.在△ABC 中,设命题 p: = = ,命题 q: sinB sinC sinA △ABC 是等边三角形.那么命题 p 是命题 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件

a b c a b c 解析: p: = = .由正弦定理 = = , sinB sinC sinA sinA sinB sinC ∴sinA=sinB=sinC.∴A=B=C?a=b=c. 答案:C

3.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若(a2 +c2-b2)tanB= 3ac,则角 B 的值为( ) π π π 5π π 2π A. B. C. 或 D. 或 6 3 6 6 3 3

a2+c2-b2 解析:∵ =cosB,结合已知等式得 cosB· tanB= 2ac 3 3 ,∴sinB= ,故选 D. 2 2 答案:D

4.已知△ABC 的三内角 A、B、C 的对边边长分别为 a、 5 b、c.若 a= b,A=2B,则 cosB=__________. 2

sinA sinB 5 解析:由正弦定理 = ,又∵a= b,A=2B, a b 2 sin2B sinB ∴ = ,b≠0,sinB≠0, b 5 b 2 2cosB 5 ∴ =1,∴cosB= . 4 5 2 5 答案: 4

5.已知△ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列,且 AB =1,BC=4,则边 BC 上的中线 AD 的长为________.

解析:如图所示,B=60° ,AB=1,BD=2. 由余弦定理知 AD= AB2+BD2-2AB· BD· cos60° = 12+22-2×1×2cos60° = 3. 答案: 3

疑点清源 1.在解三角形时,正弦定理可解决两类问题: (1)已知两角 及任一边,求其它边或角;(2)已知两边及一边的对角,求其 它边或角.情况 (2)中结果可能有一解、二解、无解,应注意 区分.余弦定理可解决两类问题:(1)已知两边及夹角或两边 及一边对角的问题;(2)已知三边问题.

2.解三角形的类型 在△ABC 中,已知 a、b 和 A 时,解的情况如下: A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系 式 解的 个数 a= bsinA 一解 bsinA< a<b 两解 a≥b 一解 a>b 一解

题型探究 题型一 正弦定理的应用 例 1.在△ABC 中,已知 a= 3,b= 2,B=45° ,求 A、 C 和 c.

解析:∵B=45° <90° 且 asinB<b<a, ∴△ABC 有两解. asinB 3sin45° 3 由正弦定理得 sinA= = = , b 2 2 则 A 为 60° 或 120° . ①当 A=60° 时,C=180° -(A+B)=75° , +30° ? 6+ 2 bsinC 2sin75° 2sin?45° c= = = = . sinB sin45° sin45° 2

②当 A=120° 时,C=180° -(A+B)=15° , -30° ? 6- 2 bsinC 2sin15° 2sin?45° c= = = = . sinB sin45° sin45° 2 6+ 2 故在△ABC 中, A=60° , C=75° , c= 或 A=120° , 2 6- 2 C=15° ,c= . 2

点评: 已知两边和其中一边的对角解三角形时, 可有两解、 一解、无解三种情况,应根据已知条件判断解的情况,主要是 根据图形或由“大边对大角”作出判断.

变式探究 1 已知下列各三角形中的两边及其一边的对 角,先判断三角形是否有解?有解的作出解答. (1)a=7,b=8,A=105° ; (2)a=10,b=20,A=80° ; (3)b=10,c=5 6,C=60° ; (4)a=2 3,b=6,A=30° .

解析:(1)a=7,b=8,a<b,则有 A<B,而 A=105° > 90° , ∴本题无解. (2)a=10,b=20,a<b,A=80° <90° . 讨论如下: ∵bsinA=20sin80° >20sin60° =10 3, ∴a<bsinA,∴本题无解.

(3)b=10,c=5 6,b<c,C=60° <90° ,本题有一解. bsinC 10sin60° 2 ∵sinB= = = , c 2 5 6 ∴B=45° ,A=180° -(B+C)=75° , 6+ 2 10× 4 bsinA 10sin75° ∴a= = = =5( 3+1) sinB sin45° 2 2

(4)a=2 3,b=6,a<b,A=30° <90° . 又∵bsinA=6sin30° =3,a>bsinA,∴本题有两解. bsinA 6sin30° 3 由正弦定理得 sinB= = = , a 2 2 3 ∴B=60° 或 120° . asinC 2 3sin90° 当 B=60° 时,C=90° ,c= = =4 3; sinA sin30° asinC 2 3sin30° 当 B=120° 时,C=30° ,c= = =2 3. sinA sin30° ∴B=60° , C=90° , c=4 3或 B=120° , C=30° , c=2 3.

题型二 余弦定理的应用 例 2.在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A,B,C 的对边, cosB b 且 =- . cosC 2a+c (1)求角 B 的大小; (2)若 b= 13,a+c=4,求△ABC 的面积.

a2+c2-b2 解析:(1)由余弦定理知:cosB= , 2ac a2+b2-c2 cosC= . 2ab cosB b 将上式代入 =- 得: cosC 2a+c a2+c2-b2 2ab b ·2 2 2=- 2ac a +b -c 2a+c 整理得:a2+c2-b2=-ac, a2+c2-b2 -ac 1 ∴cosB= = =- , 2ac 2ac 2 2 ∵B 为三角形的内角,∴B= π. 3

2 (2)将 b= 13,a+c=4,B= π 代入 3 b2=a2+c2-2accosB,得 b2=(a+c)2-2ac-2accosB, ? 1? ? 2 ∴b =16-2ac?1-2? ?,∴ac=3. ? ? 1 3 3 ∴S△ABC= acsinB= . 2 4

点评: ①根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边 进行变形是迅速解答本题的关键. ②熟练运用余弦定理及其推 论,同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.

3 变式探究 2 在△ABC 中, 已知 sinA= , sinA+cosA<0, 5 a=3 5,b=5,求 c.

3 解析:∵sinA+cosA<0,且 sinA= , 5 4 2 ∴cosA=- 1-sin A=- , 5 又∵a=3 5,b=5,∴由 a2=b2+c2-2bccosA,得 ? 4? ? 2 2 2 - (3 5) =5 +c -2×5×c×? ? 5?, ? ? 即 c2+8c-20=0, 解得 c=2 或 c=-10(舍去),∴c=2.

题型三 判断三角形的形状 例 3.已知方程 x2-(bcosA)x+acosB=0 的两根之积等于两 根之和,且 a、b 为△ABC 的两边,A、B 为两内角,试判定 这个三角形的形状.

解析:方法一:设方程的两根为 x1、x2,由韦达定理知 x1+x2=bcosA,x1x2=acosB, 由题意有 bcosA=acosB,根据余弦定理得 b2+c2-a2 a2+c2-b2 b· =a· , 2bc 2ac ∴b2+c2-a2=a2+c2-b2, 化简得 a=b, ∴△ABC 为等腰三角形.

方法二:同法一得 bcosA=acosB, 由正弦定理得:2RsinBcosA=2RsinAcosB, ∴sinAcosB-cosAsinB=0,即 sin(A-B)=0, ∵0<A<π,0<B<π. ∴-π<A-B<π. ∴A-B=0,即 A=B,故△ABC 为等腰三角形.

点评: 由三角形的边角关系判定三角形的形状, 其基本思 路是根据正弦定理和余弦定理进行边角变换, 全化为边的关系 或全化为角的关系(一般化为角较方便),然后利用简单的平面 几何知识即可判定.应注意式子的等价变形和隐含条件的挖 掘,以免漏解或增解.

变式探究 3 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b,c,其中 c 边最长,并且 sin2A+sin2B=1. (1)判断△ABC 的形状; (2)当 c=1 时,求△ABC 面积的最大值.

解析:(1)∵c 边为最长边, ∴A、B 均为锐角. 由 sin2A+sin2B=1 得 sin2A=cos2B. ∵sinA、cosB 均为正数,∴sinA=cosB. ?π ? ? π? π ? ? ? ∴sinA=sin?2-B?,又 A, -B∈?0,2? ?, 2 ? ? ? ? π π π ∴A= -B,∴A+B= ,即 C= . 2 2 2 所以△ABC 为直角三角形.

1 1 1 2 2 (2)解:△ABC 的面积 S= ab= · 2ab≤ (a +b ). 2 4 4 由于 a2+b2=c2=1. 1 ∴S≤ . 4 2 当且仅当 a=b= 时,上式取等号. 2 1 所以△ABC 面积的最大值为 . 4

题型四 正、余弦定理的综合应用 例 4.△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, 3 c,向量 m=(-1,1),n=(cosBcosC,sinBsinC- ),且 m⊥ 2 n. (1)求角 A 的大小; (2)现给出下列三个条件: ①a=1;②2c-( 3+1)b=0;③B=45° . 试从中再选择两个条件以确定△ABC, 求出你所确定的△ ABC 的面积.

解析:(1)∵m⊥n, 3 ∴-cosBcosC+sinBsinC- =0, 2 3 即 cosBcosC-sinBsinC=- , 2 3 ∴cos(B+C)=- . 2 ∵A+B+C=180° ,∴cos(B+C)=-cosA, 3 ∴cosA= ,又 0<A<π,∴A=30° . 2

(2)方案一:选择①②,可确定△ABC. ∵A=30° ,a=1,2c-( 3+1)b=0, ? 3+1 ? 3+1 3 ? ?2 2 2 由余弦定理得 1 =b +? b? -2b· 2 b·2 , ? 2 ? 6+ 2 2 整理得 b =2,∴b= 2,c= . 2 6+ 2 1 3+1 1 1 ∴S△ABC= bcsinA= × 2× × = . 2 2 2 2 4

方案二:选择①③,可确定△ABC. ∵A=30° ,a=1,B=45° ,∴C=105° . 又 sin105° =sin(60° +45° ) =sin60° cos45° +cos60° sin45° 6+ 2 = , 4 asinC 1· sin105° 6+ 2 由正弦定理得 c= = = , sinA sin30° 2 6+ 2 3+1 1 1 2 ∴S△ABC= acsinB= ×1× × = . 2 2 2 2 4 (注:若选择②③不能确定△ABC)

变式探究 4 设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边长分别 为 a、b、c,且 acosB=3,bsinA=4, (1)求边长 a; (2)若△ABC 的面积 S=10,求△ABC 的周长 l.

acosB 3 解析:(1)依题意得 = , bsinA 4 a sinA cosB 3 由正弦定理得 = ,所以 = . b sinB sinB 4 9 2 9 9 2 2 2 cos B= sin B= (1-cos B),即 cos B= , 16 16 25 依题设知 a2cos2B=9,所以 a2=25,得 a=5.

1 (2)因为 S= bcsinA=2c,所以,由 S=10 得 c=5. 2 应用余弦定理得 b= a2+c2-2accosB=2 5. 故△ABC 的周长 l=a+b+c=2(5+ 5)=10+2 5.

名师归纳 ?方法与技巧 1.正、余弦定理和三角形面积公式是本节课的重点,利 用三角形内角和、边、角之间的关系,三角函数的变形公式去 判断三角形的形状, 求解三角形, 以及利用它们解决一些实际 问题. A B 2.应熟练掌握和运用内角和定理: A+B+C=π, + + 2 2 C π = 中互补和互余的情况,结合诱导公式可以减少角的种数. 2 2

3.正、余弦定理的公式应注意灵活运用,如由正、余弦 定理结合得 sin2A=sin2B+sin2C-2sinB· sinC· cosA,可以进行 化简或证明. 4.根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径: (1)化边为角; (2)化角为边, 并常用正弦(余弦)定理实施边、 角转换.

?失误与防范 在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对 角求另一边的对角, 进而求出其他的边和角时, 有时可能出现 一解、两解或无解,所以要进行分类讨论.

随堂检测 1.(2013· 天津卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分 2 别是 a,b,c,已知 bsinA=3csinB,a=3,cosB= . 3 (1)求 b 的值; ? π? ? (2)求 sin?2B-3? ?的值. ? ?

a b 解析: (1)在△ABC 中, 由 = , 可得 bsinA=asinB, sinA sinB 又由 bsinA=3csinB,可得 a=3c,又 a=3,故 c=1. 2 2 2 2 由 b =a +c -2accosB,cosB= ,可得 b= 6. 3 2 5 (2)由 cosB= ,得 sinB= , 3 3 1 4 5 2 ∴cos2B=2cos B-1=- ,sin2B=2sinBcosB= . 9 9 ? π? π π 4 5+ 3 ? ? ∴sin?2B-3?=sin2Bcos -cos2Bsin = . 3 3 18 ? ?

2.(2013· 重庆卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别 为 a,b,c,且 a2=b2+c2+ 3bc. (1)求 A; (2)设 a= 3,S 为△ABC 的面积,求 S+3cosBcosC 的最 大值,并指出此时 B 的值.

解析:(1)由余弦定理得 b2+c2-a2 - 3bc 3 cosA= = =- . 2bc 2bc 2 5π 又 0<A<π,∴A= . 6 1 (2)由(1)得 sinA= ,又由正弦定理及 a= 3得 2 1 1 asinB S= bcsinA= · · asinC=3sinBsinC, 2 2 sinA ∴S+3cosBcosC=3(sinBsinC+cosBcosC)=3cos(B-C). π-A π 当 B=C,即 B= = 时,S+3cosBcosC 取最大值 3. 2 12

3.(2013· 江西卷)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1. (1)求证:a,b,c 成等差数列; 2π a (2)若 C= ,求 的值. 3 b

解析:(1)由已知得 sinAsinB+sinBsinC=2sin2B, ∵sinB≠0,∴sinA+sinC=2sinB. 由正弦定理得 a+c=2b,即 a,b,c 成等差数列. 2π (2)由 C= ,c=2b-a 及余弦定理得(2b-a)2=a2+b2+ 3 a 3 2 ab,即 5ab-3b =0,∴ = . b 5



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