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2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第二章 第十节函数与方程 文

第十节 函数与方程 1.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存 在性及根的个数. 2.根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解. 知识梳理 一、函数的零点 1.定义:一般的,如果函数 y=f(x)在________________,即 f(a)=0,则__________ 叫做这个函数的零点. 2.函数的零点存在性定理:若函数 y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是________,并且 在______________,即__________________,则函数 y=f(x)在________________,即相应 的方程 f(x)=0 在区间(a,b)内至少有一个实数根. 3.函数的零点具有下列性质:当它________(不是偶次零点)时函数值________,相邻 两个零点之间的所有函数值保持同号. 二、二分法 1.定义:对于区间[a,b]上图象连续不断的,且 f(a)·f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断 地把函数的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点, 从而得到零点近似 值的方法,叫做二分法. 2.用二分法求函数零点的近似值的步骤. 第一步:________________________________________ 第二步:________________________________________ 第三步:________________________________________ (1)若_________,则 x1 就是函数 f(x)的零点; (2)若________________,则令 b=x1[此时零点x0∈?a,x1?]; (3)若________________,则令 a=x1[此时零点x0∈?x1,b?]. 第四步:判断是否达到精确度 ε,即若________,则得到零点近似值 a(或 b).否则,重 复第二、三、四步. 注意:(1)在二分法求方程解的步骤中,初始区间可以选的不同,不影响最终计算结果, 第 1 页 共 5 页 所选的初始区间的长度尽可能短,但也要便于计算; (2)二分法的条件 f(a)· f(b)<0 表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点. 三、一元二次方程根的分布问题 关键是抓住方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根所在区间端点的函数值的符号、判别式及对 称轴的位置这三点来考虑. 二次方程 f(x)=ax2+bx+c=0 的实根分布及条件: (1)方程 f(x)=0 的两根中一根比 r 大,另一根比 r 小?a· f(r)<0; ? ? b (2)二次方程 f(x)=0 的两根都大于 r??-2a>r, ? ?a· f?r?>0; Δ=b2-4ac>0, ? ?p<-2ba<q, (3)二次方程 f(x)=0 在区间(p,q)内有两根?? a· f?q?>0, ? ? a· f?p?>0; Δ=b2-4ac>0, (4)二次方程 f(x)=0 在区间(p,q)内只有一根?f(p)· f(q)<0 或 f(p)=0 或 f(q)=0,检验另 一根在(p,q)内成立. 一、1.实数 a 处的值等于零 a 2.连续不间断的 区间端点的函数值符号相反 f(a)· f(b)<0 区间(a,b)内至少有一个零 点 3.通过零点 变号 二、2.确定区间[a,b],验证 f(a)· f(b)<0,给定精确度 ε 求区间 (a,b)的中点 x1 计算 f(x1) (1)f(x1)=0 (2)f(a)· f(x1)< 0 (3)f(x1)· f(b)<0 |a-b|<ε 基础自测 1.根据表中的数据,可以判定方程 ex-x-2=0 的一个根所在的区间为( ) x ex x+2 A.(-1,0) -1 0.37 1 0 1 2 1 2.72 3 B.(0,1) 2 7.39 4 3 20.09 5 第 2 页 共 5 页 C.(1,2) D.(2,3) 解析:设 f(x)=ex-(x+2),则由题设知 f(1)=-0.28<0,f(2)=3.39>0,故有一个根在 区间(1,2)内. 答案:C 2.(2013· 河北名师俱乐部一模)下列函数中,在(-1,1)上有零点且单调递增的是( A.y=log2(x+2) B.y=2x-1 1 C.y=x2- 2 D.y=-x2 ) 解析:在(-1,1)上递增的函数只有 y=log2(x+2)和 y=2x-1,又 y=log2(x+2)的零点为 x=-1,y=2x-1 的零点为 x=0.故选 B. 答案:B 3.如果函数 f(x)=x2+mx+m+2 的一个零点是 0,则另一个零点是________. 解析:依题意知:m=-2.∴f(x)=x2-2x. ∴方程 x2-2x=0 的另一个根为 2,即函数 f(x)的另一个零点是 2. 答案:2 4 . 方 程 x2 - 2ax + 4 = 0 的 两 根 均 大 于 1 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ___________________________________________. 解析:(法一)利用韦达定理. 设方程 x2-2ax+4=0 的两根为 x1,x2, ?x1-1??x2-1?>0, ? ? 则??x1-1?+?x2-1?>0, ? ?Δ≥0, 5 解得 2≤a< . 2 (法二)利用二次函数图象的特征. Δ≥0, ? ? 设 f(x)=x -2ax+4,则?f?1?>0, ? ?a>1, 2 5 解得 2≤a< . 2 第 3 页 共 5 页 5? 答案:? ?2,2? 1.(2012· 湖北卷)函数 f(x)=xcos x2 在区间[0,4]上的零点个数为( A.4 B.5 C .6 D.7 ) π 解析: 由 f(x)=0, 得 x=0 或 cos x2=0, 即 x2=kπ+ , k∈Z.又


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