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北京市海淀区2015-2016高一年级第一学期期末练习数学2016-2-17


2015-2016 海 淀 区 高 一 年 级 第 一 学 期 期 末 数 学
2016.1

学校

班级

姓名
本试卷共 100 分.考试时间 90 分钟.

成绩

一.选择题:本大题共 8 小题,共 32 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1. 若集合 A={x|-1≤x<2 } ,B={x|x≥1 },则 A∩B= A. (1,2) 2. A. 1 的值为 B. -1 C. 0 D. ,则 x = D. ±8 ( B. -cos200 C. ±cos200 D.±|cos200 | ( ,且 ,且 与 a 方向相同 与 a 方向相反 ) ) ( ) B. [-1,2) C. [-1,1] D. [-1,2) ( ) ( )

3. 若 α 是第二象限的角,P(x,6)为其终边上的一点,且 A. -4 4. 化简 A. cos200 B. ±4 C. -8

5. 已知 A(1,2),B(3,7),a=(x,-1) , A. x = C. x = ,且 ,且 与 a 方向相同 与 a 方向相反

∥a,则
B. x = D. x =

6. 已知函数:① y = tanx,② y = sin| x |,③ y = | sin x |,④ y = | cos x |,其中周期为π ,且 在(0, )上单调递增的是 A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①③④
? 2

(

)

7.先把函数 y = cos x 的图像上所有点向右平移

个单位,再把所得各点的横坐标缩短到原 ( D. y = cos( x- ) )

来的 倍 (纵坐标不变),得到的函数图象的解析式为 A. y = cos( 2x + ) B. y = cos( 2x- ) C. y = cos( x + )

1

8. 若 m 是函数 f ? x ? ? x ? 2x ? 2 的一个零点,且 x1∈(0,m),x2∈(m,+∞),则 f (x1),f (x2), f (m)的大小关系为( ) B. f (m) < f (x2) < f (x1) D. f (x2) < f (m) < f (x1)

A. f (x1) < f (m) < f (x2) C. f (m) < f (x1) < f (x2)

二.填空题:本大题共 6 小题,每空 4 分,共 24 分. 把答案填写在题中横线上. 9. 若 y ? log 2 x >1,则 x 的取值范围是_____________. 10. 若函数 f (x) = x2+3x-4 在 x∈[-1,3]上的最大值和最小值分别为 M,N, 则 M+N= .

11. 若向量 a = (2,1),b = (1,-2),且 m a + n b = (5,-5) (m,n∈R), 则 m-n 的值为 .

12. 如图,在平行四边形 ABCD 中,AC,BD 相交于点 O,E 为线段 AO 的中点, ??? ? ??? ? ??? ? 若 BE ? ? BA ? ? BD ? ? , ? ? R ? ,则 ? ? ? ? .

13.若函数 f ? x ? ? sin ??x ? ? ? (其中 ? >0) 在(0, f (0) = -1,则 ? = _____.

? ? ? )上单调递增,且 f ( ) + f ( ) = 0, 3 6 3

14. 已知函数 y = f (x),若对于任意 x∈R,f (2x) = 2f (x)恒成立,则称函数 y = f (x)具有性质 P, (Ⅰ)若函数 f (x) 具有性质 P,且 f (4) = 8,则 f (1) = _____________; (Ⅱ)若函数 f (x) 具有性质 P,且在 (1,2]上的解析式为 y = cos x,那么 y = f (x)在(1,8]上 有且仅有___________个零点. 三.解答题:本大题共 4 小题,共 44 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(海淀区 2015—2016 高一上学期期末 15 题,本题满分 12 分) 已知二次函数 f (x) = x2+mx-3 的两个零点为-1 和 n, (Ⅰ)求 m,n 的值; (Ⅱ)若 f (3) = f (2a-3),求 a 的值.

2

16.(海淀区 2015—2016 高一上学期期末 16 题,本题满分 12 分) 已知函数 f (x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,函数 f (x) =2x-1 (Ⅰ)求当 x<0 时,f (x)的解析式; (Ⅱ)若 f (a) ≤3,求 a 的取值范围.

17. (海淀区 2015—2016 高一上学期期末 17 题,本题满分 12 分)

?? ? 已知函数 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? . 6? ?
(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调递增区间与对称轴方程;
? ?? (Ⅱ)当 x ? ?0, ? 时,求函数 f ? x ? 的最大值与最小值. ? 2?

18. (海淀区 2015—2016 高一上学期期末 18 题,本题满分 8 分) 如果 f ? x ? 是定义在 R 上的函数, 且对任意的 x∈R, 均有 f ? ?x ? ? ? f ? x ? , 则称该函数是 “X函数”. (Ⅰ)分别判断下列函数:① y ? 2x ;② y ? x ? 1 ; ③ y ? x2 ? 2x ? 3 是否为“X-函数”?(直 接写出结论) (Ⅱ)若函数 f ? x ? ? sin x ? cos x ? a 是“X-函数” ,求实数 a 的取值范围;
? x 2 ? 1, x ? A (Ⅲ)已知 f ? x ? ? ? 是“X-函数” ,且在 R 上单调递增,求所有可能的集合 A 与 ? x, x ? B

B.
3

海淀区高一年级第一学期期末练习参考答案 数 学
阅卷须知: 1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数. 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.

2016.1

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.
1.D 8.分析: 因为 m 是 f ( x) ? 2.B 3. C 4.A 5.D 6.B 7.B 8.D

x ? 2x ? 2 的一个零点,
x

则 m 是方程 x ? 2 ? 2 ? 0 的一个解, 即 m 是方程 x ? 2 ? 2 的一个解,
x

所以 m 是函数 g ( x) ?

x 与 h( x) ? 2x ? 2 图象的一个交点的横坐标,

如图所示,若 x1 ? ? 0, m? , x2 ? ? m, ?? ? , 则 f ( x2 ) ? g( x2 ) ? h( x2 ) ? 0 ? f (m) ,

f ( x1 ) ? g( x1 ) ? h( x1 ) ? 0 ? f (m) ,
所以 f ( x2 ) ? f (m) ? f ( x1 ) .

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分, 第 14 题每空 2 分.
9. (2, ??) 10.

39 4

11. ?2

12.

3 4

13. 2

14. 2; 3

14.分析: (1) (2 分)因为函数 y ? f ( x) 具有性质 P , 所以对于任意 x ? R , f (2 x) ? 2 f ( x) 恒成立, 所以 f (4) ? f (2 ? 2) ? 2 f (2) ? 2 f (2 ?1) ? 4 f (1) ,因为 f (4) ? 8 ,所以 f (1) ? 2 . (2) (2 分)若函数 y ? f ( x) 具有性质 P ,且在 (1, 2] 上的解析式为 y ? cos x , 则函数 y ? f ( x) 在 (2, 4] 上的解析式为 y ? 2 cos

x x ,在 (4,8] 上的解析式为 y ? 4 cos , 2 4

所以 y ? f ( x) 在 (1,8] 上有且仅有 3 个零点,分别是

?

2

, ? , 2? .

4

三、解答题: 本大题共 4 小题,共 44 分.
15.解: (Ⅰ)因为二次函数 f ( x) ? x2 ? mx ? 3 的两个零点为 ?1 和 n , 所以, ?1 和 n 是方程 x 2 ? mx ? 3=0 的两个根.

( , ?1 ) ? n ? ?3 , 则 ?1 ? n ? ?m
所以 m ? ?2 , n ? 3 . (Ⅱ)因为函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 的对称轴为 x ? 1 . 若 f (3) ? f (2a ? 3) ,

--------------------------4 分 --------------------------6 分

3 ? 2a ? 3 ? 1 或 2a ? 3 ? 3 2 得 a ? 1或 a ? 3. 综上, a ? 1 或 a ? 3 .

?x 16. 解: (Ⅰ)当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,则 f (? x) ? 2 ?1 .

--------------------------9 分 --------------------------12 分

--------------------------2 分 --------------------------4 分 -------------------6 分 --------------------------8 分 -----------------10 分

因为 f ( x ) 是奇函数,所以 f (? x) ? ? f ( x) . 所以 ? f ( x) ? 2
?x

?1 ,即当 x ? 0 时, f ( x) ? ?2? x ? 1 .

(Ⅱ)因为 f (a) ? 3 , f (2) ? 3 ,

所以 f (a) ? f (2) . 又因为 f ( x ) 在 R 上是单调递增函数, 所以 a ? 2 .

--------------------------12 分

说明:若学生分 a ? 0 和 a ? 0 两种情况计算,每种情况计算正确,分别给 3 分. 17.解:(Ⅰ) 因为 f ( x) ? 2sin ? 2 x ? 由?

? ?

??

?, 6?
--------------------------2 分

?

2 6 2 π π 得 ? ? k? ? x ? ? k ? , 6 3

? 2 k? ? 2 x ?

?

?

?

? 2 k? , k ? Z ,

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ? ?

π ? π ? ? k? , ? k? ? , k ? Z . -------------3 分 3 ? 6 ?
---------------5 分

π k? ? ,其中 k ? Z . -----------------------6 分 3 2 π ? ? 5? (Ⅱ) 因为 0 ? x ? ,所以 ? ? 2 x ? ? . --------------------------8 分 2 6 6 6
所以 f ( x ) 的对称轴方程为 x ?
5

? k? , k ? Z , 6 2 π k? 得x? ? . 3 2
由 2x ?

?

?

?

得: ?

1 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 . 2 6

--------------------------10 分

所以,当 2 x ? 当 2x ?

?

?
6

?

?

6

??

?

6

即 x ? 0 时, f ( x ) 的最小值为 ?1 ,

2

即x?

?
3

时, f ( x ) 的最大值为 2 .

--------------------------12 分

18.解:(Ⅰ)①、②是“ X - 函数” ,③不是“ X - 函数”. (说明:判断正确一个或两个函数给 1 分)

-------------------2 分

(Ⅱ)由题意,对任意的 x ? R , f (? x) ? ? f ( x) ,即 f (? x) ? f ( x) ? 0 . 因为 f ( x) ? sin x ? cos x ? a , 所以 f (? x) ? ? sin x ? cos x ? a . 故 f ( x) ? f (? x) ? 2cos x ? 2a . 由题意,对任意的 x ? R , 2 cos x ? 2a ? 0 ,即 a ? ? cos x . --------------------4 分 故实数 a 的取值范围为 (??, ?1) U (1, ??) . (Ⅲ) (1)对任意的 x ? 0 (a)若 x ? A 且 ? x ? A ,则 ?x ? x , f (? x) ? f ( x) , 这与 y ? f ( x) 在 R 上单调递增矛盾, (舍) , (b)若 x ? B 且 ? x ? B ,则 f (? x) ? ? x ? ? f ( x) , 这与 y ? f ( x) 是“ X ? 函数”矛盾, (舍). 此时,由 y ? f ( x) 的定义域为 R ,故对任意的 x ? 0 , x 与 ?x 恰有一个属于 A ,另一个属于 B . (2) 假设存在 x0 ? 0 ,使得 x0 ? A ,则由 x0 ? ---------------------------5 分

x0 ?x ? ,故 f ( x0 ) ? f ? 0 ? . 2 ? 2?

2 x0 x0 x0 2 ? 1 ? x0 ? 1 ? f ( x0 ) ,矛盾, (a)若 ? A ,则 f ( ) ? 2 2 4

(b)若

x0 x x 2 ? B ,则 f ( 0 ) ? 0 ? 0 ? x0 ? 1 ? f ( x0 ) ,矛盾. 2 2 2

综上,对任意的 x ? 0 , x ? A ,故 x ? B ,即 (??,0) ? B ,则 (0, ??) ? A . (3)假设 0 ? B ,则 f (?0) ? ? f (0) ? 0 ,矛盾. 故 0 ? A

故 A ? [0, ??) , B ? (??,0) . 经检验 A ? [0, ??) , B ? (??,0) .符合题意 ------------------------------------8 分

6


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