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11-12学年高中数学 2.1.1.1 归纳推理同步练习 新人教A版选修2-2


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选修 2-2
一、选择题 1.关于归纳推理,下列说法正确的是( A.归纳推理是一般到一般的推理 B.归纳推理是一般到个别的推理 C.归纳推理的结论一定是正确的 D.归纳推理的结论是或然性的 [答案] D [解析] 归纳推理是由特殊到一般的推理,其结论的正确性不一定.故应选 D. 2.下列推理是归纳推理的是( ) )

2.1.1 第 1 课时 归纳推理

A.A,B 为定点,动点 P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得 P 的轨迹为椭圆 B.由 a1=1,an=3n-1,求出 S1,S2,S3,猜想出数列的前 n 项和 Sn 的表达式 C.由圆 x +y =r 的面积 π r ,猜出椭圆 2+ 2=1 的面积 S=π ab D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 [答案] B [解析] 由归纳推理的定义知 B 是归纳推理,故应选 B. 3.数列{an}:2,5,11,20,x,47,…中的 x 等于( A.28 B.32 C.33 D.27 [答案] B [解析] 因为 5-2=3×1,11-5=6=3×2,20-11=9=3×3,猜测 x-20=3×4,47-x =3×5,推知 x=32.故应选 B. 4.在数列{an}中,a1=0,an+1=2an+2,则猜想 an 是( A.2 B.2 C.2 D.2
n-2
2 2 2 2

x2 y2 a b

)

)

1 - 2

n-2

n-1

+1 -4

n+1

[答案] B [解析] ∵a1=0=2 -2,
1

-1-

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∴a2=2a1+2=2=2 -2,
2

a3=2a2+2=4+2=6=23-2, a4=2a3+2=12+2=14=24-2,
…… 猜想 an=2 -2. 故应选 B. 5.某人为了观看 2012 年奥运会,从 2005 年起,每年 5 月 10 日到银行存入 a 元定期储 蓄,若年利率为 p 且保持不变,并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期,到 2012 年将 所有的存款及利息全部取回,则可取回的钱的总数(元)为( A.a(1+p) B.a(1+p)
7

n

)

8

C. [(1+p) -(1+p)] D. [(1+p) -(1+p)] [答案] D [解析] 到 2006 年 5 月 10 日存款及利息为 a(1+p). 到 2007 年 5 月 10 日存款及利息为

a p a p

7

8

a(1+p)(1+p)+a(1+p)=a[(1+p)2+(1+p)]
到 2008 年 5 月 10 日存款及利息为

a[(1+p)2+(1+p)](1+p)+a(1+p)
=a[(1+p) +(1+p) +(1+p)] …… 所以到 2012 年 5 月 10 日存款及利息为
3 2

a[(1+p)7+(1+p)6+…+(1+p)]
(1+p)[1-(1+p) ] =a 1-(1+p) = [(1+p) -(1+p)]. 故应选 D. 6.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n an(n≥2),而 a1=1,通过计算 a2,a3,a4,猜想 an 等于 ( ) A. B. 2 2 (n+1) 2
2 7

a p

8

n(n+1)
-2-

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C. D. 2 2 -1
n

2 2n-1

[答案] B [解析] 因为 Sn=n an,a1=1, 1 2 所以 S2=4a2=a1+a2? a2= = , 3 3×2
2

a1+a2 1 2 S3=9a3=a1+a2+a3? a3= = = ,
8 6 4×3

S4=16a4=a1+a2+a3+a4
? a4=

a1+a2+a3
15

1 2 = = . 10 5×4

所以猜想 an=

2 ,故应选 B. n(n+1)

7.n 个连续自然数按规律排列下表:

根据规律,从 2010 到 2012 箭头的方向依次为( A.↓→ B.→↑ C.↑→ D.→↓ [答案] C

)

[解析] 观察特例的规律知:位置相同的数字都是以 4 为公差的等差数列,由 234 可知 从 2010 到 2012 为↑→,故应选 C. 8.(2010·山东文,10)观察(x )′=2x,(x )′=4x ,(cosx)′=-sinx,由归纳推理 可得:若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=f(x),记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(-x)= ( ) A.f(x) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x) [答案] D [解析] 本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容,由例子可看出偶函数求导后都变成
2 4 3

-3-

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了奇函数, ∴g(-x)=-g(x),选 D,体现了对学生观察能力,概括归纳推理的能力的考查. 9.根据给出的数塔猜测 123456×9+7 等于( )

1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1111 1234×9+5=11111 12345×9+6=111111 … A.1111110 B.1111111 C.1111112 D.1111113 [答案] B [解析] 根据规律应为 7 个 1,故应选 B. 10.把 1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点子可以排 成一个正三角形(如下图),

试求第七个三角形数是( A.27 B.28 C.29 D.30 [答案] B

)

[解析] 观察归纳可知第 n 个三角形数共有点数:1+2+3+4+…+n= 7×(7+1) 第七个三角形数为 =28. 2 二、填空题

n(n+1)
2

个,∴

11.观察下列由火柴杆拼成的一列图形中,第 n 个图形由 n 个正方形组成:

-4-

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通过观察可以发现:第 4 个图形中,火柴杆有________根;第 n 个图形中,火柴杆有 ________根. [答案] 13,3n+1 [解析] 第一个图形有 4 根,第 2 个图形有 7 根,第 3 个图形有 10 根,第 4 个图形有 13 根……猜想第 n 个图形有 3n+1 根. 12.从 1=1 2+3+4=3 3+4+5+6+7=5 中,可得一般规律是__________________. [答案] n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)
2 2, 2, 2

[解析] 第 1 式有 1 个数,第 2 式有 3 个数相加,第 3 式有 5 个数相加,故猜想第 n 个 式子有 2n-1 个数相加,且第 n 个式子的第一个加数为 n,每数增加 1,共有 2n-1 个数相加, 故第 n 个式子为:

n+(n+1)+(n+2)+…+{n+[(2n-1)-1]}
=(2n-1) , 即 n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1) . 13.观察下图中各正方形图案,每条边上有 n(n≥2)个圆圈,每个图案中圆圈的总数是 S, 按此规律推出 S 与 n 的关系式为________.
2 2

[答案] S=4(n-1)(n≥2) [解析] 每条边上有 2 个圆圈时共有 S=4 个;每条边上有 3 个圆圈时,共有 S=8 个; 每条边上有 4 个圆圈时,共有 S=12 个.可见每条边上增加一个点,则 S 增加 4,∴S 与 n 的 关系为 S=4(n-1)(n≥2). 14.(2009·浙江理,15)观察下列等式: C5+C5=2 -2, C9+C9+C9=2 +2 , C13+C13+C13+C13=2 -2 , C17+C17+C17+C17+C17=2 +2 ,
-51 5 9 13 17 15 7 1 5 9 13 11 5 1 5 9 7 3 1 5 3

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…… 由以上等式推测到一个一般的结论: 对于 n?N ,C4n+1+C4n+1+C4n+1+…+C4n+1=__________________. [答案] 2
4n-1 * 1 5 9 4n+1

+(-1) 2

n 2n-1

[解析] 本小题主要考查归纳推理的能力 等式右端第一项指数 3,7,11,15 ,…构成的数列通项公式为 an = 4n - 1 ,第二项指数 1,3,5,7,…的通项公式 bn=2n-1,两项中间等号正、负相间出现,∴右端=2
-1 4n-1

+(-1) 2

n 2n

. 三、解答题 1 1 1 9 15.在△ABC 中,不等式 + + ≥ 成立, A B C π 1 1 1 1 16 在四边形 ABCD 中,不等式 + + + ≥ 成立, A B C D 2π 1 1 1 1 1 25 在五边形 ABCDE 中,不等式 + + + + ≥ 成立,猜想在 n 边形 A1A2…An 中,有怎样 A B C D E 3π

的不等式成立? 9 16 25 n [解析] 根据已知特殊的数值: 、 、 ,…,总结归纳出一般性的规律: π 2π 3π (n-2)π (n≥3). 1 1 1 n ∴在 n 边形 A1A2…An 中: + +…+ ≥ (n≥3). A1 A2 An (n-2)π 16.下图中(1)、(2)、(3)、(4)为四个平面图.数一数每个平面图各有多少个顶点?多 少条边?它们围成了多少个区域?并将结果填入下表中.
2 2

平面区域 (1) (2) (3) (4)

顶点数

边数

区域数

(1)观察上表,推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系? (2)现已知某个平面图有 999 个顶点,且围成了 999 个区域,试根据以上关系确定这个平 面图有多少条边? [解析] 各平面图形的顶点数、边数、区域数如下表:

-6-

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平面区域 (1) (2) (3) (4) 结论 推广 顶点数 3 8 6 10 边数 3 12 9 15 区域数 2 6 5 7 关系 3+2-3=2 8+6-12=2 6+5-9=2 10+7-15=2

V
999

E E

F
999

V+F-E=2 E=999+999-2
=1996

其顶点数 V,边数 E,平面区域数 F 满足关系式 V+F-E=2. 故可猜想此平面图可能有 1996 条边. 1 17.在一容器内装有浓度为 r%的溶液 a 升,注入浓度为 p%的溶液 a 升,搅匀后再倒出溶 4 1 液 a 升,这叫一次操作,设第 n 次操作后容器内溶液的浓度为 bn(每次注入的溶液浓度都是 4

p%),计算 b1、b2、b3,并归纳出 bn 的计算公式. a·
[解析] b1= + · 100 4 100

r

a

p

a a+
4



1 ?4 1 ? ? r+ p?, 100?5 5 ?

a p ab1+ · b2=

4 100 1 ??4?2 1 4 ? = ?? ? r+ p+ 2p?. 5 5 ? a 100??5? a+ 4 4 100

a p a·b2+ · b3= a+


a

4

2 4 4 ? 1 ??4?3 1 r+ p+ 2p+ 3P?, ? ? ? 5 5 5 ? 100??5?

n-1 4 4 1 ??4?n 1 ? ∴归纳得 bn= ?? ? r+ p+ 2p+…+ n P?. 5 5 5 ? 100??5?

18.设 f(n)=n +n+41,n?N+,计算 f(1),f(2),f(3),…,f(10)的值,同时作出归 纳推理,并用 n=40 验证猜想是否正确. [解析] f(1)=1 +1+41=43,f(2)=2 +2+41=47,
2 2

2

f(3)=32+3+41=53,f(4)=42+4+41=61, f(5)=52+5+41=71,f(6)=62+6+41=83, f(7)=72+7+41=97,f(8)=82+8+41=113,

-7-

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f(9)=92+9+41=131,f(10)=102+10+41=151.
由于 43、47、53、61、71、83、97、113、131、151 都为质数. 即:当 n 取任何非负整数时 f(n)=n +n+41 的值为质数. 但是当 n=40 时,f(40)=40 +40+41=1681 为合数. 所以,上面由归纳推理得到的猜想不正确.
2 2

-8-


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