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成都七中15级高一数学半期考试试卷及答案


成都七中高 2015 级高一上期半期考试 数学试题
时间:120 分钟 满分:150 分

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求. (1) 已知全集 U ? R , 集合 A ? ??2, ?1,0,1? 和 B ? ? y y ? 2k ? 1, k ? Z ? 的关系的韦恩 (Venn) 图如图所示,则阴影部分所表示的集合的元素共有 (A)3 个 (2)不等式 (B)2 个 (C)1 个 (D)0 个

x ? 0 的解集为 2x ?1
(B) (?

(A) ( ? ,0)

1 2

1 ,0 ] 2

(C) ? ? , ?? ?

? 1 ? 2

? ?

(D) (0,??)

(3)下列函数中,在 R 上是偶 函数,且在 (0, ) +? 上为单调递增函数的是 (A) y ? x
3

(B) y ?

1 x2

(C) y ? ? x ? 1
2

(D) y ? 2

x

(4)函数 f ( x) ? 2 x ? 8 ? log 3 x 的零点一定位于区间 (A) (3, 4)
0.5

(B) (5,6)

(C) (1, 2)

(D) (2,3)

(5)已知 x ? 2 , y ? log 5 2, z ? log 5 0.7 ,则 x, y, z 的大小关系为 (A) x ? y ? z (B) z ? x? y (C) z ? y? x (D) y ? z ? x

(6) 今有一组实验数据如右表, 现准备 用下列函数中的一个模拟这组数据满足 的规律,其中最接近的一个是 (A) y ? log 2 t

t
y

2.0 1.5

3.0 4.04

4.0 7.5

5.1 12

6.0 18.01

t 2 ?1 (B) y ? 2
2

?1? (C) y ? ? ? ?2?

t

(D) y ? 2t ?

5 2

(7) 已知函数 f ( x) ? x ? (k ? 1) x ? 3 为 (??, ??) 上的偶函数, 则函数 g ( x) ? log? x ? k 的大致图象是
高 2012 级高一上期半期考试 数学试题 第 1 页 共 12 页

Y

Y

-1
O 1

-2
2 X

O 1

2

X

(A)
Y

(B)
Y

-2 -1 O 1

2

X

O

1

2

X

(C)

(D)

(8)若指数函数 f ( x) ? a x (a ? 0且a ? 1) 的部分对应值如右表

x
所示,则下列表述中,正确的是

-2 0.592

f ( x)
(A) 0 ? a ? 1 (B) f ( x) ? a x (a ? 0且a ? 1) 的反函数为 g ( x) ? ? log a x (a ? 0且a ? 1) (C) h( x) ? a x
2

?2 x

的单调递增区间为 ? ??,1?

(D) F ( x) ? a x ? a 的图象不过第二象限

?(c ? 1)2 x ,( x ? 1) f ( x) ? ? (9)已知函数 的单调递增区间为 ? ??, ?? ? ,则实数 c 的取 (4 ? c) x ? 3,( x ? 1) ?
值范围是 (A) ?1, 4 ? (B) ? 3, 4 ? (C) ? 3, 4 ? (D) ?1,3?

(10)已知 a ? b (a、b ? R ) 是关于 x 的方程 x 2 ? (k ? 1) x ? k 2 ? 0 两个根,则以下结论正 确的是 (A) k 的取值范围为 (?1,3) (B)若 a, b? (??,0) ,则 k 的取值范围为 (??,1) (C) ab ? 2(a ? b) 的取值范围是 (?2, ?

11 ) 9

(D)若 a ? ?1 ? b ,则 k 的取值范围为 (?1,0)
高 2012 级高一上期半期考试 数学试题 第 2 页 共 12 页

2x (11)已知在 R 上的奇函数 f (x) ,当 x ? (0, ??) 时, f ( x) ? x ,下列说法错误的是 .. 2 ?1
(A) f (?1) ? ? , f (0) ? 0

2 3

(B) x ? (??,0) 时, f ( x) ? ?

1 2 ?1
x

(C)若 y ? f ( x) ? ? 在 R 上存在零点,则 ? ? ? ?1, ? ? ? ? ,1? ? {0} (D) y ? f ( x) 在区间 ? ?1,0? 上不是单调递减函数 (12)设函数 y ? f (x) 的定义域为 D ,值域为 B ,如果存在函数 x ? g (t ) ,使得函数

? ?

1? ?1 ? 2? ?2 ?

y ? f ( g (t )) 的值域仍然是 B ,那么称函数 x ? g (t ) 是函数 y ? f (x) 的一个等值域变换.
有下列说法:

x ①若 f ( x) ? 2 x ? b, x ? R , ? t ? 2t ? 3, t ? R , x ? g (t ) 不是 f ( x) 的一个等值域变换; 则
2

② f ( x) ? x ( x ? R ) , x ? log 3 t ? 1 ,(t ? R ) ,则 x ? g (t ) 是 f ( x) 的一个等值域变换;
2

?

?

③若 f ( x) ? x ? x ? 1, x ? R ,x ? g (t ) ? 2 , t ? R , x ? g (t ) 是 f ( x) 的一个等值域变换; 则
2 t

④设 f ( x) ? log 2 x ( x ? 0) ,若 x ? g (t ) ? 5 ? 5 ? m 是 y ? f (x) 的一个等值域变换,且
t

?t

函数 f ( g (t )) 的定义域为 R ,则 m 的取值范围是 m ? ?2 . 在上述说法中,正确说法的个数为 (A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.答案填在答题卡上. (13)幂函数 f ( x) = x ( a 为常数)的图象过点 (4, 2) ,那么 f (16) 的值为
a



(14)某同学用“二分法求方程 lg x ? 2 ? x 的近似解”时,设 f ( x) ? lg x ? x ? 2 ,算得

f (1) ? 0, f (2) ? 0 ,则下一个有零点的区间是



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数学试题

第 3 页 共 12 页

(15) f 是由集合 A ? {x | x ? N, 且1 ? x ? 26} 到 B ? {a, b, c,?, z}(即 26 个英文字母 设

按照字母表顺序排列)的映射,集合 B 中的任何

A ???? ?? B ? 8999999999999999 1 ?????? a ? 8999999999999999 2 ?????? b ? 8999999999999999 3 ?????? c ? 8999999999999999 4 ?8999999999999999? d ????? ? ?


一个元素在 A 中也只有唯一的元素与之对应,

其对应法则如右图所示(依次对齐) ;

又知函数 g ( x) ? ?

?log 2 (32 ? x) (22 ? x ? 32) ? x?4 (0 ? x ? 22)

26 ?????? z ? 8999999999999999

若 f ( x1 ) , f ? g (20)? , f ? g ( x2 )? , f ? g (9)? 所表示的字母依次排列组成的英文单词为

exam ,则 x1 ? x2 =
(16)已知函数 f ( x) ? 2
? x ?1



? f ( x ? 1) ? 2, ?1 ? x ? 0 ? 3, x ? R , g ( x) ? ? ,有下列说法: ? g ( x ? 1) ? k , x ? 0
2

①不等式 f ( x) ? 0 的解集是 (??, ?1 ? log 2 3) ; ②若关于 x 的方程 f ( x) ? 8 f ( x) ? m ? 0 有实数解,则 m ? ?16 ;③ 当 k ? 0 时,若 g ( x) ? m 有解,则 m 的取值范围为 ? 0, ?? ? ; 若 g ( x) ? m 恒成立,则 m 的取值范围为 ?1, ?? ? ;④ 若 k ? 2 ,则函数 h( x) ? g ( x) ? 2 x 在 区间 [0, n](n?N*) 上有 n ? 1个零点. 其中你认为正确的所有说法的序号是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分)求下列各式的值: (Ⅰ) (2a (Ⅱ)
?3

? b ) ? (a?1b) ? 3 b5 ? a ?4 ;

?

2 3

1 lg 25 ? lg 2 ? lg 10 ? log 2 9 ? log 3 2 ? eln 2 . 2

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数学试题

第 4 页 共 12 页

(18) (本小题满分 12 分) 已知集合 A ? x | ? x ? (a ? 1) ?? x ? (2a ? 1) ? ? 0 , B ? ? x | ?1 ? x ? 3? . ? (Ⅰ)若 A ? {x |1 ? x ? 5} ,求 a 的值; (Ⅱ)若 2 ?
a

?

?

1 且 A ? B ,求实数 a 的取值范围. 4

(19) (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ?

x?a 是定义在 ? ?1,b ? 上的奇函数. x ? (b ? 1) x ? 1
2

(Ⅰ)求 a, b 的值; (Ⅱ)用单调性定义证明: f ( x) 在 ? ?1,b ? 上为单调递增函数.

(20) (本小题满分 12 分)

心理学家发现,学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间,上课开 始时,学生的兴趣激增,中间有一段不太长的时间,学生的兴趣保持较理想的状态,随后 学生的注意力开始分散,并趋于稳定.分析结果和实验表明,设提出和讲述概念的时间为 x (单位:分) ,学生的接受能力为 f ( x) ( ( f ( x) 值越大,表示接受能力越强) ,

? 1 2 ?? 10 ( x ? 26 x ? 440) (0 ? x ? 10) ? ? (10 ? x ? 15) f ( x) ? ? 60 ? ?3 x ? 105 (15 ? x ? 25) ? (25 ? x ? 40) ? 30 ?
(Ⅰ)试比较开讲后第 5 分钟、第 20 分钟、第 35 分钟,学生的接受能力的大小; (Ⅱ)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多少时间? (Ⅲ)若一个数学难题,需要讲述 12 分钟时间,试探求:老师能否在学生接受能力一 直保持在至少为 56 的状态下讲述完这个难题?
高 2012 级高一上期半期考试 数学试题 第 5 页 共 12 页

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a , g ( x) ? a
x
2x

? m ,其中 m ? 0 , a ? 0且a ? 1 .当 x ? ? ?1,1? 时,

5 y ? f ( x) 的最大值与最小值之和为 . 2
(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ) a ? 1 , 若 记函数 h( x) ? g ( x) ? 2mf ( x) , 求当 x ? ? 0,1? 时 h( x ) 的最小值 H (m) ; (Ⅲ)若 a ? 1 ,且不等式

f ( x) ? mg ( x) ? 1 在 x ? ? 0,1? 恒成立,求 m 的取值范围. f ( x)

(22) (本小题满分 14 分) 已知集合 M ? ? f ( x) y ? f (x )

? ,其元素 f ( x) 须同时满足下列三个条件:①定义域为
x? y ) ;③当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 . 1 ? xy

(?1,1) ;②对于任意的 x, y ? (?1,1) ,均有 f ( x) ? f ( y) ? f (

(Ⅰ)若函数 f ( x) ? M ,证明: y ? f ( x) 在定义域上为奇函数;

1? x ,判断是否有 h( x) ? M ,说明理由; 1? x 1 1 (Ⅲ)若 f ( x) ? M 且 f (? ) ? 1 ,求函数 y ? f ( x) ? 的所有零点. 2 2
(Ⅱ)若函数 h( x) ? ln

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数学试题

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成都七中高 2015 级高一上期半期考试
数学参考答案 ..
命题人:何毅章
一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 B 2 B 3 D 4 A 5 C 6 B 7 A 8 D 9 C 10 D 11 C 12 D

审题人: 郑严

江海兵

注:(12)③小问,不需要用对勾函数或均值不等式求解. 二、填空题: (每小题 4 分,共 16 分)

(13) 4 ; (14) ? , 2 ? ; (15) 35 ;(16)①③④. 注:(16)③④小问,不需要用周期求解. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分) (17) 解: (Ⅰ)原式= 2 ? (a 1分
?3 ?1 4

?3 ?2

? ?

1分 2分

2分

a a )(b b ? b ) = 2b2
1

?

2 3

5 3

………6 分 1分 ………12 分

(Ⅱ)原式 ? lg5 ? lg 2 ? lg10 2 ? 2log 2 3 ? log3 2 ? 2 2分

? 1?

1 3 ?2?2 ? . 2 2
1分

(18) 解: (Ⅰ)∵ A ? {x |1 ? x ? 5} ,
2

2分 即 x ? 1和x ? 5 为方程 x ? 3ax ? (a ? 1)(2a ? 1) ? 0 的根 2分

?3a ? 6 ? ?a?2 ? ?? a ? 1?? 2a ? 1? ? 5 ?
检验得, a ? 2 符合题意,∴ a ? 2 1分 ………5 分

(Ⅱ)由 2 ?
a

1 得 a ? ?2 ,此时 2a ? 1 ? a ?1 4
2分 1分

① a= ? 2 时, 2a ? 1=a ?1, A ? ? 符合题意. ② a ? ?2 时, A ? {x | a ? 1 ? x ? 2a ? 1}

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第 7 页 共 12 页

由 A? B 得?

? 2a ? 1 ? 3 ? a ? [0,1] ?a ? 1 ? ?1
1分

2分 ………12 分 2分

综合①②可知: a ? [0,1] ? ??2? .

(19) 解: (Ⅰ)∵ f ( x) 是定义在[-1,b]上的奇函数,∴b=1, ∵ f (? x) ? ? f ( x) ,∴ f (0) ? 0 ,

0?a ?0?a ?0 即 2 0 ? 0 ?1
∴ a ? 0 , b ? 1.

1分 2分 ………5 分

(Ⅱ) f ( x) 在 ? ?1 , 1上为单调递增函数,证明如下: ? 任取 ?1 ? x1 ? x2 ? 1 , ∵ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

x1 x x x 2 ? x ? x 2x ? x ? 2 2 ? 1 2 2 1 12 2 2 x12 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

3分

?

x1 x2 ( x2 ? x1 ) ? x1 ? x2 ( x1 ? x2 )(1 ? x1 x2 ) ? ( x12 ? 1)( x2 2 ? 1) ( x12 ? 1)( x2 2 ? 1)

∵ ?1 ? x1 ? x2 ? 1 ,∴ x1 ? x2 ? 0 , ∴ ?1 ? x1 x2 ? 1 , 1 ? x1 x2 ? 0 ∴

( x1 ? x2 )(1 ? x1 x2 ) ?0 ( x12 ? 1)( x2 2 ? 1)

3分

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . ∴ f ( x) 在 ? ?1,1? 上为单调递增函数. (20)解:(Ⅰ) 由题意可知: 1分 ………12 分

f (5) ? 54.5, f (20) ? 45, f (35) ? 30

各1分

∴开讲后第 5 分钟、第 20 分钟、第 35 分钟的学生的接受能力由大到小依次是 开讲后第 5 分钟、第 20 分钟、第 35 分钟的接受能力. (Ⅱ)由题意可知:
高 2012 级高一上期半期考试 数学试题 第 8 页 共 12 页

………4 分 1分

0 ? x ? 10 , f ( x) ? ?

1 ( x ? 13)2 ? 60.9 10
1分 1分 1分 1分

∴当 x ? 10 时, f (x) 的最大值是 60, 又 10 ? x ? 15 , f (x) =60

15 ? x ? 40 时,恒有 f ( x) ? 60

∴开讲后 10 ? 15 分钟,学生的接受能力最强,并能维持 5 分钟.………8 分 (Ⅲ)由题意可知:当 0 ? x ? 10 时, f ( x) ? ? 解得: 6 ? x ? 10 ,此时共 4 分钟 当 10 ? x ? 15

1 ( x ? 13)2 ? 60.9 ? 56 10
1分

f (x) ? 60 ? 56 ,满足要求
1分

当 15 ? x ? 25 , ? 3x ? 105 ? 56 解得: 15 ? x ? 16

1 3

1分

∴接受能力 56 及以上的时间是 10

1 分钟,小于 12 分钟. 3

1分

∴老师不能在所需的接受能力和时间状态下讲述完这个难题 . ………12 分 (21)解: (Ⅰ)? f ( x) 在 ? ?1,1? 上为单调函数, 不全得 2 分

? f ( x) 的最大值与最小值之和为 a ? a ?1 ?
(Ⅱ) h( x) ? 2
x
2x
2

5 1 ,? a ? 2或 . ………3 分 2 2

? m ? 2m ? 2 x 即 h ( x ) ? ? 2 x ? ? 2 m ? 2 x ? m

令 t ? 2 ,∵ x ? ? 0,1? 时,∴ t ? ?1, 2 ? ,

h( x) ? t 2 ? 2mt ? m ,对称轴为 t ? m
当 0 ? m ? 1 时, H (m) ? h(1) ? ?m ? 1 ; 当 1 ? m ? 2 时, H (m) ? h(m) ? ?m ? m ;
2

1分 1分

当 m ? 2 时, H (m) ? h(2) ? ?3m ? 4 .

1分

? ? m ? 1 ,(0 ? m ? 1) ? 2 综上所述, H ( m) ? ? ? m ? m, (1 ? m ? 2) . ? ?3m ? 4, ( m ? 2) ?
高 2012 级高一上期半期考试 数学试题

1分

………8 分

第 9 页 共 12 页

(Ⅲ)

2 x ? m(2 2 x ? m) f ( x) ? mg ( x) ? 1 恒成立 ? 1 恒成立 ? 2x f ( x)
x 2x

即 2 ? m(2
x

? m) ? 2 x 恒成立 ? ?2 x ? m(22 x ? m) ? 2 x ? 2 x 恒成立
2x

显然: ?2 ? m(2 ∴ m(2
2x

? m) ? 2 x 对 x ? R 恒成立,
2

? m) ? 2 x ? 2 x ? m ? ? 2 x ? ? 2 ? 2 x ? m 2 ? 0

x 令 2 ? t , t ? ?1, 2? ,即 mt 2 ? 2t ? m2 ? 0 t ? ?1, 2? 恒成立,

?

?

由题意 mt ? 2t ? m ? 0 在 t ? [ 1 , 2 ] 上恒成立
2 2

2分

设 ? (t ) ? mt ? 2t ? m ,则要使上述条件成立,只需
2 2

?? (1) ? m ? 2 ? m 2 ? 0 ? ? 0 ? m ? 2 ( 2 ? 1) ? 2 ?? (2) ? m ? 4m ? 4 ? 0 ?
即满足条件的 m 的取值范围是 0 , 2 2 ? 2 ? .

2分

?

?

1分

………12 分

或解为:

m ? ? 2x ? ? 2 ? 2x ? m2 ? 0恒成立 ? m ? ? 2x ? ? 2 ? 2x ? m2
2 2
x 令 2 ? t , t ? ?1, 2? ? 原不等式 ? mt ? 2t ? m
2

?

?

?0
max

?

2

?

max

?0

令 ? (t ) ? mt ? 2t ? m
2

2

? t ? ?1, 2?? ,其对称轴为 t ? 1 ,
m

1 3 2 ? 时,只需 4m ? 4 ? m2 ? 0 ,? ? m ? 2 2 ? 2 m 2 3 1 3 2 2 ②当 ? 时,只需 m ? 2 ? m ? 0 ,? 0 ? m ? m 2 3
①当 综上述, m ? 0, 2 2 ? 2 ? .

?

?

(21)解: (Ⅰ)? x ? (?1,1) ,定义域关于原点对称 令 x ? y ? 0 得 f (0) ? 0 , 再令 y ? ?x 得 f ( x) ? f (? x) ? f (0) ? 0 , 1分

1分

? f ( ? x) ? ? f ( x )
? y ? f ( x) 为 (?1,1) 上的奇函数.

1分 ………3 分

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数学试题

第 10 页 共 12 页

(Ⅱ)? h( x) ? ln

1? x 1? x ,? ? 0 ? x ? (?1,1) 1? x 1? x

1分

对于任意的 x, y ? (?1,1) 有 h( x) ? h( y ) ? ln

1? x 1? y (1 ? x)(1 ? y ) ? ln ? ln 1? x 1? y (1 ? x)(1 ? y )
1?

x? y 1 ? xy ? ( x ? y ) 1 ? xy ? ln ? ln x? y 1 ? xy ? ( x ? y ) 1? 1 ? xy

即 h( x ) ? h( y ) ? h ? 当 ?1 ? x ? 0 时,

? x? y ? x? y ? (?1,1) ) ? (可以证明 1 ? xy ? 1 ? xy ?

2分

1? x 2 在 ? ?1,0 ? 为减函数, ? ?1 ? 1? x 1? x 1? x 2 1? x ∴ ? ?1 ? ? 1 ,∴ h( x) ? ln ? ln1 ? 0 , 1? x 1? x 1? x
∴ h( x ) 同时满足三个条件,∴ h( x) ? M . (Ⅲ)由 f ( x) ? M ,令任意的 x1 , x2 ? (?1,1) 且 x1 ? x2 , 再令上式中的 x ? x1 , y ? ? x2 可得:

2分 ………8 分

x ? x2 x ?x ) f ( x1 ) ? f (? x2 ) ? f ( 1 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( 1 1 ? x1 x2 1 ? x1 x2 ? x1 ? x2 x ?x ? 0, ? f ( 1 2 ) ? 0 ,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 1 ? x1 x2 1 ? x1 x2
2分

? f ( x) 在 (?1,1) 上为单调递减函数,
∴ y ? f ( x) ?

1 在 (?1,1) 上最多有一个零点 2

又? f (? ) ? 1 ,? f ( ) ? ?1

1 2

1 2

f ( x) ?

1 2x 1 ? 0,即2 f ( x) ? ?1,? f ( x) ? f ( x) ? f ( )? f( ) 2 2 1? x 2

2分

又? f ( x)在(?1,1) 上是减函数,

?

2x 1 ? ,? x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 ,? x ? 2 ? 3, 2 1? x 2

1分

又x ? (?1,1),? x ? 2 ? 3

? y ? f ( x) ?

1 只有一个零点且为 2 ? 3 . 2 ..
数学试题

1分

………14 分

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