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高中数学人教A版选修4-1学业分层测评4 相似三角形的性质 Word版含解析

学业分层测评(四) (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1 1.如图 1332,D,E,F 是△ABC 的三边中点,设△DEF 的面积为4,△ ABC 的周长为 9,则△DEF 的周长与△ABC 的面积分别是( ) 图 1332 9 A.2,1 9 C.2,8 【解析】 B.9,4 9 D.4,16 ∵D,E,F 分别为△ABC 三边的中点, 1 1 1 ∴EF 綊2BC,DE 綊2AC,DF 綊2AB. l△DEF EF 1 EF 1 ∴△DFE∽△ABC,且BC=2,∴ = = . l△ABC BC 2 9 又∵l△ABC=9,∴l△DEF=2. S△DEF EF2 1 1 又∵ =BC2=4,S△DEF=4, S△ABC ∴S△ABC=1,故选 A. 【答案】 A 2.如图 1333,在?ABCD 中,AB=10,AD=6,E 是 AD 的中点,在 AB 上取一点 F,使△CBF∽△CDE,则 BF 的长是( ) 图 1333 A.5 C.6.4 【解析】 B.8.2 D.1.8 BF CB 由△CBF∽△CDE,得DE=CD, 又点 E 是 AD 的中点,AB=CD=10,AD=BC=6, BF 6 ∴DE=3,即 3 =10,∴BF=1.8. 【答案】 D 3.如图 1334 所示,D 是△ABC 的 AB 边上一点,过 D 作 DE∥BC 交 AC 于 E.已知 AD∶DB=1∶3,则△ADE 与四边形 BCED 的面积比为( ) 图 1334 A.1∶3 C.1∶15 【解析】 B.1∶9 D.1∶16 因为 DE∥BC,所以△ADE∽△ABC. 又因为 AD∶DB=1∶3. 所以 AD∶AB=1∶4,其面积比为 1∶16, 则所求两部分面积比为 1∶15. 【答案】 C 4.某同学自制了一个简易的幻灯机,其工作情况如图 1335 所示,幻灯片 与屏幕平行,光源到幻灯片的距离是 30 cm,幻灯片到屏幕的距离是 1.5 m,幻 灯片上小树的高度是 10 cm, 则屏幕上小树的高度是( ) 【导学号: 07370017】 图 1335 A.50 cm C.60 cm B.500 cm D.600 cm 10 【解析】 设屏幕上小树的高度为 x cm,则 x = 【答案】 C 30 ,解得 x=60(cm). 30+150 5.如图 1336,△ABC 中,DE∥BC,DE 分别交 AB,AC 于 D,E,S△ADE S△ADE =2S△DCE,则 =( S△ABC ) 图 1336 1 A.4 2 C.3 【解析】 1 B.2 4 D.9 ∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC, S△ADE 4 AD 2 由 S△ADE=2S△DCE,得 AB =3,∴ = . S△ABC 9 【答案】 二、填空题 6.如图 1337,在△ABC 中,D 为 AC 边上的中点,AE∥BC,ED 交 AB 于 G,交 BC 延长线于 F,若 BG∶GA=3∶1,BC=10,则 AE 的长为________. D 图 1337 【解析】 BF BG 3 ∵AE∥BC,∴△BGF∽△AGE,∴AE=GA=1, AE AD ∵D 为 AC 中点,∴CF=DC=1,∴AE=CF, ∴BC∶AE=2∶1,∵BC=10,∴AE=5. 【答案】 5 7.如图 1338,AB 与 CD 相交于点 E,过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长 线交于点 P,已知∠A=∠C,PD=2DA=2,则 PE=________. 图 1338 【解析】 因为 PE∥BC,所以∠C=∠PED.又因为∠C=∠A,所以∠A= PD PE ∠PED.又∠P=∠P,所以△PDE∽△PEA,则 PE = PA ,即 PE2=PD· PA=2×3 =6,故 PE= 6. 【答案】 6 8.(2016· 湛江高三调研)如图 1339,在△ABC 中,已知 DE∥BC,△ADE AD 的面积是 a2,梯形 DBCE 的面积是 8a2,则 AB =________. 图 1339 【解析】 ∵S△ADE=a2, SDBCE=8a2, ∴S△ABC=S△ADE+SBDCE=a2+8a2=9a2, 2 1 AD 1 ?AD? S△ADE a ∴? AB ?2= =9a2=9,∴ AB =3. ? ? S△ABC 【答案】 三、解答题 1 3 9.如图 1340,已知在△ABC 中,D 是 BC 边的中点,且 AD=AC,DE⊥ BC,DE 与 AB 相交于点 E,EC 与 AD 相交于点 F. 图 1340 (1)求证:△ABC∽△FCD; (2)若 S△FCD=5,BC=10,求 DE 的长. 【解】 (1)证明:∵DE⊥BC,D 是 BC 的中点, ∴EB=EC,∴∠B=∠1, 又∵AD=AC, ∴∠2=∠ACB. ∴△ABC∽△FCD. (2)过点 A 作 AM⊥BC,垂足为点 M. ∵△ABC∽△FCD,BC=2CD, ∴ S△ABC ? BC ?2 =? ? =4. S△FCD ?CD? 又∵S△FCD=5,∴S△ABC=20. 1 ∵S△ABC=2BC· AM,BC=10, 1 ∴20=2×10×AM,∴AM=4. DE BD 又∵DE∥AM,∴AM=BM. 1 1 5 ∵DM=2DC=4BC=2, BM=BD+DM, 1 DE 5 BD= BC=5,∴ = , 2 4 5 5+2 8 ∴DE=3. 10.如图 1341,△ABC 是一块锐角三角形余料,边 BC=200 mm,高 AD =300 mm,要把它加工成长是宽的 2 倍的矩形零件,使矩形较短的边在 BC 上, 其余两个顶点分别在 AB,AC 上,求这个矩形零件的边长. 图 1341 【解】 设矩形 EFGH 为加工成的矩形零件,边 FG 在 BC 上,则点 E,H 分别在 AB,AC 上,△ABC 的高


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