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几个常用函数的导数1教案


1.2.1 几个常用函数的导数
教学目标: 1.由定义求导数的三个步骤推导五种常见函数的导数公式; 2.掌握并能运用这五个公式正确求函数的导数. 教学重点: 五种常见函数的导数公式及应用 教学难点: 五种常见函数导数公式的推导 教学过程: 一.课题导入 我们知道, 导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率, 物理意义是运动物体在某一时 刻的瞬时速度.那么,对于函数 y ? f ( x ) ,如何求它的导数呢? 由导数定义本身,给出了求导数的最基本的方法,但这种方法在运算上很麻烦,有时甚至 很困难, 为了能够较快地求出某些函数的导数, 从这一节课开始我们将研究比较简捷的求导数 的方法,下面我们先求几个常用的函数的导数. 二.新课讲授 1.函数 y ? f ( x ) ? c 的导数 根据导数定义,因为
?y ?x ? f (x ? ?x) ? f (x) ?x
?y ?x ? lim 0 ? 0
?x? 0

?

c?c ?x

?0

所以 y ? ? lim

?x? 0

y ? ? 0 表示函数 y ? c 图像(图 1.2-1)上每一点处的切线的斜率都为 0.若 y ? c 表示路程关

于时间的函数,则 y ? ? 0 可以解释为某物体的瞬时速度始终为 0,即物体一直处于静止状态. 2.函数 y ? f ( x ) ? x 的导数 因为
?y ?x ? f (x ? ?x) ? f (x) ?x ? x ? ?x ? x ?x
?x? 0

?1

所以 y ? ? lim

?y ?x

?x? 0

? lim 1 ? 1

y ? ? 1 表示函数 y ? x 图像(图 1.2-2)上每一点处的切线的斜率都为 1.若 y ? x 表示路程关

于时间的函数,则 y ? ? 1 可以解释为某物体做瞬时速度为 1 的匀速运动. 练习: 在同一直角坐标系中, 分别画出函数 y ? 2 x , y ? 3 x , y ? 4 x 的图象, 求出它们的导数。 (1)从图象上看,它们的导数分别表示什么? (2)这三个函数,哪一个增加得最快,哪一个增加的最慢?

(3)函数 y ? kx ? k ? 0 ? 增(减)的快慢与什么有关? 3.函数 y ? f ( x ) ? x 的导数
2

因为

?y ?x

?

f (x ? ?x) ? f (x) ?x
2

?

(x ? ?x) ? x
2

2

?x
2

?

x ? 2 x?x ? (?x) ? x
2

?x
?y ?x

? 2 x ? ?x

所以 y ? ? lim

?x? 0

? lim ( 2 x ? ? x ) ? 2 x
?x? 0

y ? ? 2 x 表示函数 y ? x 图像(图 1.2-3)上点 ( x , y ) 处的切线的斜率都为 2 x ,说明随着 x 的
2

变化,切线的斜率也在变化.另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,表明:当
x ? 0 时, 随着 x 的增加, 函数 y ? x 减少得越来越慢; x ? 0 时, 当 随着 x 的增加, 函数 y ? x
2 2 2

增加得越来越快.若 y ? x 表示路程关于时间的函数,则 y ? ? 2 x 可以解释为某物体做变速运 动,它在时刻 x 的瞬时速度为 2 x . 4.函数 y ? f ( x ) ?
1 x
1 ?y ?x f (x ? ?x) ? f (x) ?x
x ? (x ? ?x) x( x ? ?x)?x
?y ?x

的导数
? 1 x

因为

?

? x ? ?x ?x
1

?

? ?

x ? x ? ?x
2

所以 y ? ? lim

?x? 0

? lim ( ?
?x? 0

1 x ? x ? ?x
2

)? ?

1 x
2

练习 作出函数 y ? 线方程 5.函数 y ? f ? x ? ?

1 x

的图象,根据图象,描述它的变化情况,并求出其在点(1,1)处的切

x 的导数

因为

?y ?x

?

f ( x ? ?x) ? f ?x ? ?x

?

x ? ?x ? ?x

x

=

?

x ? ?x ? ?x
1 x ? ?x ? ?y ?x

?

x

??

x ? ?x ? x

x ? ?x ?

?

x

?

=

x 1 x ? ?x ? x 1 2 x

所以 y ? ? lim

?x? 0

? lim

?x? 0

?

6.推广:若 f ? x ? ? x

n

? n ? Q ? ,则
1 x
2

n ?1 f ?( x ) ? n x

练习 求下列函数的导数
3 (1) y ? x (2) y ?

(3) y ? 三.例题讲解

3

x (4) y ?

x

2

x

例 1.曲线 y ? x 上哪一点的切线与直线 y ? 3 x ? 1 平行?
3

解:设点 P ( x 0 , y 0 ) 为所求,则 它的切线斜率为 k ? 3 ,
2 ∵ f ?( x ) ? 3 x ,

∴ 3 x0 ? 3 , x0 ? ? 1 , ∴ P (1,1) 或 P ( ? 1, ? 1) . 例 2.证明:曲线 xy ? 1 上的任何一点 P ( x 0 , y 0 ) ( x 0 ? 0 ) 的切线与两坐标轴围成的三角 形面积是一个常数. 解:由 xy ? 1 ,得 y ?
1 x

2



∴ y ? ? ( )? ? ?
x

1

1 x
2


1 x0
2

∴ k ? f ?( x 0 ) ? ?



过点 P ( x 0 , y 0 ) 的切线方程为
y ? y0 ? ? 1 x0
2

(x ? x0 ) ,

令x ? 0得y ?

2 x0



令 y ? 0 得 x ? 2 x0 , ∴过 P ( x 0 , y 0 ) 的切线与两坐标轴围成的三角形面积
S ? 1 2 ? 2 x0 ? 2 x 0 ? 2 是一个常数.

四.课时小结
C? ? 0 , x

? ??
n

? nx

n ?1

?n ? Q ?

五.布置作业 红对勾第四课时

板书设计 1.2.1 几个常用函数的导数 公式 1: C ? ? 0 (C 为常数)
x? ? 1

( x )? ? 2 x
2

1 1 ( )? ? ? 2 x x

(

x )? ? 2

1 x

公式 2: ? x

n

??

? nx

n ?1

?n ? Q ?

例1 例2
?y ?x ? f ( x ? ?x) ? f ?x ? ?x


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