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11-12学年高中数学 1.7 定积分的简单应用同步练习 新人教A版选修2-2


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选修 2-2
一、选择题 1.如图所示,阴影部分的面积为( )

1.7 定积分的简单应用

A.?bf(x)dx

?a ?a

B.?bg(x)dx

?a ?a

C.?b[f(x)-g(x)]dx [答案] C [解析]

D.?b[g(x)-f(x)]dx

由题图易知,当 x∈[a,b]时,f(x)>g(x),所以阴影部分的面积为?b[f(x)-

?a

g(x)]dx.
2.如图所示,阴影部分的面积是( )

A.2 3 C. 32 3

B.2- 3 D. 35 3

[答案] C [解析] S=?1-3(3-x -2x)dx ? 1 3 2 即 F(x)=3x- x -x , 3 1 5 则 F(1)=3-1- = , 3 3
2

F(-3)=-9-9+9=-9.
5 32 ∴S=F(1)-F(-3)= +9= .故应选 C. 3 3 3.由曲线 y=x -1、直线 x=0、x=2 和 x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( A.?2(x -1)dx
2 2

)

?0

-1-

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B.|?2(x -1)dx|
2

?0

C.?2|x -1|dx

2

?0 ?0

D.?1(x -1)dx+?2(x -1)dx

2

2

?1

[答案] C [解析] y=|x -1|将 x 轴下方阴影反折到 x 轴上方,其定积分为正,故应选 C. 4. 设 f(x)在[a, b]上连续, 则曲线 f(x)与直线 x=a, x=b, y=0 围成图形的面积为( A.?bf(x)dx )
2

?a ?a

B.|?bf(x)dx|

?a

C.?b|f(x)|dx [答案] C

D.以上都不对

[解析] 当 f(x)在[a,b]上满足 f(x)<0 时,?bf(x)dx<0,排除 A;当阴影有在 x 轴上方

?a

也有在 x 轴下方时,?bf(x)dx 是两面积之差,排除 B;无论什么情况 C 对,故应选 C.

?a

16 2 5.曲线 y=1- x 与 x 轴所围图形的面积是( 81 A.4 C.2 [答案] B B.3 D. 5 2

)

? 9 ? ?9 ? [解析] 曲线与 x 轴的交点为?- ,0?,? ,0? ? 4 ? ?4 ?

故应选 B. 6.一物体以速度 v=(3t +2t)m/s 做直线运动,则它在 t =0s 到 t=3s 时间段内的位移是 ( A.31m C.38m [答案] B B.36m D.40m )
2

-2-

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[解析] S=?3(3t +2t)dt=(t +t )|0 =3 +3 =36(m),故应选 B.
2 3 2 3 3 2

?0

7.(2010·山东理,7)由曲线 y=x ,y=x 围成的封闭图形面积为( A. C. 1 12 1 3 B. D. 1 4 7 12

2

3

)

[答案] A [解析] 由?
?y=x ?
2 3

? ?y=x
3

得交点为(0,0),(1,1).

∴S=?1(x -x )dx=

2

?0

?1x3-1x4??1= 1 . ?3 ??0 4 ?? 12 ?

8.一物体在力 F(x)=4x-1(单位:N)的作用下,沿着与力 F 相同的方向,从 x=1 运动 到 x=3 处(单位:m),则力 F(x)所做的功为( A.8J C.12J [答案] D [解析] 由变力做功公式有:W=?3(4x-1)dx=(2x -x)|1 =14(J),故应选 D.
2 3

)

B.10J D.14J

?1

9. 若某产品一天内的产量(单位: 百件)是时间 t 的函数, 若已知产量的变化率为 a= 那么从 3 小时到 6 小时期间内的产量为( A. 1 2 )

3 6t



3 B.3- 2 2 D.6-3 2

C.6+3 2 [答案] D [解析] ?6 3

?3 6t

dt=

6 6

t|3 =6-3 2,故应选 D.
6

9 3 2 10.过原点的直线 l 与抛物线 y=x -2ax(a>0)所围成的图形面积为 a ,则直线 l 的方程 2 为( ) A.y=±ax C.y=-ax [答案] B [解析] 设直线 l 的方程为 y=kx, B.y=ax D.y=-5ax

-3-

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由?
?y=kx ? ?y=x -2ax ?
2

得交点坐标为(0,0),(2a+k,2ak+k )
2a+k

2

图形面积 S=∫0
3

[kx-(x -2ax)]dx

2

a+k ?k+2ax2-x ?|2 =? ? 0 2 3 ? ?

(k+2a) (2a+k) (2a+k) 9 3 = - = = a 2 3 6 2 ∴k=a,∴l 的方程为 y=ax,故应选 B. 二、填空题 11.由曲线 y =2x,y=x-4 所围图形的面积是________. [答案] 18 [ 解析 ]
? ?y =2x ? ?y=x-4 ?
2 2

3

3

3

如图, 为了确定图 形的范围 ,先求出这两 条曲线交 点的坐标,解 方程组 得交点坐标为(2,-2),(8,4).

因此所求图形的面积 S=?4-2(y+4- )dy 2 ?

y2

1 2 y y 取 F(y)= y +4y- ,则 F′(y)=y+4- ,从而 S=F(4)-F(-2)=18. 2 6 2 12.一物体沿直线以 v= 1+tm/s 的速度运动,该物体运动开始后 10s 内所经过的路程 是________.

3

2

1 2 2 13.由两条曲线 y=x ,y= x 与直线 y=1 围成平面区域的面积是________. 4 [答案] 4 3
2

[解析] 如图,y=1 与 y=x 交点 A(1,1),y=1 与 y= 交点 B(2,1),由对称性可知面 4

x2

-4-

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1 2 4 2 积 S=2(?1x dx+?2dx-?2 x dx)= . 3 ? ? ?4
0 1 0

2t (0≤t≤1) ? ?a (1≤t≤2) 14.一变速运动物体的运动速度 v(t)=? b ? ?t (2≤t≤e)
t

则 该 物 体 在 0≤t≤e 时 间 段 内 运 动 的 路 程 为 ( 速 度 单 位 : m/s , 时 间 单 位 : s)______________________. 2 [答案] 9-8ln2+ ln2 [解析] ∵0≤t≤1 时,v(t)=2t,∴v(1)=2; 又 1≤t≤2 时,v(t)=a , ∴v(1)=a=2,v(2)=a =2 =4; 又 2≤t≤e 时,v(t)= , ∴v(2)= =4,∴b=8. 2 8 2 t ∴路程为 S=?12tdt+?22 dt+?e dt=9-8ln2+ . t ln2 ? ? ?
0 1 2 2 2

t

b t

b

三、解答题 15.计算曲线 y=x -2x+3 与直线 y=x+3 所围图形的面积. [解析] 由?
? ?y=x+3 ?y=x -2x+3 ?
2 2

解得 x=0 及 x=3.

从而所求图形的面积

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S=?3(x+3)dx-?3(x2-2x+3)dx

?0

?0
2

=?3[(x+3)-(x -2x+3)]dx

?0 ?0

=?3(-x +3x)dx

2

? 1 3 3 2? 3 9 =?- x + x ?|0 = . 2 ? 2 ? 3
16.设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等的实根,且 f′(x)=2x+2. (1)求 y=f(x)的表达式; (2)若直线 x=-t(0<t<1)把 y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分, 求t 的值. [解析] (1)设 f(x)=ax +bx+c(a≠0),则 f′(x)=2ax+b, 又已知 f′(x)=2x+2,∴a=1,b=2, ∴f(x)=x +2x+c. 又方程 f(x)=0 有两个相等实根. ∴判别式 Δ =4-4c=0,即 c=1. 故 f(x)=x +2x+1. (2)依题意有?-t(x +2x+1)dx=?0-t(x +2x+1)dx,
2 2 2 2

?-1

?

2

?1 3 2 ? -t ?1 3 2 ? 0 ∴? x +x +x?|-1 =? x +x +x?|-t ?3 ? ?3 ?
1 3 1 1 3 2 2 即- t +t -t+ = t -t +t. 3 3 3 ∴2t -6t +6t-1=0, ∴2(t-1) =-1,∴t=1-
3 3 2

1 3 2

.

17.A、B 两站相距 7.2km,一辆电车从 A 站开往 B 站,电车开出 ts 后到达途中 C 点,这 一段速度为 1.2t(m/s),到 C 点的速度达 24m/s,从 C 点到 B 站前的 D 点以等速行驶,从 D 点 开始刹车,经 ts 后,速度为(24-1.2t)m/s,在 B 点恰好停车,试求: (1)A、C 间的距离; (2)B、D 间的距离; (3)电车从 A 站到 B 站所需的时间. [解析] (1)设 A 到 C 经过 t1s, 由 1.2t=24 得 t1=20(s), 所以 AC=∫0 1.2tdt=0.6t |0 =240(m).
20 2 20

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(2)设从 D→B 经过 t2s, 由 24-1.2t2=0 得 t2=20(s), 所以 DB=∫0 (24-1.2t)dt=240(m). (3)CD=7200-2×240=6720(m). 6720 从 C 到 D 的时间为 t3= =280(s). 24 于是所求时间为 20+280+20=320(s). 1 2 18.在曲线 y=x (x≥0)上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围成的面积为 , 12 试求: (1)切点 A 的坐标; (2)过切点 A 的切线方程. [解析] 如图所示,设切点 A(x0,y0),由 y′=2x,过 A 点的切线方程为 y-y0=2x0(x -x0), 即 y=2x0x-x0. 令 y=0 得 x= ,即 C? ,0?. 2 ?2 ? 设由曲线和过 A 点的切线及 x 轴所围成图形的面积为 S,
2 20

x0

?x0

?

S=S 曲边△AOB-S△ABC. S 曲边△AOB=∫x00x2dx= x3 0, S△ABC= |BC|·|AB| x0? 2 1 3 1? = ?x0- ?·x0= x0, 2? 2? 4
1 3 1 3 1 3 1 即 S= x0- x0= x0= . 3 4 12 12 所以 x0=1,从而切点 A(1,1),切线方程为 y=2x-1. 1 2 1 3

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