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高二数学选修2-2、2-3综合测试题


高二数学选修 2-2、2-3 测试题 本试卷分第Ⅰ 选择题)和第Ⅱ 非选择题)两部分, 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 分钟. 第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 选择题, 选择题( 小题, 一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.过函数 y = sin x 图象上点 O(0,0) 作切线,则切线方程为 ( ) . ,作切线 ( , ) 作切线, , A. y = x . B. y = 0 .
4

C. y = x + 1 .

D. y = ? x + 1 .

2.设 (1 + x + x 2 + x 3 ) = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + L + a12 x12 ,则 a 0 = ( ) . 则 A.256 . 3.定义运算 . A.3 . a B.0 . c b d C. ? 1 . i 2 1 i D.1 . ( i 是虚数单位 为 ( ) 是虚数单位)为 D. i 2 + 2 .

= ad ? bc ,则

B. ? 3 .

C. i 2 ? 1 .

4.任何进制数均可转换为十进制数,如八进制 (507413)8 转换成十进制数,是这样转 .任何进制数均可转换为十进制数 如八进制 转换成十进制数, 换 的 : (507413)8 = 5 × 8 5 + 0 × 8 4 + 7 × 8 3 + 4 × 8 2 + 1 × 8 + 3 = 167691 , 十 六 进 制 数
(2,3,4,5,6)16 = 2 × 16 4 + 3 × 16 3 + 4 × 16 2 + 5 × 16 + 6 = 144470 , 那么将 二进制数 (1101)2

转换成十进制数,这个十进制数是 ( ) 转换成十进制数, A.12 B.13 C.14 . . .

D.15 .

5.用数学归纳法证明: 两两相交且不共点的 n 条直线把平面分为 f (n) 部分, 则 . 用数学归纳法证明: 部分, “
f ( n) = 1 + n(n + 1) 在证明第二步归纳递推的过程中, 。在证明第二步归纳递推的过程中, ” 用到 f (k + 1) = f (k ) + 2



( ) A. k ? 1 . B. k . C. k + 1 . D. .
k (k + 1) 2

6. 记函数 y = f ( 2) ( x) 表示对函数 y = f ( x) 连续两次求导 , 即先对 y = f ( x) 求导得
y = f ' ( x) , 再对 y = f ' ( x) 求导得 y = f ( 2) ( x) , 下列函数中满足 f ( 2) ( x) = f ( x) 的是

( ) A. f ( x) = x B. f ( x) = sin x C. f ( x) = e x D. f ( x) = ln x

7.甲、乙速度 v 与时间 t 的关系如下图, a (b) 是 t = b 时的加速度, S (b) 是从 t = 0 到 . 的关系如下图, 时的加速度,
第 1 页 共 12 页

t = b 的路程,则 a甲(b) 与 a乙 (b) , S甲 (b) 与 S乙 (b) 的大小关系是 的路程,

( )

A. a甲 (b) > a乙 (b) , S甲 (b) > S乙 (b) . C. a甲 (b) < a乙 (b) , S甲 (b) > S乙 (b) . 8. , . 如图, 如图 蚂蚁从 A 沿着长方体的棱以

B. a甲 (b) < a乙 (b) , S甲 (b) < S乙 (b) . D. a甲 (b) < a乙 (b) , S甲 (b) < S乙 (b) . 不同的行走路线有( 的方向行走至 B, , 不同的行走路线有 )

v
甲 第 8 题图 乙 第7题

B

b
B.7 条 .

t

A
C.8 条 . D.9 条 .

A.6 条 .

9.如下图,左边的是导数 y = f ' ( x) 的图象,则函数 y = f (x) 的图象是 ( ) .如下图, 的图象,

y=f '(x) -1 1
-1

y=f(x) 1 A

y=f(x) -1 B
-1 C 1

y=f(x)
y=f(x)

1

-1

D

1

10.设 1 上的一一映射中, 10.设 M = { ,2,3,4,5,6,7,8,9,10} ,由 M 到 M 上的一一映射中,有 7 个数字和自身对 应的映射个数是 ( ) A.120 .120 B.240 .240 C.10 7 . D.360 .360

第 2 页 共 12 页

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 填空题( 个小题, 二.填空题(本大题 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.公式 . 揭示了微积分学中导数和定积分之间的内在 联系;提供了求定积分的一种有效方法 提供了求定积分的一种有效方法。 联系 提供了求定积分的一种有效方法。 12.若有一组数据的总偏差平方和为 100,相关指数 R 2 =0.75,则其残差平方和 . , , 为 。 13.已知数列 {a n } 为等差数列,则有 . 为等差数列,
a1 ? 2a 2 + a3 = 0, a1 ? 3a 2 + 3a 3 ? a 4 = 0

a1 ? 4a 2 + 6a 3 ? 4a 4 + a5 = 0
类似上三行,第四行的结论为 类似上三行 第四行的结论为__________________________。 第四行的结论为 。 14 . 已 知 长 轴 长 为 2a , 短 轴 长 为 2b 椭 圆 的 面 积 为 πab , 则



3

?3

2 1?

x2 dx = 9



个小题, 三.解答题(本大题 6 个小题,共 80 分) 解答题( 15. (10 如图, 图象, 围成, 15. 10 分)如图,阴影部分区域是由函数 y = cos x 图象,直线 y = 1, x = π 围成, ( 求这阴影部分区域面积。 求这阴影部分区域面积。

y
y=1 x=π π f(x) = cos(x)
第 1 题图

x

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16. 分)据研究,甲磁盘受到病毒感染, . (12 据研究, 磁盘受到病毒感染, 的量 y(单位: 比特数 与时间 x(单位: 感染的量 y(单位 比特数)与时间 x(单位 单位: 单位: 据研究 感染 单位: 秒)的函数关系是 y = e x ,乙磁盘受到病毒感染,感染的量 y(单位: 比特数 与时间 乙磁盘受到病毒感染,感染的量 y(单位 比特数)与时间 率比乙 x(单位: 显然当 甲磁盘受到病毒感染增长率比 x(单位:秒)的函数关系是 y = x 2 ,显然当 x ≥ 1 时, 磁盘受到病毒感染增长率比乙磁 单位 盘受到病毒感染增长率大.试根据上述事实提炼一个不等式,并证明之. 盘受到病毒感染增长率大.试根据上述事实提炼一个不等式,并证明之. 增长率大

17.(13 分)(1)抛掷一颗骰子两次 定义随机变量 . 抛掷一颗骰子两次,定义随机变量 抛掷一颗骰子两次

ξ =?

?0, (当第一次向上一面的点数不等于第二次向上一面的点数) ? 1, (当第一次向上一面的点数等于第二次向上一面的点数)

的分布列(用表格格式 用表格格式); 试写出随机变量 ξ 的分布列 用表格格式 (2)抛掷一颗骰子两次 在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,求第二次掷得向 抛掷一颗骰子两次,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下 求第二次掷得向 抛掷一颗骰子两次 在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下 上一面点数也是偶数的概率. 上一面点数也是偶数的概率.

第 4 页 共 12 页

18. (15 18. 15 分)已知函数 f ( x) = 2 x 3 ? 3 x 2 ? 12 x ( (1)求 f ( x) = 2 x 3 ? 3 x 2 ? 12 x 的极值; ) 的极值; 请填好下表(在答卷 在答卷),并画出 的图象(不必写出作图步骤 不必写出作图步骤); (2) ) 请填好下表 在答卷 并画出 f ( x) = 2 x 3 ? 3 x 2 ? 12 x 的图象 不必写出作图步骤 ; 3 2 (3)设函数 g ( x) = 2 x ? 3 x ? 12 x + a 的图象与 x 轴有两个交点,求 a 的值。 ) 轴有两个交点, 的值。 x … -2 -1 0 1 2 3 … … … f (x)

19. . (15 分)编辑一个运算程序: 1@ 1 = 2 , m @ n = q , m @(n + 1) = q + 2 . 编辑一个运算程序: ( (1)设 a n = 1@ n ,求 a 2 , a3 , a 4 ; ) 的通项公式; (2)由(1)猜想 a n 的通项公式; 用数学归纳法证明你的猜想。 (3)用数学归纳法证明你的猜想。

第 5 页 共 12 页

20. . (15 分)为研究“在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率的和”这 为研究“ 次独立重复试验中, 次的概率的和 概率的和” ( 个课题,我们可以分三步进行研究: (I 取特殊事件进行研究;( ;(Ⅱ 个课题,我们可以分三步进行研究: I)取特殊事件进行研究;(Ⅱ)观察分析上述 ( 结果得到研究结论; (Ⅲ 试证明你得到的结论。现在,请你完成: 结果得到研究结论; Ⅲ)试证明你得到的结论。现在,请你完成: ( (1)抛掷硬币 4 次,设 P0 , P1 , P2 , P3 , P4 分别表示正面向上次数为 0 次,1 次,2 次,3 次,4 次 抛掷硬币 设 的概率,求 用分数表示),并求 的概率 求 P0 , P1 , P2 , P3 , P4 (用分数表示 并求 P0 + P1 + P2 + P3 + P4 ; 用分数表示 (2)抛掷一颗骰子三次 设 P0 , P1 , P2 , P3 分别表示向上一面点数是 3 恰好出现 0 次,1 次,2 抛掷一颗骰子三次,设 抛掷一颗骰子三次 次的概率,求 用分数表示),并求 次,3 次的概率 求 P0 , P1 , P2 , P3 (用分数表示 并求 P0 + P1 + P2 + P3 ; 用分数表示 (3)由(1)、(2)写出结论,并对得到的结论给予解释或给予证明. 由 、 写出结论,并对得到的结论给予解释或给予证明.

第 6 页 共 12 页

答案 一.选择题 题号 1 答案 A

2 D

3 B

4 B

5 C

6 C

7 C

8 A

9 D

10 B

个小题, 只填结果,不要过程, 二.填空题(本大题 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,只填结果,不要过程,把答 填空题( 案填写在答题卡 案填写在答题卡上) ... 11. .



b

a

f ( x)dx = F (b) ? F (a), ( F ' ( x) = f ( x))

12.25 . 13. a1 ? 5a 2 + 10a3 ? 10a 4 + 5a 5 ? a 6 = 0 . 14. 3π . 个小题, 必需写出必要的文字说明、 三.解答题(本大题 6 个小题,共 80 分,必需写出必要的文字说明、推理过程或计 解答题( 算步骤,把答案填写在答题卡 算步骤,把答案填写在答题卡上) ... 15. (10 如图, 15. 10 分)如图,阴影部分区域是 ( 由 函 数 y = cos x 图 象 , 直 线

y
y = 1, x = π 围成,求这阴影部分区域 围成,
y=1 x=π π f(x) = cos(x)

面积。 面积。 解法一: 解法一:所求图形面积为



π

x

0

(1 ? cos x)dx ----------(5 分) ----------(

= ( x ? sin x)

π
0

-----------------(9 分) (

= π ------------------------------(10 分) ( 解法二: 的矩形的面积的一半, 解法二:所求面积是以长为 π ,宽为了 2 的矩形的面积的一半,所以所求的面积为 π。 --------------------------------------(10 分) ( 16. 分)据研究,甲磁盘受到病毒感染, (12 据研究, 磁盘受到病毒感染, 的量 y(单位: 比特数 与时间 x(单位: 感染的量 y(单位 比特数)与时间 x(单位 单位: 单位: . 据研究 感染
毒感染, 单位: 乙磁盘受到病毒感染 感染的量 y(单位 比特数)与时间 秒)的函数关系是 y = e x ,乙磁盘受到病毒感染,感染的量 y(单位: 比特数 与时间 x(单位: 率比乙 x(单位:秒)的函数关系是 y = x 2 ,显然当 x ≥ 1 时,甲磁盘受到病毒感染增长率比乙磁 单位 显然当 甲磁盘受到病毒感染增长率比 盘受到病毒感染增长率大.试根据上述事实提炼一个不等式,并证明之. 盘受到病毒感染增长率大.试根据上述事实提炼一个不等式,并证明之. 增长率大

第 7 页 共 12 页

解:因为甲磁盘受到感染的感染增长率是 y = e x 的导数 y ' = e x ,乙磁盘受到病毒感染 因为甲磁盘受到感染的感染增长率是 乙 增长率为 y = x 2 的导数 y ' = 2 x 增长率为 又因为当 率比乙 又因为当 x ≥ 1 时,甲磁盘受到病毒感染增长率比乙磁盘受到病毒感染增长率大 甲磁盘受到病毒感染增长率比 磁盘受到病毒感染增长率大
∴ e x > 2 x( x ≥ 1) ------------------------------------(8 分) ------------------------------------(8

下面证明: 下面证明:∴ e x > 2 x 设f ( x) = e x ? 2 x ,Q x ≥ 1 ,∴ f ' ( x) = e x ? 2 > e ? 2 > 0 ,所以∴ f ( x) = e x ? 2 x, 在 [1,+∞ ) 上是增函数, -----------------------(12 上是增函数, ∴ f ( x) > f (1) > 0 即∴ e x > 2 x( x ≥ 1) .-----------------------(12 分) 17 . (13 分 )(1) 抛 掷 一 颗 骰 子 两 次 , 定 义 随 机 变 量

ξ =?

?0, (当第一次向上一面的点数不等于第二次向上一面的点数) ? 1, (当第一次向上一面的点数等于第二次向上一面的点数)

的分布列(用表格格式 用表格格式); 试写出随机变量 ξ 的分布列 用表格格式 (2)抛掷一颗骰子两次 在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下 求第二次掷得向 抛掷一颗骰子两次,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下 抛掷一颗骰子两次 在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,求第二次掷得向 上一面点数也是偶数的概率. 上一面点数也是偶数的概率. 解(1)解法 1:当第一次向上的面的点数等于第二次向上的面点数时,有 6 种情况,所 1)解 1:当第一次向上的面的点数等于第二次向上的面点数时, 种情况, 当第一次向上的面的点数等于第二次向上的面点数时 以 6 1 5 P (ξ = 0) = = ,由互斥事件概率公式得 P (ξ = 1) = 1 ? P (ξ = 0) = -------(5 分) 由互斥事件概率公式得, 由互斥事件概率公式得 36 6 6 所以所求分布列是 0 1

ξ

1 5 6 6 --------------------------------------------------------------------------------------------------------(8 分)

P

2 A6 30 5 = = 解法 2: P (ξ = 1) = 36 36 6

(2)设第一次掷得向上一面点数是偶数的事件为 A,第二次掷得向上一面点数是偶数 设第一次掷得向上一面点数是偶数的事件为 第二次掷得向上一面点数是偶数 在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,第二次掷得向上一面点数 的事件为 B,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下 第二次掷得向上一面点数 在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下 也是偶数的概率为

第 8 页 共 12 页

9 P( AB) 36 1 P( AB) n( AB) 9 1 P( B A) = = = = 或 P( B A) = = = ------------(13 分) 18 2 P( A) n( A) 18 2 P( A) 36
18. . (15 分)已知函数 f ( x) = 2 x 3 ? 3 x 2 ? 12 x ( 的极值; (1)求 f ( x) = 2 x 3 ? 3 x 2 ? 12 x 的极值; ) 的图象(不必写出作图步骤 不必写出作图步骤); (2)请填好下表 并画出 f ( x) = 2 x 3 ? 3 x 2 ? 12 x 的图象 不必写出作图步骤 ; )请填好下表,并画出 轴有两个交点, 的值。 (3)设函数 g ( x) = 2 x 3 ? 3 x 2 ? 12 x + a 的图象与 x 轴有两个交点,求 a 的值。 ) 解: ( (1) f ' ( x) = 6 x 2 ? 6 x ? 12 = 6( x + 1)( x ? 2) ,令 f ' ( x) = 0 得 x1 = ?1, x 2 = 2 -(2 分) )

x
f ' ( x)
f (x)

(? ∞,?1)
+ 增函数+ 增函数

-1 0 7

(? 1,2)
减函数减函数

2 0 -20

(2,+∞ )
+ 增函数+ 增函数

-------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 ( 分) 由表知,当 有极小值-20。 由表知 当 x = ?1 时 f (x) 有极大值 7, 当 x = 2 时 f (x) 有极小值 。 --------------(5 ( 分) (2) ) x
f (x)

… …

-2 -4

-1 7

0 0

1 -13

2 -20

3 -9

… …

-------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7 ( 分) 画 对 图 ----------------------------------------------------------------------------------------------(10 分)
5

-20

-10

10

20

-5

第 9 页 共 12 页
-10

(3)由(1)知当 x = ?1 时 g (x) 有极大值 a + 7 , 当 x = 2 时 g (x) 有极小值 a ? 20 , ) ) --------------------------------------------------------------------------------------------------- ( 12 分) 再由( ) 再由(2)知,当 g (x) 的极大值或极小值为 0 时,函数 g ( x) = 2 x 3 ? 3 x 2 ? 12 x + a 的 轴有两个交点, 图象与 x 轴有两个交点,即 a = 7或20 。 ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ( 15 分) 19. . (15 分)编辑一个运算程序: 1@1 = 2 , m @ n = q , m @(n + 1) = q + 2 . 编辑一个运算程序: ( 的通项公式; (1)设 a n = 1@ n ,求 a 2 , a3 , a 4 ; (2)由(1)猜想 a n 的通项公式; ) (3)用数学归纳法证明你的猜想。 用数学归纳法证明你的猜想。 (1 ----------------------( 解: 1)Q a1 = 1@1 = 2 ,令 m = 1, n = 1 ,则 q = 2 ----------------------(1 分) ( 由 m @ n = q , m @(n + 1) = q + 2 ,得 a 2 = 1@ 2 = 2 + 2 = 4 --------------------(2 分) ( 再令 m = 1, n = 2 ,则 q = 4 ,得 a 3 = 1@ 3 = 4 + 2 = 6 --------------------------------(4 分) ( 再令 m = 1, n = 3 ,则 q = 6 ,得 a 4 = 1@ 4 = 6 + 2 = 8
∴ a 2 = 4, a3 = 6, a 4 = 8 ------------------------------------------------- ( 5

分) ------------------------------------( (2)由(1)猜想: a n = 2n, (n ∈ N * ) ------------------------------------(8 猜想: 分) 另一方面, (3)证明:①当 n = 1 时, a1 = 1@1 = 2 ,另一方面, a1 = 2 × 1 = 2 ,所以当 n = 1 时 证明: 等式成立。 ( 等式成立。 ------------------------------------------------------- 10
第 10 页 共 12 页

分) 等式成立, ---------( ②假设当 n = k 时,等式成立,即 a k = 1@ k = 2k ,此时 q = 2k ,---------(12 分) 那么,当 n = k + 1 时 那么,
a k +1 = 1@(k + 1) = 2k + 2 = 2(k + 1)

时等式也成立。 所以当 n = k + 1 时等式也成立。 ----------------------------------------- 14 ( 分) 都成立。--------------------------------------( 由①②知,等式对 n ∈ N * 都成立。--------------------------------------(15 ①②知 分) 20. . (15 分)为研究“在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k (k = 0,1,2,3, L , n) 次 为研究“ 次独立重复试验中, ( 的概率的和”这个课题,我们可以分三步进行研究: I)取特殊事件进行研究;(Ⅱ) 概率的和”这个课题,我们可以分三步进行研究: ( 可以分三步进行研究 (I 取特殊事件进行研究;(Ⅱ ;( 观察分析上述结果得到研究结论; (Ⅲ 试证明你得到的结论。现在,请你完成: 观察分析上述结果得到研究结论; Ⅲ)试证明你得到的结论。现在,请你完成: ( (1)抛掷硬币 4 次,设 P0 , P1 , P2 , P3 , P4 分别表示正面向上次数为 0 次,1 次,2 次,3 次,4 次 抛掷硬币 设 的概率,求 的概率 求 P0 , P1 , P2 , P3 , P4 ,并求 P0 + P1 + P2 + P3 + P4 ; 并求 (2)抛掷一颗骰子三次 设 P0 , P1 , P2 , P3 分别表示向上一面点数是 3 恰好出现 0 次,1 次,2 抛掷一颗骰子三次,设 抛掷一颗骰子三次 次的概率,求 次,3 次的概率 求 P0 , P1 , P2 , P3 ,并求 P0 + P1 + P2 + P3 ; 并求 (3)由(1)、(2)写出结论,并对得到的结论给予解释或给予证明. 由 、 写 出结论,并对得到的结论给予解释或给予证明. 次抛掷硬币掷得正面向上的事件,则 解(1)用 Ai (i = 1,2,3,4) 表示第 i 次抛掷硬币掷得正面向上的事件 则 Ai 发生的次数 X 用
? 1? 服从二项分布,即 ---------------------------------------------------------------------------(1 服从二项分布 即 X ∽ B? 4, ? ----------------------------------------(1 分) ? 2?

?1? 所以 Pi = C ? ? ?2?
i 4

i

?1? ? ? ?2?

4 ?i

?1? = C ? ? (i = 0,1,2,3,4) ?2?
i 4

4

所以 P0 =

1 1 3 1 1 , P1 = , P2 = , P3 = , P4 = 16 4 8 4 16

P0 + P1 + P2 + P3 + P4 = 1 ------------------------------------------------------------------(6 分)

(2)用 Ai (i = 1,2,3) 表示第 i 次抛掷骰子掷得向上一面点数是 3 的事件 则 Ai 发生的次 用 事件,则
? 1? i?1? 服从二项分布,即 数 X 服从二项分布 即 X ∽ B? 3, ? ,所以 Pi = C 3 ? ? ?6? ? 6?
第 11 页 共 12 页
i

?5? ? ? ?6?

3?i

(i = 0,1,2,3)

所以 P0 =

125 25 5 1 , P1 = , P2 = , P3 = 216 72 72 216

∴ P0 + P1 + P2 + P3 = 1 ----------------------------------------------------------------------(10 分) (3)在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k (k = 0,1,2,3, L , n) 次的概率的和为 1 在 次独立重复试验中, 次的概率的和为 ----------------------------------------------------------------------------------------------------(12 分) 证明:在 次独立重复试验中, 每一次发生的概率为 证明 在 n 次独立重复试验中,事件 A 每一次发生的概率为 p ,
i 则 X ∽ B(n, p ) ,∴ Pi = C n p i (1 ? p ) n ?i
i ,∴ ∑ Pi = ∑ C n p i (1 ? p ) i =0 i=0 n n n ?i

= [(1 ? p ) + p ] = 1
n

---------------------------------------------------------------------------------------------------(15 分) 或这样解释: 是必然事件,所以 所以在 次独立重复试验中, 或这样解释 A1 U A2 U L U Ai U L U An 是必然事件 所以在 n 次独立重复试验中,事 次的概率的和为 件 A 恰好发生 k (k = 0,1,2,3, L , n) 次的概率的和为 1.--------------------------------(15 分)

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