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河南省南阳市2017_2018学年高二数学上学期期中质量评估试题理(含解析)

河南省南阳市 2017-2018 学年高二上期期中质量评估 数学(理)试题
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知集合 A. 【答案】C B. C. D. ,则 ( )

............... 2. 设 A. 【答案】C 【解析】由于 ,取 , .选 C. 3. 在 A. B. 中,角 C. 的对边分别为 D. , ,则 等于( ) ,不能推出 ,又取 ,又 ,推不出 ,则 ,而 是非零实数,若 B. ,则下列不等式成立的是( C. D. )

是非零实数,则

【答案】A 【解析】根据正弦定理 , , , ,故 为锐角,

, 4. 等比数列 A. 【答案】B B. 的前 项和 C.

,选 A. ,则 D. ( )

-1-

【解析】 求

时, ,选 B.



时,

,要

5. 甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食,两次粮食的价格不同,两位采购 员的购粮方式也不同.其中,甲每次购粮用去 更合算( A. 甲 【答案】A 【解析】设第一次采购时粮食价格为每千克 元,第二次采购时粮食价格为每千克 元,则甲的 平均价格为 ,乙的平均价格为 , ,所以乙的狗 ) B. 乙 C. 一样 D. 不能确定 元钱,乙每次购买 的,谁的购粮方式

粮方式更合算.选 A. 6. 已知等比数列 A. 【答案】D 【解析】设等比数列 , , ,当 .选 D. 7. 一货轮航行到 处,测得灯塔 在货轮的北偏东 西 A. C. 【答案】B 【解析】设货轮的速度为每小时 海里,货轮从 M 处航行 30 分钟到达 N 处,则 海里, , 8. 已知 A. 海里/小时,选 B. 均为正数,且 B. C. ,则 D. 的最小值为( ) ,则 ,根据正弦定理得: 海里, ,与灯塔 相距 海里,随后货轮按北偏 ) 公比为 , 时, , , ,当 ,前三项的和 的取值范围是 时 B. 中, ,则其前三项的和 的取值范围是( C. D. )

的方向航行 分钟后,又得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为( 海里/小时 海里/小时 B. D. 海里/小时 海里/小时

-2-

【答案】B 【解析】 9. 已知方程 围是( A. 【答案】B 【解析】 设 , 利用一元二次方程的根的分布得 : , ) B. C. D. 或 的一个实根在区间 ,选 B. 内,另一个实根大于 ,则实数 的取值范

,解得:



.选 B.

10. 小李年初向银行贷款 万元用于购房,购房贷款的年利率为 ,按复利计算,并从借款后 次年年初开始归还,分 次等额还清,每年 次,问每年应还( A. B. C. D. )万元. ( )

【答案】B 【解析】设每年应还 万元,则 ,选 .选 B. ,

11. 在 值范围是( A. 【答案】D 【解析】当

中,角 ) B.

的对边分别为



,若

有两解,则 的取

C.

D.



,即



有两解.选 D.

12. 设 值为( A.

为等差数列,若 ) B. C. D.

,且它的前 项和 有最小值,那么当 取得最小正值时的

【答案】C

-3-

【解析】

为等差数列, 有最小值,则



,又

,说明





,则





,则

为最小正值.选 C. 第Ⅱ卷(共 90 分)

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. 已知 【答案】 【解析】画出二元一次不等式所表示的可行域,目标函数为截距型,直线的截距越大 越大, 根据图形求出最优解为 ,代入目标函数,则 的最大值是 5. 满足 ,则 的最大值是__________.

14. 设数列 【答案】 【解析】

的通项公式为

,则

__________.

15. 设 是等差数列

的前 项和,且

,则

__________.

【答案】

【解析】 试题分析 : 因为

, 所以


-4-

成等差数列,所以 考点:等差数列性质 16. 在 中,已知 , 是



边上一点,如图,

,则

__________.

【答案】 【解析】 ,根据余弦定理 , ,



,根据正弦定理

,则

.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 已知 (1)求 的解析式; ,不等式 ;(2) . 恒成立,又已知 ,求 的取值范围. ,不等式 的解集是 .

(2)若对于任意 【答案】(1)

【解析】试题分析:已知一元二次不等式的解集求参数的方法是利用根与系数关系,一元二 次不等式恒成立问题,首先研究二次项系数为 0 的情况,然后利用图象观察,不等式小于或 等于零恒成立,只需二次项系数大于 0,判别式小于或等于 0,与 t<0 求交集,就是参数 t 的 取值范围. 试题解析: (1)由已知 所以 是方程 的解集是 ,

的两个根,

由韦达定理知, . (2)对任意 等价于 不等式 对 恒成立
-5-

恒成立

即 因为 所以

对 ,所以只需

恒成立

所以 的取值范围是

.

【点睛】本题为解含参的一元二次不等式,若二次项的系数含有参数,先对二次项系数分类 讨论,先讨论二次项系数为 0 的情况,再考虑二次项的系数不为 0 时,分二次项系数大于 0, 和小于 0 两种情况,比较两根的大小,根据不等式的要求写出不等式的解集;当二次项的系 数不含参数时,讨论判别式的情况,若有根则求根,若两根大小不定时,还要讨论两根的大 小,根据不同情况,画出抛物线属性结合,写出解集. : 已知一元二次不等式的解集求参数的 方法是利用根与系数关系,一元二次不等式恒成立问题,首先研究二次项系数为 0 的情况, 然后利用图象观察,不等式小于或等于零恒成立,只需二次项系数大于 0,判别式小于或等于 0. 18. 在 (1)求 ; (2)若 ,且 ,求 . 的面积. 中,角 所对的边分别是 ,已知 .

【答案】(1) ;(2)

【解析】试题分析:利用正弦定理和余弦定理及三角形面积公式解斜三角形是高考高频考点, 利用正弦定理和余弦定理进行边转角或角转边是常用的方法,本题利用正弦定理“边转角” 后,得出角 C,第二步利用余弦定理求出边 a,c,再利用面积公式求出三角形的面积. 试题解析: (1)由正弦定理,得 因为 (2)因为 由余弦定理,得 的面积 . ,解得 . ,解得 . , . ,

【点睛】利用正弦定理和余弦定理及三角形面积公式解斜三角形是高考高频考点,利用正弦 定理和余弦定理进行边转角或角转边是常用的方法,已知两边及其夹角求第三边或已知三边 求任意角使用于心定理,已知两角及任意边或已知两边及一边所对的角借三角形用正弦定理,
-6-

另外含经常利用三角形面积公式以及与三角形的内切圆半径与三角形外接圆半径发生联系, 要灵活使用公式. 19. 某工厂拟造一座平面为长方形,面积为 不能超过 为 元 的三级污水处理池.由于地形限制,长、宽都 元 ,中间两道隔墙的造价

,处理池的高度一定.如果池的四周墙壁的造价为 ,池底的造价为 元

,则水池的长、宽分別为多少米时,污水池的造价最低?最

低造价为多少元? 【答案】 , .

【解析】试题分析:应用问题首先要认真细致的审题,逐字逐句的读题,把实际问题转化为 数学问题.首先根据提议设出未知数,根据各项造价表示出总造价建立函数模型,根据实际需 要写出函数的定义域,由于 利用均值不等式求最值. 试题解析: 设污水处理水池的长、宽分别为 则 , ,总造价为 y 元, ,借助 a,b 关系进行减元,化为只含有 a 的函数关系,再



易知函数是减函数,所以当 最低造价为 45000 元.

时总造价最低,

【点睛】应用问题首先要认真细致的审题,逐字逐句的读题,把实际问题转化为数学问题.首 先根据提议设出未知数,根据各项造价表示出总造价建立函数模型,根据实际需要写出函数 的定义域,当把实际问题转化为数学问题后,再利用数学知识解决函数问题,最后给出实际 问题相应的答案. 20. 设 是数列 的前 项和, .

(1)求证:数列

是等差数列,并求

的通项;

(2)设

,求数列

的前 项和 .

-7-

【答案】(1)证明见解析,

;(2)

.

【解析】试题分析:当数列提供 只需利用 , 转化为 、

与 、

之间的递推关系时,要数列

是等差数列,

之间的关系, 证明某数列是等差数列, 就是证明第 n+1

项与第 n 项的比是一个常数,这个分析给证明提供一个暗示,有了证明的目标,从递推关系 式向着这个目标进行等价变形,就可得出所要证明的式子,达到证明的目的 ; 已知数列的前 n 项和 ,求通项公式分两步,第一步 n=1时,求出首项,第二步,当 时利用前 n 项和与前

n-1 项和作差求出第 n 项,若首项满足后者,则可书写统一的通项公式,若首项不满足,则通 项公式要写成分段函数形式,有关数列求和问题,主要方法有倒序相加法、错位相减法、分 组求和法、公式法等,要根据数列通项的形式特点采用相应的方法求和. 试题解析: (1) 即 , ,∴ , ,

∴数列

是等差数列.

由上知数列

是以 2 为公差的等差数列,首项为



∴ ∴ (或由 由题知, 综上, ,

,∴

. .



),

.

(2)由(1)知 ∴ ∴ . ,



-8-

【点睛】证明某数列是等差数列,就是证明第 n+1 项与第 n 项的比是一个常数,这个分析给 证明提供一个暗示,有了证明的目标,从递推关系式向着这个目标进行等价变形,就可得出 所要证明的式子,达到证明的目的;已知数列的前 n 项和 ,求通项公式分两步,第一步 n=1 时,求出首项,第二步,当 时利用前 n 项和与前 n-1 项和作差求出第 n 项,若首项满足后

者,则可书写统一的通项公式,若首项不满足,则通项公式要写成分段函数形式,有关数列 求和问题,主要方法有倒序相加法、错位相减法、分组求和法、公式法等,要根据数列通项 的形式特点采用相应的方法求和. 21. 在 中,角 所对的边分别为 ,.已知 .

(1)求角 的大小; (2)设 【答案】(1) ;(2) ,求 的取值范围. .

【解析】试题分析:利用正弦定理和余弦定理及三角形面积公式解斜三角形是高考高频考点, 利用正弦定理和余弦定理进行边转角或角转边是常用的方法,本题利用余弦定理“边转角” 后,根据三角函数关系进行恒等变形,求出角 B,根据三角形内角和定理得出角 A 与角 C 的关 系,代入后进行减元,化为关于角 A 的三角函数式,借助辅助角公式化为 式,根据角 A 的范围,求出 T 的范围. 试题解析: (1)在△ABC 中, , 因为 所以 因为 因为 (2) ,所以 ,所以 , . ,所以 , , 的形

-9-

因为 故 所以

,所以 ,因此 .

, ,

【点睛】利用正弦定理和余弦定理及三角形面积公式解斜三角形是高考高频考点,利用正弦 定理和余弦定理进行边转角或角转边是常用的方法,利用余弦定理“边转角”后,根据三角 函数关系进行恒等变形,求出角 B; 有关范围问题的解决方法有两种,一种是利用边的关系借 助基本不等式去解决,另一种方法是利用降幂公式和辅助角公式、减元等把函数化为 性质问题,利用 x 的范围,求出 y 的范围. 22. 已知数列 (1)求数列 的前 项和 的通项公式; , 是等差数列,且

(2)设 【答案】(1)

,求数列 ;(2)

的前 项和 . .

试题解析: (1)由题意知,当 当 所以 设数列 由 可解得 所以 . 时, , 的公差为 即 , , 时, 符合上式, ,

- 10 -

(2)由(1)知另 又 得 , 两式作差得 , ,

,

所以

.

【点睛】已知数列的前 n 项和 ,求通项公式分两步,第一步 n=1 时,求出首项,第二步,当 时利用前 n 项和与前 n-1 项和作差求出第 n 项, 若首项满足后者, 则可书写统一的通项公 式,若首项不满足,则通项公式要写成分段函数形式,,有关数列求和问题,主要方法有倒 序相加法、错位相减法、分组求和法、公式法等,要根据数列通项的形式特点采用相应的方 法求和.

- 11 -



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