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【一本通】2014届高考数学一轮复习 第15章 第79讲 二阶矩阵、常见的平面变换及矩阵的乘法课件 理_图文

?1 0 ? 1.设矩阵A ? ? ? ,求点P ? ?2, 2 ? 在A所对应的 ?0 -1? 线性变换的作用下的像P?的坐标.

?-2 ? ?1 0 ? ?-2? ?-2? 解析:因为A ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ?-2? , ? 2 ? ?0 -1? ? ? ? ? 所以像P?的坐标是(?2, 2). ?

?1 1? ?1 2? 2.计算 ? ? ?3 4 ? ?0 1? ? ?
?1 1? ?1 2 ? ?1?1+1? 3 1? 2+1? 4 ? 解析: ?0 1? ?3 4 ? = ?0 ?1+1? 3 0 ? 2+1? 4 ? ? ?? ? ? ? ?4 6? =? ? ?3 4?

?2 1? 3.求矩阵 ? ? 对应的线性变换把直线y ? x ? 2变成 ?1 0 ? 的直线方程.
?2 1? ? x '? ?2 1? ? x ? 解析:矩阵 ? ? 对应的线性变换为 ? y '? ? ? 1 0 ? ? y ? ?1 0? ? ? ? ?? ? ?x ? 2x ? y ?x ? y 则? ,可得 ? , ?y ? x ?y ? x ? 2y 代入y ? x ? 2,得x? ? 2y? ? y? ? 2, 即x? ? 3y? ? 2 ? 0, 所以x ? 3y ? 2 ? 0为所求的直线方程.

4.已知在一个二阶矩阵M 的变换作用下,点A ?1, 2 ? 变成了点A? ? 4,5 ?,点B(3, 1)变成了点B? ? 5,1?,求 ? 矩阵M .

?a b ? 解析:设M ? ? ?, ?c d ? ? a b ? ? 1 ? ? 4 ? ? a b ? ? 3 ? ? 5? 则由 ? ? ? 2 ? ? ? 5 ? ,c d ? ? ?1? ? ?1? , ? ?c d ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? a ? 2b ? 4 ?a ? 2 ?c ? 2 d ? 5 ?b ? 1 ? ? 得? ,所以 ? . ?3a ? b ? 5 ?c ? 1 ?3c ? d ? 1 ?d ? 2 ? ? ?2 1? 因此,M ? ? ?. ?1 2?

5.变换T 是绕坐标原点逆时针旋转 的旋转变换,求 2 曲线2x 2 ? 2xy ? y 2 ? 1在变换T 作用下所得的曲线方 程.

?

?0 -1? 解析:变换T 所对应的变换矩阵为M ? ? ?. ?1 0 ? ? x? 设 ? ? 是变换后曲线上任一点,与之对应的变 ? y? ? x0 ? 换前的点是 ? ? , ? y0 ?

? x0 ? ? x ? ? y0 ? ? x 则M ? ? ? ? ? ,即 ? . ? y0 ? ? y ? ? x0 ? y 将其代入2 x ? 2 x0 y0 ? y ? 1, 得x ? 2 xy ? 2 y ? 1.
2 2

所以变换后的曲线方程为x ? 2 xy ? 2 y ? 1.
2 2

二阶矩阵与平面向量
?3 2 ? 【例1】求在矩阵 ? 1 ?3 ? 对应的变换作用 ? ?

下得到点(2, -4)的平面上的点P的坐标.

【解析】设P点的坐标为(x , y),
? 2 ? ?3 2 ? ? x ? 则 ? ??? ? ?4 ? ? 1 ?3 ? ? y ? ? ? ?

, .

2 ? ? x ? ? 11 ? ?3 x ? 2 y ? 2 即 ? ,解得 ? ? x ? 3 y ? ?4 ? y ? 14 ? ? 11 所以P点的坐标为 (? 2 , 14 ) . 11 11

解答这种类型的题,首先分清哪 一个是变换前的点,哪一个是变换后的 点,然后把点的坐标写成列向量的形式; 其次根据二阶矩阵与平面列向量的乘法 规则进行解题.

?2 a ? 【变式练习 】已知矩阵M ? ? 1 ? ,其中a? R, 若点 ?2 1 ? P(1, 2)在矩阵M的变换下得到点P'( ? 4, 0),求a的 ? 值

? 2 a ? ? 1 ? ? ?4 ? 【解析】由题意可知 ? ? = ? ?2 ? ? 0 ? ?2 1? ? ? ? ? 所以2 ? 2a ? ?4, 解得a ? 3

常见的平面交换

【例2】已知曲线C的方程为 x2+y2=1,伸缩

变换σ和反射变换ρ的矩阵分别为

? 0 ? 1? 和 ? ?1 0 ? , 求曲线C在σ和ρ变换下曲线 ? ?

?1 0 ? ? 1? ?0 ? ? 2? ?

C′的方程,并说明曲线的特征.

【解析】设点P(x , y)为曲线C上任意一点, 通过变换后对应的点为P′(x′, y′).
?1 0 ? ? x ? ? ? ? x ? ? ? 1 ? ? ? x '? ? 0 1 ? ? y ? ? y ? ? y '? , 由 ? ? ? 2? ? ?2 ? ? ? ?
?x ? x' 得 ? ,代入 x2+y2=1, ? y ? 2 y'

得 x '2 ? 4 y '2 ? 1 ,

即曲线C在伸缩变换σ的作用下的曲线C′的方程 为 x2+4y2=1, 其图形为焦点在 x 轴上,中心在坐

标原点的椭圆.
? 0 ? 1? ? x ? ? ? y ? ? x '? 得 ? x ? ? y ' 又由 , ? ? ? ?? , ? ? ? y ? ? x' ?1 0 ? ? y ? ? ? x ? ? y '? ? ? ? ? 2 代入 x2+y2=1, 得 y '2 ? x '. ? 1

故曲线C在反射变换ρ的作用下的曲线C′的方

程为 x2+y2=1, 其图形仍为圆心在坐标原点,半
径为1的圆.

变换是点到点的对应关系,可用点的坐 标关系来刻画.矩阵通过变换作用,使曲线

方程所对应的图形产生变化.图形的变换依
托矩阵这一重要的数学模型,矩阵控制着图 形的变换.

【变式练习2】分别给出下列矩阵表示的变 换对图中△ABC的作用结果,其中A(-3 , 0) , B(0 , 2) , C(2 , 0).
?1 0 ? (1) ? 0 ?2 ? ? ? ? 1 1? ; (2) ? 0 1? ? ?

;
3? ? ? 2 ? . 1 ? ? 2 ?

(3)

? 0 1 ? ; (4) ? 1 0? ? ?

? ? ? ? ? ?

1 2 3 2

?1 0 ? 【变式练习2】(1)矩阵 ? ? 表示横坐标 ? 0 ?2 ?

保持不变,

纵坐标沿y轴负方向拉伸为原来的2倍的伸 压变换,故△ABC变为△A′B′C′,其中A′(3 , 0) , B′(0 , -4) , C′(2 , 0).
? 1 1? (2)矩阵 ? ? 表示纵坐标不变,横坐 ? 0 1?

标依纵坐标比例增加的切变变换,故 △ABC变为△A′B′C′,其中A′(-3 , 0) , B′(2 , 2) , C′(2 , 0).

?0 1? (3)矩阵 ? 1 0 ? 表示将图形变换为与之 ? ?

关于直线 y=x 对称的反射变换,故△ABC 变为△A′B′C′,其中A′(0 , -3) , B′(2 , 0) , C′(0 , 2).

? ? (4)矩阵 ? ? ? ?

1 2 3 2

3? ? ? 2 ? 表示绕原点逆时针 1 ? ? 2 ?

旋转60°的旋转变换,故△ABC变为 △A′B′C′,其中A′ C′ (1, 3) .
3 3 3 B′ ) ( ? ,, ? 2 2

, ( ? 3,1)

变换的复合与矩阵 的乘法
【例3】在直角坐标系xOy中,切变变换? ?1 对应的矩阵A ? ? ?0 ?1 矩 阵B ? ? 2 ? ?0 ? ? 0? ? 2? 2? ? , 压缩变换? 对应的 1?

?1 ? ?1? 求向量? ? ? ? 在复合变换??作用下的像; ?2? ? 2 ? 复合变换?? 把单位正方形区域变成了什么图形?

?1 ? ?1 ? ?1 2? ? 0? ? 4? 【解析】(1)因为AB= ? 0 1 ? ? 2 ? ? ? 2 ? ? 0 2 ? ? ? ? 0 2? ? ? ?1 ? ? 17 ? 所以(AB)α = ? 2 4 ? ? 1 ? ? ? 2 ? , ? ? ? 2? ? ? 0 2? ? ? ? 4 ? ? ? ? ?1? 即向量α= ? ? 在复合变换σρ作用 ? 2?

,

? 17 ? 下的像为 ? ? . ?2? ?4? ?

?1 (2)因为ρ i= ? 2 ? ?0 ? ?1 ρj= ? 2 ? ?0 ?

?1? ? 0? ?1? ? ? ? ? ? ?2? , ? ?0? 2? ?0? ? ? 0? ?0? ?0? , ? ??? ? ? ?1? ? 2? 2? ?1? ?1? ? 1 2 ? ? ? ?, ? 又(σ· ρ)i= ? ? ?2? ? ?2? ?0 1? ? 0 ? 0 ? ? ? ? ?1 2? ? 0? ? 4? (σ· ρ)j= , ? ? ??? ? 0 1? ? 2? ? 2? ? ?

从而

复合变换中先施行右边的变换,再施行 左边的变换.

【变式练习3】二阶矩阵M 1和M 2 对应的变换 对正方形区域的作用如下图所示:

?1? 写出一个满足条件的矩阵M1和M 2; ? 2 ? 根据 ?1?的结果,令M=M 2 M1,求曲
线y=sin x在矩阵M 变换下的曲线方程.

?1 0 ? ? ? , M ? ?0 ?1? . 【解析】1?由题意有,M 1 ? ? 1? 2 ? ?0 1 0? ? ? ? 2? 1? ?1 0 ? ? ?0 ?1? ? ? ? ?0 ? 2 ? . ? 2? M ? ? 1? ? ?? ? ?1 0 ? 0 ? 2 ? ?1 0 ? 设y=sin x上任意一点P( x0,y0 )在M 对应的变换作 用下的对应点为Q( x,y ),

1? ? 0 ? ? ? x0 ? ? x ? 【解析】则 ? 2 ? ? ? ? ?, ? ? ? y0 ? ? y ? ?1 0 ? ? x0 ? y 所以 ? . ? y0 ? ?2 x 又由y0 ? sin x0,得-2 x ? sin y, 即所求的曲线方程为2 x ? sin y ? 0.

1.(2011 ? 扬州模拟考试)二阶矩阵M 对应的变 换将点(1,-1)与(-2, 1)分别变换成点(-1, -1)与(0,-2).求矩阵M .

?a b ? 【解析】设矩阵M= ? ?, ?c d ? ? a b ? ? 1 ? ? ?1? ? a b ? ? ?2? ? 0 ? 则? ? ? ?1? ? ? ?1? 且 ? c d ? ? 1 ? ? ? ?2? , ?c d ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? a ? b ? ?1 ?a ?1 ? c ? d ? ?1 ?b ? 2 ?1 2 ? ? ? 所以 ? ,解得 ? ,即M= ? ? ?3 4 ? ? ?2a ? b ? 0 ?c ? 3 ??2c ? d ? ?2 ?d ? 4 ? ?

?1 0 ? ??4 3 ? 2.已知 ? ? B ? ? 4 ?1? 求矩阵B . ? ?1 2 ? ?

?a b ? 【解析】设B= ? c d ? , ? ? ?1 0 ? ? a b ? 则? ? B ? ? a ? 2c b ? 2d ? , ? ?1 2 ? ?

? a ? ?4 ? a ? ?4 ?b ? 3 ?b ? 3 故? , 解得 ? ? ? ? a ? 2c ? 4 ?c ? 4 ? b ? 2d ? ? 1 ? d ? ?2 ? ? ??4 3 ? 故B= ? ? . ? 4 ?2 ?

.

?1 ? ?1 ? 3.已知二阶矩阵M满足 M ? ? ? ? ? , ?0? ?0? ?1 ? ? 2 ? ?1? 2 M? ??? ?,求 M ? ? . 1? ? 2 ? ? ? ? 1? ?a b ? 【解析】设M= ? ? . ?c d ? ?a ? ?1? ?1 ? ?1 ? 由 M ? ? ? ? ? , 得 ? c ? ? ? 0? ,所以a=1, c=0. ? ? ? ? 0? ?0? ? ?1 ? ? 2 ? 由 M? ??? ?,得 ?1 ? ? 2 ? ? a ? b ? ? 2? ? ? ? ? 2 ? ,所以b=1 , d=2. ?c ? d ? ? ?

?1 1 ? 所以M= ? 0 2 ? ? ?

.

所以M2=
2

?1 1 ? ?1 1 ? ?1 3? ? ? ?0 2? ? ?0 4? . ? ? ? ?0 2? ?

? 1 ? ? 1 3 ? ? 1 ? ??2 ? 所以 M ? ? ? ? ? ? ? 1? ? ? ? 4 ? ? ? 1? ? 0 4 ? ? ? ? ?

.

?1 0? 4.设M= ? 0 2? ? ?

?1 ? ? 2 0? ,N= ? , 试求曲线 ? ? 0 1? ?

y=sinx 在矩阵MN变换下的曲线方程.
?1 ? ?1 ? ?1 0? ? 0? ? 0? 【解析】 MN ? ? ? ?2 ? ? ?2 ? ?0 2? ? 0 1 ? 0 2 ? ? ? ?

设(x , y)是曲线 y=sinx 上的任意一点,在矩 阵MN变换下对应的点为(x′, y′).

?1 ? 则 ? 0 ? ? x ? ? x '? , 2 ? ??? ? ? ? ? y ? ? y '? ? 0 2? ? ?

1 ? 所以 ? x ' ? 2 x , 即 ? ? y' ? 2 y ?

? x ? 2x' ? . ? 1 ? y ? 2 y' ? 1 将其代入 y=sinx,得 y′=sin2x′,即 2

y′=2sin2x′. 即曲线 y=sinx 在矩阵MN变换下的曲线方程 为 y=2sin2x.

5.(2011 ? 南通三模卷)已知圆x ? y ? 1在矩阵
2 2

0? ? (a>0,b>0)对应的变换作用下变 b? x2 y 2 为椭圆 ? ? 1,求a,b的值. 9 4

?a A?? ?0

解析:设P( x,y )为圆C上的任意一点,在矩阵 A对应的变换下变为另一个点P?( x?,y?), 0? ? x? ? x ' ? ax ? ? y ? ,即 ? y ' ? by . b? ? ? ? x2 y 2 又点P?( x?,y?)在椭圆 ? ? 1上, 9 4 2 2 2 2 a x b y 所以 ? ? 1. 9 4 由已知条件可知,x 2 ? y 2 ? 1, ? x '? ?a 则? ? ? ? ? y '? ? 0 所以a 2 ? 9,b 2 ? 4. 因为a>0,b>0,所以a ? 3,b ? 2.

1.矩阵与向量乘法的意义应以映射与变换的 观点来认识、理解. 2.线性变换与二阶矩阵是一一对应的,既可 以通过二阶矩阵来研究对应的线性变换, 又可以通过线性变换来研究对应的二阶矩 阵.

3.性质:A(?1?+?2 ? )=?1 A?+?2 A?的几何意义即 说明矩阵变换把平面上的直线(点)变换成直线(点). 4.矩阵乘法的性质只满足结合律,不满足交换律 和消去律. 5.复合变换f · 是有序的, g后f ”. g “先



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