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高一数学指数函数应用2


指数
(二)
日期:2002.10.27.

1)整数指数幂是如何定义的?有何规定? a n = a×a×a× ……×a n 个a a0=1 (a≠0) ( n ∈ N *)

a ?n ?

1 (a ? 0, n ? N * ) an

2)整数指数幂有那些运算性质?
(1)a m ×a n = a m + n (2)( a m ) n = a m × n

( m、n ∈Z )

(3)( a b ) n = a m b n a m ÷a n = a m ×b -n = a m-n
?a? an ? ? = ( a ×b -1 ) n = a n × b -n ? n b ?b?
n

3)根式又是如何定义的?有那些规定? 如果一个数的平方等于 a ,则这个数叫做 a 的平方根;

如果一个数的立方等于 a ,则这个数叫做 a 的立方根;
如果一个数的 n 次方等于 a ,则这个数叫做 a 的 n 次方根;

根指数

n

a

被开方数

a>0

根式

4) n a n 的运算结果如何?

当 n 为奇数时,n a n = a ;

(a∈R)

当 n 为偶数时,

n

a

n

?a =|a| ?? ?? a

a?0 a?0

n

0?0

( n a )n ? a

一,引入: 1, 的5次方根是________ 2,
01 a

a12的3次方根是___________ 你发现了什么?

1。
3 2。

5

a

10

?a ?a
2

10 5

a

12

?a ?a
4

12 3

??????〒? ? ?

10 10 (2 ) ? 2 ? 2 ? 2 ?5 ? ? 2 ? 2 ? 2
5 2 10 10 5
3

10 2

3 ?3 ? 3 ?3 ?
12 3 15

12 3

15 3

a ? a
3

1 2

( a ? 0)
2 3

b

2

?b

(b ? 0),能否成立 ( c ? 0)

4

c5 ? c

5 4

m a ? 0, k ? (n ? 1, 且n ? N *),那么 n (a ) ? (a ) ? a
k n n
m n m ?n n

?a

m

你能得到什么结论?

二,分数指数幂的定义 规定? 正数的正分数指数幂

(1)a ? a (a ? 0, m.n ? N 且n ? 1)
n m *

m n

3 ? 3 ,16 ? 16
5 3 3

3 5

5 3

5

(2)a

?m n

?

1 a
m n

(a ? 0, m, n ? N * n ? 1) 且

(3)0的正分数 指数幂等于0, 0的负分数 指数幂 没有意义。

用分数指数幂的形式表示下列各式: 例1、

(式中a>0)

(1)a ? a
2

(2)a ? a
3 3
2 1 2

2

(3) a a
1 2
2 3

解:

(1)a ? a = a ? a ? a
2
3 3 2

2?

?a
?a
3 2 1 2

5 2
11 3

(2)a ? a = a ? a ? a
3

2 3

3?

(3) a a = (a ? a ) ? (a ) ? a

1 2

1 2

3 4

题型一
将根式转化分数指数幂的形式。(a>0,b>0)
?3

1, a a a
4 3

3

a

5 6

3a 4 ? ?4 ?4 2, (? ) 3 a b 3 27b
3
8 3

3, ( a ? b) (a ? b)

3 4

4. a

9 24

b

?3

a b

9 4

3 ?8

小结:1,当有多重根式是,要由里向外层层转化。 2、对于有分母的,可以先把分母写成负指数幂。 3、要熟悉运算性质。

【课堂练习】
1.课本P74练习: 第1题:
1)a 3)a
1 5

1,2
3 4

? a
5

2) a ? 4 a 3

3 ? 5

?

1 a
3 5

?

1
5

a

3

4) a

2 ? 3

?

1 a
2 3

?

1
3

a

2

【课堂练习】
第2题:
3

(1)

x ?x
2
2

2 3

(2)

4

(a ? b) ? (a ? b) (a+b>0)
3
2 3 (4)

3 4

(3)3

(m ? n) ? (m ? n)
6 5 5 3 2

( m ? n) ? ( m ? n)
4

2

(5)

p q ? p q ( p ? 0)(6)

m

3

m

? m ?m
3

?

1 2

?m

5 2

分数指数幂的运算性质:
整数指数幂的运算性质可以运用到分数指数幂,进 而推广到有理数范围:

a ?a ? a
r s r s r r

r?s

(a ? 0, r , s ? Q)

(a ) ? a (a ? 0, r , s ? Q)
rs

(ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? Q)
r

例3

3 ? 1 ?3 16 4 求值:8 、100 、 ( ) 、 ( ) . 81 4

2 3

1 ? 2

(1)8 ?(2
(2)100
1 ? 2

2 3

2 3 3

) ?2
1
1 2

2 3? 3

?2

2

=4
1 2

=

?

1 (102 )

100

1 ? 10

1 ?3 (3)( ) = 4
16 (4)( ) 81
? 3 4

-2)-3 = (2

(-2)(-3) = 2

6= 2

64

2 = ( 3)

3 4?( ? ) 4

2 ?3 27 ?( ) ? 3 8

题型二
分数指数幂
m n n

a

m n 求值,先把a写成

x

n

然后原式便化为

a ? (x ) ? x
(1),10000
a
3 ? 4

m n

m (即:关键先求a的n次方根)
? 2 3

1 1000

125 (2), ( ) 27
c

9 25

36 (3), ( ) 49

3 2

216 343

已知10 ? 2,10 ? 3,10 ? 5, 求10
b

3a ? 2b ? c

的值。

40 9

【课堂练习】
2.用分数指数幂表示下列各式:
5

(1)

(?2)
9
=

4

=

2

4 5

(2)

1
3

3
2 5

2 ? 3
4 ? 5

(3) 5

1 3 = 16

7 ?2

【课堂练习】
3、用分数指数幂表示下列各式: ⑴
(2)
4

a
1

3

= =

a

3 4

7

x

3

x

3 ? (x>0) 7
1 2 ? 3 4

(3)

a?b
4

( a ? b)

3

= (a ? b) (a ? b)

小结
注意三点:
1、分数指数幂的概念(与整数指数幂对比,有何 差异,注意不能随意约分).
2、分数指数幂的运算性质,进而推广到有理数指 数幂的运算性质。 3、根式运算时,先化为指数形式进行运算,原式 为根式的,再将结果化为根式。



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