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高中数学必修5第三章 不等式单元测试及答案


第三章 不等式
一、选择题
x 2-4 x+5 5 ,则 f(x)= 有( ). 2 x-4 2 5 5 A.最大值 B.最小值 C.最大值 1 4 4 1 1 2.若 x>0,y>0,则( x+ )2 +( y+ )2 的最小值是( 2y 2x

1.已知 x≥

D.最小值 1 ). D.

A.3

B.

7 2

C.4 ).

9 2

3.设 a>0,b>0 则下列不等式中不成立的是( A.a+b+

1 ab

≥2 2

B.(a+b)(

1 1 + )≥4 a b

C.

a 2 ? b2 ≥a+b ab

D.

2 ab ≥ ab a?b
f ( x) -f (-x) <0 x

4.已知奇函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数,且 f(1)=0,则不等式 的解集为( ).

A.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) 5.当 0<x< A.2

B.(-∞,-1)∪(0,1) D.(-1,0)∪(0,1) ). D. 4 3 ). D.2 4 3

π 1+cos 2 x+8 sin 2 x 时,函数 f(x)= 的最小值为( 2 sin 2 x
B. 2 3 C.4

6.若实数 a,b 满足 a+b=2,则 3a+3b 的最小值是( A.18 B.6 C.2 3

? x ≥0 4 ? 7.若不等式组 ? x+3 y ≥ 4 ,所表示的平面区域被直线 y=kx+ 分为面积相等的两 3 ?3 x+y ≤ 4 ?
部分,则 k 的值是( A. ). B.

7 3

3 7

C.

4 3

D.

3 4

8.直线 x+2y+3=0 上的点 P 在 x-y=1 的上方,且 P 到直线 2x+y-6=0 的距离为

第 1 页 共 11 页

3 5 ,则点 P 的坐标是( A.(-5,1)

). B.(-1,5) C.(-7,2) D.(2,-7)

9.已知平面区域如图所示,z=mx+y(m>0)在平面区 域内取得最优解(最大值)有无数多个, 则 m 的值为( A.- C. ).

7 20

B.

7 20

1 2

D.不存在

10.当 x>1 时,不等式 x+ 的取值范围是( A.(-∞,2] 二、填空题 ).

1 ≥a 恒成立,则实数 a x ?1

(第 9 题)

B.[2,+∞)

C.[3,+∞)

D.(-∞,3]

? (x-y+5)(x+y)≥0 11. 不等式组 ? 所表示的平面区域的面积是 ? 0≤x≤3



? x+2y-3≤0 ? 12.设变量 x,y 满足约束条件 ? x+3y-3≥0, 若目标函数 z=ax+y(a>0)仅在点(3, ? y-1≤0 ?

0)处取得最大值,则 a 的取值范围是

. . .

13.若正数 a,b 满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围是
b a 14. 设 a, b 均为正的常数且 x>0, y>0, + =1, 则 x+y 的最小值为 y x

15.函数 y=loga(x+3)-1(a>0,且 a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny +1=0 上,其中 mn>0,则

2 1 + 的最小值为 m n



16.某工厂的年产值第二年比第一年增长的百分率为 p1,第三年比第二年增长的百分 率为 p2,若 p1+p2 为定值,则年平均增长的百分率 p 的最大值为 .

第 2 页 共 11 页

三、解答题 17.求函数 y=

x 2+7 x+10 (x>-1)的最小值. x+1

18.已知直线 l 经过点 P(3,2),且与 x 轴、y 轴正半轴分别交于 A,B 两点,当△AOB 面积最小时,求直线 l 的方程.

(第 18 题)

第 3 页 共 11 页

19.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨,B 原料 2 吨; 生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨,B 原料 3 吨,销售每吨甲产品可获得利润 5 万元,销售 每吨乙产品可获得利润 3 万元.该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨,B 原料 不超过 18 吨.那么该企业可获得最大利润是多少?

5 1 ,求函数 y=4x-1+ 的最大值; 4 4 x-5 9 1 * (2)已知 x,y∈R (正实数集),且 + =1,求 x+y 的最小值; y x

20.(1)已知 x<

(3)已知 a>0,b>0,且 a2+

b2 =1,求 a 1 +b 2 的最大值. 2

第 4 页 共 11 页

参考答案
1.D 解析:由已知 f(x)=
x 2-4 x+5 ( x-2)2+1 1 = = 2 x-4 2( x-2) 2

1 ? ? , ( x-2) + ? x-2 ? ? ?

∵ x≥

5 ,x-2>0, 2



1 2

1 1 ? 1 ? ≥ · 2 ( x-2)? =1, ( x-2) + ? ? x - 2 2 x-2 ? ?

当且仅当 x-2= 2.C 解析:( x+

1 ,即 x=3 时取等号. x-2

1 2 1 ) +( y+ )2 2y 2x

=x2+

x 1 y 1 + 2 +y 2+ + 2 y 4y x 4x

= ? x 2+

? ?

1 ? ? x y? 1 ? ? 2 +? +? y+ 2? 2 ? ? + ? ?. ? 4x ? ? 4y ? ? ? y x?

∵ x2+

1 2 1 1 ≥2 x 2 ? 2 =1,当且仅当 x2= 2 ,x= 时取等号; 2 2 4x 4x 4x

y 2+

1 1 2 1 ≥2 y 2 ? 2 =1,当且仅当 y2= 2 ,y= 时取等号; 2 4y 2 4y 4y x x y y ? =2(x>0,y>0),当且仅当 = ,y2=x2 时取等号. y y x x

x y + ≥2 y x

1 ? ? 2 1 ? ? x y? ? ∴ ? x 2+ 2 ? + ? +? y+ 2? ? + ? ? ≥1+1+2=4,前三个不等式的等号同时成立 ? 4x ? ? 4y ? ? ? ? y x?

时,原式取最小值,故当且仅当 x=y= 3.D 解析:

2 时原式取最小值 4. 2

方法一:特值法,如取 a=4,b=1,代入各选项中的不等式,易判断只有 不成立.
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2 ab ≥ ab a?b

方法二:可逐项使用均值不等式判断 A:a+b+

1 ab

≥2 ab +

1 ab

≥2 2 ab ?

1 ab

=2 2 ,不等式成立.

B:∵ a+b≥2 ab >0,

1 1 1 1 1 + ≥2 >0,相乘得 (a+b)( + )≥4 成立. a b a b ab
2 2
2

? a?b? ? a?b? C:∵ a +b =(a+b) -2ab≥(a+b) -2 ? ? =2 ? ? , ? 2 ? ? 2 ?
2 2 2

又 ab ≤

a?b 2 1 a 2 ? b2 ≥ ,∴ ≥a+b 成立. ? 2 ab ab a ? b
1 2 ab 2 ab 1 2ab ≤ ,∴ ≤ = ab ,即 ≥ ab a ? b 2 ab a ? b 2 ab a?b

D:∵ a+b≥2 ab ? 不成立. 4.D

解析: 因为 f(x)是奇函数,则 f(-x)=-f(x),

f ( x) -f (-x) 2 f ( x) <0 ? <0 ? xf(x)<0,满足 x 与 f(x)异 x x
号的 x 的集合为所求. 因为 f(x)在(0,+∞)上是增函数,且 f(1)=0,画出 f(x)在 (0,+∞)的简图如图,再根据 f(x)是奇函数的性质得到 f(x) 在 (-∞,0)的图象.
-1 O 1 x y

(第 4 题)

由 f(x)的图象可知,当且仅当 x∈(-1,0)∪(0,1)时,x 与 f(x)异号. 5.C

π ,有 sinx>0,cosx>0. 2 1+cos 2 x+8 sin 2 x 2 cos2 x+8 sin 2 x cos x 4 sin x f(x)= = = + cos x sin x sin 2 x 2 sin x cos x
解析:由 0<x< ≥2

1 cos x 4 sin x cos x 4 sin x =4,当且仅当 = ,即 tan x= 时,取“=”. · 2 cos x sin x sin x cos x 1 π ,∴ 存在 x 使 tan x= ,这时 f(x)min=4. 2 2

∵ 0<x< 6.B

解析:∵ a+b=2,故 3a+3b≥2 3a ? 3b =2 3a?b =6,当且仅当 a=b=1 时取等号.
第 6 页 共 11 页

故 3a+3b 的最小值是 6. 7.A 解析:不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分 △ABC. 由?

4 ? x+3 y=4 得 A(1,1),又 B(0,4),C(0, ). 3 ?3x+y=4

由于直线 y=kx+

4 4 过点 C(0, ),设它与直线 3 3

3x+y=4 的交点为 D,

1 1 5 S△ABC,知 D 为 AB 的中点,即 xD= ,∴ yD= , 2 2 2 1 4 5 7 ∴ =k× + ,k= . 2 2 3 3
则由 S△BCD= 8.A
? x0+2 y 0+3=0 , ? x0-y0-1<0 , 解析:设 P 点的坐标为(x0,y0),则 ? ? ? 2 x0+y 0 ? 6 =3 5 . ? ? 5

? x =-5 , 解得 ? 0 ? y0=1 .

∴ 点 P 坐标是(-5,1). 9.B 解析:当直线 mx+y=z 与直线 AC 平行时,线段 AC 上的每个点都是最优解.

22 5 =- 7 , ∵ kAC= 20 5-1 3-
∴ -m=- 10.D 解析:由 x+

7 7 ,即 m= . 20 20

1 1 =(x-1)+ +1, x- 1 x- 1

∵ x>1,∴ x-1>0,则有(x-1)+ 则 a≤3.

1 1 +1≥2 ( x- +1=3, 1)· x- 1 x-1

第 7 页 共 11 页

二、填空题 11.24. 解析:不等式(x-y+5)(x+y)≥0 可转化为两个 二元一次不等式组.
?(x-y+5)(x+y)≥0 ? ? 0≤x≤3
? x-y+5≥0 ? ? ? x+y≥0 ? 0≤x≤3 ? ? x-y+5≤0 ? 或 ? x+ y≤0 ? 0≤x≤3 ?
(第 11 题)

这两个不等式组所对应的区域面积之和为所求. 第一个不等式组所对应的区域如图, 而 第二个不等式组所对应的区域不存在. 图中 A(3,8),B(3,-3),C(0,5),阴影部分的面积为

3 ?(11 +5) =24. 2

12. ?a a> ? .

? ?

1? 2?

解析:若 z=ax+y(a>0)仅在点(3,0)处取得最大 值,则直线 z=ax+y 的倾斜角一定小于直线 x+2y-3= 0 的倾斜角, 直线 z=ax+y 的斜率就一定小于直线 x+2y -3=0 的斜率,可得:-a<- 13.ab≥9. 解析: 由于 a, b 均为正数, 等式中含有 ab 和 a+b 这个特征, 可以设想使用 构造一个不等式. ∵ ab=a+b+3≥ 2 ab +3,即 ab≥ 2 ab +3(当且仅当 a=b 时等号成立), ∴ ( ab )2- 2 ab -3≥0, ∴ ( ab -3)( ab +1)≥0,∴ ab ≥3,即 ab≥9(当且仅当 a=b=3 时等号成立). 14.( a + b )2. 解析:由已知

1 1 ,即 a> . 2 2
a+b ≥ ab 2

ay bx , 均为正数, y x

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∴ x+y=(x+y)(

ay bx b ay bx a + )=a+b+ + ≥a+b+ 2 · =a+b+2 ab , y y x x x y
ay bx = x y a b + =1 x y
x=a+ ab 时取等号. y=b+ ab

即 x+y≥( a + b )2,当且仅当



15.8. 解析:因为 y=loga x 的图象恒过定点(1,0),故函数 y=loga(x+3)-1 的图象恒过定 点 A(-2,-1),把点 A 坐标代入直线方程得 m(-2)+n(-1)+1=0,即 2m+n=1,而由 mn>0 知

n 4m , 均为正, n m



1 2 n 4m 1 n 4m 2 ? + = (2m + n)( + )=4+ + ≥4+ 2 =8,当且仅当 m n n n m m m n

n 4m = m n 2m+n=1
16.



1 4 时取等号. 1 n= 2 m=

p1 ? p2 . 2

解析:设该厂第一年的产值为 a,由题意,a(1+p)2=a(1+p1)(1+p2),且 1+p1>0, 1+p2>0,
1+p1+1+p2 ? =a ? p +p ? 所以 a(1+p)2=a(1+p1)(1+p2)≤a ? ? ? ?1+ 1 2 ? ,解得 2 2 ? ? ? ?
2

2

p≤

p1+p2 p +p ,当且仅当 1+p1=1+p2,即 p1=p2 时取等号.所以 p 的最大值是 1 2 . 2 2

三、解答题 17.解:令 x+1=t>0,则 x=t-1, y=
(t-1)2+7(t-1) +10 t 2+5t+4 4 4 = =t+ +5≥ 2 t ? +5=9, t t t t

当且仅当 t=

4 ,即 t=2,x=1 时取等号,故 x=1 时,y 取最小值 9. t

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18.解:因为直线 l 经过点 P(3,2)且与 x 轴 y 轴都相交, 故其斜率必存在且小于 0.设直线 l 的斜率为 k, 则 l 的方程可写成 y-2=k(x-3),其中 k<0. 令 x=0,则 y=2-3k;令 y=0,则 x=-
y B P(3,2) O (第 18 题) A x

2 +3. k

S△ AOB=

1 1 2 (2-3k)(- +3)= k 2 2

4 ? 4 ? 1? ? 12 + 2 ( - 9 k ) ? ( - )? ≥ 12 + ( - 9 k ) + ( - ) ? ? k ? k ? ? ? 2?

=12,当且仅当(-9k)=(- y-2=-

2 4 ),即 k=- 时,S△ AOB 有最小值 12,所求直线方程为 k 3

2 (x-3),即 2x+3y-12=0. 3

19.解:设生产甲产品 x 吨,生产乙产品 y 吨,则有关系: A 原料用量 甲产品 x 吨 乙产品 y 吨 3x y B 原料用量 2x 3y

?x ? 0 ?y ? 0 ? 则有 ? ,目标函数 z=5x+3y ?3x ? y ≤13 ? ?2 x ? 3 y ≤18
作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标,可知 当 x=3,y=4 时可获得最大利润为 27 万元.
(第 18 题)

5 ,∴ 4x-5<0,故 5-4x>0. 4 1 1 y=4x-1+ =-(5-4x+ )+4. 4 x- 5 5 -4x
20.解:(1)∵ x< ∵ 5-4x+

1 1 ≥ 2 (5 =2, - 4 x) 5 -4x 5 -4x

∴ y≤-2+4=2, 当且仅当 5-4x=

1 3 ,即 x=1 或 x= (舍)时,等号成立, 5 -4x 2

故当 x=1 时,ymax=2.

第 10 页 共 11 页

(2)∵ x>0,y>0,

9 1 + =1, y x

∴ x+y=( 当且仅当

9 9x 1 y + )(x+y)= + +10≥2 y y x x

y 9x · +10=6+10=16. x y

9x 9 y 1 x=4 , = ,且 + =1,即 ? 时等号成立, ? y y x x ? y=12

∴ 当 x=4,y=12 时,(x+y)min=16.
2 ? 2 1 b2 ? 3 2 1 b2 ? 1 b2 ? 2 (3)a 1 = · a ≤ = , + +b 2 =a 2? ?a + + ? ? + ?2 2 ? 2 ? 4 2 2 2 2? ? ? ? ?

当且仅当 a=

3 2 3 2 1 b2 ,即 a= ,b= 时,a 1 . + +b 2 有最大值 2 2 4 2 2

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