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2014-2015学年度高中数学学业水平测试模拟试卷(一)(含解析)


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2014-2015 学年度高中数学学业水平测试模拟试卷(一)
考试范围:必修 1-5;考试时间:100 分钟

5.数列-1,

4 9 16 ,- , ,…的一个通项公式是( ) 3 5 7

A. an ? (?1) ?
n

第 I 卷(选择题)
评卷人 得分 一、选择题(本大题共 17 个小题,每小题 3 分,共 51 分。在每小题给出的 四个选项中,只有一项符合题目要求,请在答题卡相应的位置上填涂) 。 ) D.18 C. an ? (?1) ?
n

n2 2n ? 1 n2 2n ? 1
( B. ? ? {0}

n B. an ? ( ?1) ?

n(n ? 1) 2n ? 1

D. an ? (?1) ?
n

n 2 ? 2n 2n ? 1
D. 0 ? ?

1.如果 log3 m ? log3 n ? 4 ,那么 m ? n 的最小值是( A.4 B. 4 3 C. 9

6.下列表示中,正确的是 A. ? ? {0}

) C. ? ? {0} ) C.

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

2.若 ab ? 0 ,则下列四个等式: ① lg ? ab? ? lg a ? lg b ② lg ?

7.函数 f ( x) ? sin x cos x 最小值是( A.-1 B. ?

1 2

1 2

D.1

?a? ? ? lg a ? lg b ?b?
2

8.不等式

2 ? 1 的解集为( ) x ?1
B.

1 ?a? ?a? ③ lg ? ? ? lg ? ? 2 ?b? ?b?
④ lg ? ab ? ?

A.

?3, ???

? ??,3?

C.

?3, ??? ? ??,1?

D. ?1,3?

1 log ab 10
D.③

2 3 2 3 5 2 5 2 5 a? ( ) ,b ? ( ) ,c ? ( ) 5 5 5 ,则 a,b,c 的大小关系是( 9.设

)

中正确等式的符号是( ) A.①②③④ B.①② C.③④

(A)a>c>b (C)c>a>b

(B)a>b>c (D)b>c>a )

3.如图为 f ?x? ? Asin??x ? ? ? A ? 0, ? ? 0, ? ? ? 的图象的一段,则其解析式为(

?

?

10.函数 y ? cos x ? sin x 的图象可由函数 y ? 2 sin x 的图象( ) (A)向左 (C)向左

? 平移个长度单位 4 3?
4

(B)向右

平移个长度单位 (D)向右

? 平移个长度单位 4 3?
4

平移个长度单位

11.已知集合 U={x∈N|0<x≤8},A={2,3,4,5},B={3,5,7},则如图所示的韦恩图中阴影部分 表示的集合为( ) A.y= 3 sin ? x ?

? ?

??
? 3?

B.y= 3 sin ? 2 x ? ? ?

? ?

2 ? 3 ?

C.y= 3 sin ? 2 x ?

? ?

??
? 3?

D. y= 3 sin ? 2 x ?

? ?

??
? 3?
( )

A.{7}

B.{2,4}

C.{1,6,8}

D.{2,3,4,5,7} , 则 z ? 3x ? 2 y 的最大值为

4.已知集合 A={0,1,2,3,4,5},B={1,3,6,9},C={3,7,8},则(A∩B)∪C 等于 A.{0,1,2,6,8} B.{3,7,8} C.{1,3,7,8} D.{1,3,6,7,8}

x?0
12.设变量 x 、 y 满足约束条件

x? y ?0 2x ? y ? 2 ? 0

(

)

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A. 0 B. 2 C. 4 13.若直线 mx+y-1=0 与直线 x-2y+3=0 平行,则 m 的值为 A.

D. 6 D. ?2

2 20. 函数 y ? loga ? x ?1? ? 3? a ? 0, a ? 1? 的图像恒过定点 A , 过点 A 的直线 l 与圆 ? x ? 1? ? y ? 1 相 2

切,则直线 l 的方程是___________________. 21.过点 (1,1) 且与圆 x2 ? 2 x ? y 2 ? 0 相切的直线的方程是 . .

1 2
1 4
B.

B. ?

1 2
C.

C. 2 )

14.掷两枚骰子,出现点数之和为 3 的概率是( A.

22.设集合 M={(x,y)|x+y<0,xy>0}和 P={(x,y)|x<0,y<0},那么 M 与 P 的关系为 评卷人 得分

1 9

1 12

D.

1 18

15. △ABC 中, |AB|=10, |AC|=15, ∠BAC= ? , 点 D 是边 AB 的中点, 点 E 在直线 AC 上, 且 AC ? 3 AE , 3 直线 CD 与 BE 相交于点 P,则线段 AP 的长为( A. 37 B. 13 C.2 13 D.2 7 16.要得到函数 y ? cos 2 x , 只需将函数 y ? sin(2 x ? )

三、解答题:本大题共

4 小题,共 34 分.解答应写出

?
3

23. (6 分)在四边形 ABCD 中, AB ? (6,1), BC ? ( x, y), CD ? (?2, ?3) .

) 的图象
(1)若 BC ∥ DA ,试求 x 与 y 满足的关系; (2)若满足(1)同时又有 AC ? BD ,求 x 、 y 的值. 24. (10 分)已知函数 f(X)=㏒ a(a -1) (a>0 且 a≠1 ) (1)求函数的定义域 25.(本小题满分 8 分) (2)讨论函数 f(X)的单调性
x

5? A.向右平移 个单位 12 5? C.向左平移 个单位 12
A. B. C.

? B.向右平移 个单位 3 ? D.向左平移 个单位 3
D.2

17. (2 分)圆弧长度等于圆内接正三角形的边长,则其圆心角弧度数为( )

第 II 卷(非选择题)
评卷人 得分 二、填空题:本大题共

某城市有一条长 49km 的地铁新干线,市政府通过多次价格听证,规定地铁运营公司按以下 函数关系收费,

5 个小题,每小题 3 分,共 15 分。

请把答案写在答题卡相应的位置上。
18. 上海世博园中的世博轴是一条 1000 m 长的直线型通道, 中国馆位于世博轴的一侧 ( 如下图所示) . 现测得中国馆到世博轴两端的距离相等,并且从中国馆看世博轴两端的视角为 120 . 据此数据计算, 中国馆到世博轴其中一端的距离是

m.

ì 2, (0 < x 4) ? ? ? ? 3, (4 < x 9) ? ? ? ? 4, (9 < x 16) y= ? ,其中 y 为票价(单位:元),x 为里程数(单位:km). í ? 5, (16 < x 25) ? ? ? 6, (25 < x 36) ? ? ? ? ? ? 7, (36 < x 49)
(1)某人若乘坐该地铁 5km,该付费多少元? (2)甲乙两人乘坐该线地铁分别为 25km、49km,谁在各自的行程内每 km 的平均价格较低? 26. (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? 3 sin? 2 x ?

? ?

??

? ? 2? ? ? 2 sin ? x ? ? ( x ?R). 6? 12 ? ?

(Ⅰ)若 f ( x) ? 1 ? 2 且 x ? ?? 19.将二进制数 10001(2)化为十进制数为 .
第 3 页 共 12 页 ◎ 第 4 页 共 12 页

? ? ?? ,求 x; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调递增区间. , ? 4 4? ?

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

文字说明、证明过程或演算步骤.

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参考答案 1.D 【 解 析 】 log3 m ? log3 n ? log3 (mn) ? 4 , 所 以 mn ? 3 ? 81 。 因 为 m, n ? 0 , 所 以
4

【解析】解:因为

?( x ? 1)(?3 ? x) ? 0 2 2 ? x ?1 3? x ?1? ?0? ?0?? x ?1 x ?1 x ?1 ? x ?1 ? 0 ? 3 ? x ?1
9.A 【解析】函数 y ? x 5 是增函数,
2

m ? n ? 2 mn ? 2 81 ? 18 当且仅当 m ? n 时取等号,故选 D
2.D. 【解析】 试题分析:? ab ? 0 ,? a ? 0, b ? 0或a ? 0, b ? 0 ,所以①②不成立;

3 2 3 2 2 2 2 ? ? ( ) 5 ? ( ) 5 ; 函数 y ? ( ) x 是减函数, 5 5 5 5 5

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

? ab ? 0 ,?

a 1 a 1 a ?a? ? 0, lg( ) 2 ? ? 2 lg( ) ? lg? ? ,所以③正确; b 2 b 2 b ?b?

2 3 3 2 2 5 2 5 ? ? ( ) ? ( ) ;? a ? c ? b. 故选 A 5 5 5 5

10.C 【解析】因为函数 y ? cos x ? sin x ?

当 ab ? 1 时, lg( ab) ? 0 ,但 logab 10 无意义所以④不成立;故选 D. 考点:对数式的运算. 3.B 【解析】

3? ? 2 sin( ? x ) 的图象可由函数 y ? 2 sin x 的图象向左 平 4 4

? , 0 )代入 y ? 3 sin(2x ? ? ), 3 ? ? 2? 2? , k ? z ,所以,取 ? ? ? 得 3 sin(2 ? ? ? ) ? 0, 2 ? ? ? ? k? , ? ? k? ? , 3 3 3 3
试题分析:观察图象可知,A= 3 , ? =2,将 M( 故 y= 3 sin ? 2 x ? ? ? ,故选 B。 考点:正弦型函数的图象和性质。 点评:简单题,利用函数图象求函数的解析式,一般方法是,观察图象求 A,T,代入点的坐标求 ? 。 4.C 【解析】 A

? ?

2 ? 3 ?

B ? ?1,3? ,?( A B) C ? ?1,3,7,8?. 故选 C

移个长度单位得到,故选 C 11.B 【解析】由韦恩图中阴影部分表示的集合为 A∩?UB, ∵U={x∈N|0<x≤8}={1,2,3,4,5,6,7,8}, ∴?UB={1,2,4,6,8}, 即 A∩?UB={2,4}, 故选:B. 12.C 【解析】略 13.B 【解析】 试题分析:要使两直线平行的条件,两条直线方程中,一次项系数之比相等,但不等于常数项之比, 由此求得 m 的值. 根据题意,由于直线 mx+y-1=0 与直线 x-2y+3=0 平行,则利用斜率相等,截距不同可知,满足题意的 为-m= ? m ? ?

【答案】A 【解析】 试题分析:观察数列特点:正负交替,分母是奇数,分子是平方数,故选 A. 考点:数列的通项公式 6.C 【解析】 试题分析:空集是不含任何元素的集合,它是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 考点:本小题主要考查空集的性质和集合中符号的应用. 点评: ? 表示元素和集合之间的关系, ? 表示集合与集合之间的关系,不要混用符号. 7.B 【解析】略 8.D
第 5 页 共 12 页 ◎

1 2

1 ,故选 B. 2

考点:两直线的位置关系 点评:要使两直线平行的条件,两条直线方程中,一次项系数之比相等,但不等于常数项之比,由此 求得 m 的值. 14.D 【解析】 试题分析:因为掷两枚骰子共有 36 种等可能结果,出现点数之和为 3 的共有 2 种不同结果,所以出现 点数之和为 3 的概率为

2 1 ? ,故答案为 D . 36 18

考点:①分步乘法计数原理和分类加法计数原理;②古典概型的概率计算公式. 15.A 【解析】
第 6 页 共 12 页

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试题分析:法一:如图, A E D B P C

y ? x? ? ? 2 根据向量相等的充要条件,有 ? 1 ? x ? ? 1? y ? ? 3
解得:x=

AP ? AC ? CP ? AC ? ? CD ? AC ? ? (CA ? AD ) ? AC ? ? (? AC ? 1 AB ) 2 ? (1 ? ? ) AC ?

y B D OA P x E C

?
2

AB

?1 ? ? ? ? ? 2 于是 ? ? ? ? 1? ? ?3

由已知可得:C(15,0) ,E(5,0) ,P(5,5 3 ) ,D( 5 , 5 3 ) 2 2 于是 BE 所在直线方程为 x=5, CD 所在直线方程为 y= ? 解得 P(5,2 3 ) 故|AP|= 52 ? (2 3) 2 ? 37 考点:解三角形,平面向量 16.C 【解析】考点:函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换. 专题:常规题型. 分析:先根据诱导公式将函数 y=cos2x 化为正弦形式的.然后假设平移 φ 个单位得到,根据 sin[2

?? ? 3 ? 5 解得 ? ?? ? 4 ? 5
即 AP ? 2 AB ? 1 AC 5 5 ∴ | AP |2 ? 1 (4? | AB | 2 ?2 ? 2 AB ? AC ? | AC | 2 ) 25 = 1 (4 ?100 ? 2 ? 2 ?10 ?15 ? 1 ? 225) 25 2 =37 故 | AP |? 37 法二:因为 B、P、E 三点共线,有 AP ? x AB ? (1 ? x) AE ? x AB ?

3 (x-15) 5

(1 ? x) AC 3

同理,因为 C、P、D 三点共线,有 AP ? y AD ? (1 ? y ) AC ?

y AB ? (1 ? y ) AC 2

? ? ]=sin(2x+ )解出 φ 即可. 3 2 ? 解答:解:∵y=cos2x=sin(2x+ ) 2 ? 假设只需将函数 y=sin(2x- )的图象平移 φ 个单位得到,则 3 ? ? sin[2(x+φ )- ]=sin(2x+ ) 3 2
(x+φ )-

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

AP ? AB ? BP ? AB ? ? BE ? AB ? ? ( BA ? AE ) ? AB ? ? (? AB ? 1 AC ) 3 ? (1 ? ? ) AB ? ? AC 3

2 4 ,y= 5 5

于是, AP ? 2 AB ? 1 AC 5 5 (下同解法一) 法三:以 A 为原点,AC 所在直线为 x 轴,建立如图所示平面直角坐标系

… … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …

… … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …

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? ? 5? =2x+ ,φ = 12 3 2 5? 故应向左平移 个单位 12
∴2(x+φ )故选 C. 17.C 【解析】 试题分析:等边三角形 ABC 是半径为 r 的圆 O 的内接三角形,则线 AB 所对的圆心角∠AOB= 出 AB 的长度(用 r 表示) ,就是弧长,再由弧长公式求圆心角弧度数. 解:如图,等边三角形 ABC 是半径为 r 的圆 O 的内接三角形, 则线 AB 所对的圆心角∠AOB= , , ,求

试题分析:将点 (1,1) 代入圆的方程 x2 ? 2 x ? y 2 ? 0 成立,所以点 (1,1) 在圆 x2 ? 2 x ? y 2 ? 0 上且点

A (1,1) 为切点。圆 x2 ? 2 x ? y 2 ? 0 的圆心为 B (1,0) ,直线 AB 斜率不存在,所以切线斜率为 0,又
因为 (1,1) 为切点,所以切线方程为 y = 1 ,即 y - 1 = 0 。 考点:1 点与圆的位置关系;2 圆的切线方程。 22.M=P. 【解析】 试题分析:利用不等式的性质可得:x+y<0,xy>0,?x<0,y<0.进而判断出集合 M 与 P 的关系. 解:由 x+y<0,xy>0,?x<0,y<0. ∴M=P. 故答案为 M=P. 点评:熟练掌握不等式的性质和集合间的关系是解题的关键. 23. (1) y ? ? 【解析】 试题分析: (1) AD ? AB ? BC ? CD ? (4 ? x, ?2 ? y) DA ? ? AD ? (?4 ? x, 2 ? y)

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

作 OM⊥AB,垂足为 M,在 rt△AOM 中,AO=r,∠AOM= ∴AM= ∴l= r,AB= r,

? x ? ?6 ? x ? 2 1 x; (2) ? 或? 2 ? y ? 3 ? y ? ?1

r,由弧长公式 l=|α |r, = .

得,α = = 故选 C.

1 BC ∥ DA ??(4 ? x) ? y ? (?2 ? y) ? x ? 0 即 y ? ? x (1) 2
(2) AC ? AB ? BC ? (6 ? x,1 ? y)

BD ? BC ? CD ? (?2 ? x, ?3 ? y) ? AC ? BD ? x2 ? y2 ? 4x ? 2 y ?15 ? 0
点评:本题考查圆心角的弧度数的意义,以及弧长公式的应用,体现了数形结合的数学思想. 18. 由(1) (2)得 ? (2)

? x ? ?6 ? x ? 2 或? y ? 3 ? ? y ? ?1

1000 3 3

【解析】略 19.17 【解析】解:因为二进制数 10001(2)化为十进制数即为 1 ? 24 ? 1 ? 20 ? 17 20. . 4x ? 3 y ?1 ? 0 或 x ? 2 【解析】略 21. y ? 1 ? 0 【解析】
第 9 页 共 12 页 ◎

考点:平面向量的坐标运算,数量积,向量的平行、垂直。 点评:简单题,两向量平行,坐标交叉相乘的差为 0.两向量垂直,它们的数量积为 0. x x 0 24.解: (1) a -1>0 , a >1=a 当 a>1 时,X>0 当 0<a<1 时,X<0 所以当 a>1 时,f(X)定义域是(0,+∞) 当 0<a<1 时,f(X)定义域是(-∞,0) x x (2)当 a>1 时,Y=㏒ au 是增函数,U=a -1 是增函数,所以 f(X)=㏒ a(a -1)在(0,+ ∞)上是增函数。 同理可证当 0<a<1 时 函数 f(X)在(-∞,0)上也是增函数。 【解析】略 25.解: (1)∵x=5∈(4,9〕, ∴y=3(元)
第 10 页 共 12 页

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即某人若乘坐该地铁 5km,应付费 3 元 (2)∵x=25∈(16,25〕, ∴y=5(元) ∵x=49∈(36,49〕, ∴y=7(元)

5 1 = (元), 25 5 7 1 = (元), 乙在行程内每千米的平均价格为: 49 7
甲在行程内每千米的平均价格为: ∴ 乙在行程内每千米的平均价格较低 26. (1) x ?

?
24

(2) ?k? ? , k? ? (k ? Z ) 12 12 ? ? ? 【解析】解: (Ⅰ) f ( x) ? 3 sin? 2 x ?

?

?

5? ?

? ?

??

? ? 2? ? ? 2 sin ? x ? ? 6? 12 ? ?

? 3 sin( 2 x ?

?
6

) ? 1 ? cos( 2 x ?

?
6

)

?? ?? ?? ? 2 sin ?? 2 x ? ? ? ? ? 1 6 ? 6? ??

?? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 ----------------------------4 分 3? ?
因为 f ( x) ? 1 ? 2 ,所以 sin? 2 x ?

? ?

??

2 -----------------------------6 分 ??? 3? 2

由于 x ? ?? 所以 x ? ? (

? 3? ? ? ? ? 5? ? ? ? ? ?? , ? ,所以 2 x ? ? ?? , ? ,故 2 x ? ? ? 或 2 x ? ? ? 3 4 3 4 3 ? 6 6? ? 4 4?
5? ? 或x ? --------------------------------------------------------8 分 24 24
Ⅱ ) 令

2k? ?

?

2

? 2x ?

?

3

? 2k? ?

?
2

------------------------------------------------10 分 解得 k? ?

?
12

? x ? k? ?

5? (k ? Z ) 12

所以 f ( x ) 单调递增区间为 ?k? ?

? ?

?
12

, k? ?

5? ? (k ? Z ) ---------------------12 分 12 ? ?

第 11 页 共 12 页



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