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整式拓展竞赛题


成都树才学校 2012 寒假班七年级(下)数学培训资料

第十讲 整式拓展练习
【例 1】1、如果正整数 x,y 满足方程 x2-y2=64,则这样的正整数对(x,y)的个数是_______. 2、1,2,3,…,98 共 98 个自然数中,能够表示成两个整数的平方差的个数是________. 【例 2】1、已知 a、b 满足等式 x ? a ? b ? 20 , y ? 4 ? 2 b ? a ? ,则 x,y 的大小关系是(
2 2



A. x ? y

B. x ? y
2 2

C. x ? y
2

D. x ? y

2、已知 a、b、c 满足 a ? 2 b ? 7 , b ? 2 c ? ? 1 , c ? 6 a ? ? 17 ,求 a+b+c 的值.

【例 3】计算:(1) ? 2 ? 1 ??2 ? 1 ??2 ? 1 ?? ? ?2
2 4

16

?1 ?1;

?

(2)

20042003 20042002
2

2

?1
2

? 20042004



【例 4】(1)请观察:25=52,1225=352,112225=3352,1122225=33352…写出表示一般规律的等式, 并加以证明. (2)26=52+12,53=72+22,26× 53=1378,1378=372+32.任意挑选另外两个类似 26、53 的数, 使它们能表示成两个平方数的和,把这两个数相乘,乘积仍然是两个平方数的和吗?你能说出其中的 道理吗? 注:有人称这样的数“不变心的数”.数学中有许多美妙的数,通过分析,可发现其中的奥秘. 瑞士数学家欧拉曾对(2)的性质作了更进一步的推广.他指出:可以表示为四个平方数之和的甲、乙 两数相乘,其乘积仍然可以表示为四个平方数之和. 即(a2+b2+c2 十 d2)(e2+f2+g2+h2)=A2+B2+C2+D2.这就是著名的欧拉恒等式.

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【例5】已知 x ? y ? z ? 2 x ? 4 y ? 6 z ? 14 ? 0 ,求 x+y+z 的值.
2 2 2

【例 6】已知 a ? b ? c ? 0, a ? b ? c ? 1 .求:(1) ab ? bc ? ca 的值;(2) a ? b ? c 的值.
2 2 2 4 4 4

【课后练习】
2 1、已知 x ? 5 x ? 14 ,则 ? x ? 1 ?? 2 x ? 1 ? ? ? x ? 1 ? ? 1 的值为________.
2

2、已知 ? x ? y ? ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 ? x ? y ?
2

999

=_________.

3、已知 a ? b ? 2 a ? 4 b ? 5 ? 0 ,则 2 a ? 4 b ? 3 的值为_______.
2 2 2

4、三种不同类型的矩形地砖长宽如图所示,若现有 A 类 4 块,B 类 4 块,C 类 2 块,要拼成一个正方形,则应多余出 1 块______型 地砖;这样的地砖拼法表示了一个两数和的平方的几何意义,这个 两数和的平方是___________________________. 5、从边长为 a 的正方形中去掉一个边长为 b 的小正方形,如图,然后将剩余部分剪后拼成一个矩形, 上述操作所能验证的等式是( )

A、a2-b2=(a+b)(a-b) C、(a+b)2=a2+2ab+b2

B、(a-b)2=a2-2ab+b2 D、a2+ab=a(a+b) )

6、在 2004,2005,2006,2007 这四个数中,不能表示为两个整数平方差的数是( A、2004 B、2005 C、2006 D、2007
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7、已知 a、b、x、y 满足 ax ? by ? 3, ay ? bx ? 5 ,求 ?a ? b
2

2

?? x

2

? y

2

? 的值.

8、已知 a ? 的值.

1 2008

x ? 2008 , b ?
2

1 2008

x ? 2007 , c ?
2

1 2008

x ? 2009 ,求代数式 a +b +c -ab-bc-ac
2

2

2

2

2 2 4 4 3 3 9、已知 x+y=1, x ? y ? 3 ,求:(1) x ? y 的值;(2) x ? y 的值.

10、若 a、b 为有理数,且 2 a ? 2 ab ? b ? 4 a ? 4 ? 0 ,求 a b ? ab 的值.
2 2 2 2

11、计算:(1) 6 ? 7 ? 1 ??7 ? 1 ??7 ? 1 ??7 ? 1 ? ? 1 ;
2 4 8

(2)
12346

24690
2

? 12345 ? 12347



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12、一个自然数减去 45 后是一个完全平方数,这个自然数加上 44 后仍是一个完全平方数,试求这个 自然数__________. 13、已知 ? 2007 ? a ?? 2005 ? a ? ? 2006 ,那么 ? 2007 ? a ? ? ? 2005 ? a ? =_________.
2 2

14、已知 a ? b ? 4, ab ? c ? 4 ? 0 ,求 a+b 的值.
2

15、如果实数 a、b、c 满足 a+2b+3c=12,且 a2+b2+c2=ab+ac+bc,求代数式 a+b2+c3 的值.

16、如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”. 如:4=42-02,12=42-22,20=62-42,因此 4,12,20 都是“神秘数”. (1)28 和 2012 这两个数是“神秘数”吗?为什么? (2)设两个连续偶数为 2k+2 和 2k(其中 k 取非负整数),由这两个连续偶数构造的神秘数是 4 的 倍数吗?为什么? (3)两个连续奇数的平方数(取正数)是神秘数吗?为什么?

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