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正弦定理和余弦定理习题课2


正、余弦定理习题课2

复 习 引 入 三角形知识梳理:

?ABC中,边a, b, c所对的角分别为 A, B, C.
一、三内角的关系(内角和定理): A ? B ? C ? ?
A ? B?C ? ? 2 2 2

变式:

A ? ? ? (B ? C)

二、三边的关系:

任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边 .

a?b ? c b?c ? a c?a ?b

a ?b ? c b?c ? a c?a ?b

三、边与角的关系:
1.等边对等角,等角对等边;

2.大边对大角,大角对大边;
3.正弦定理及其变形
a b c 定理: ? ? ? 2 R( R为?ABC外接圆的半径) sin A sin B sin C

变形 1.a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C;
a b c 变形2. sin A ? , sin B ? , sin C ? ; 2R 2R 2R
变形3. sin A : sin B : sin C ? a : b : c.

4.余弦定理及其推论

a2 ?b2 ?c2 ?2bccos A 定理: b2 ? a2 ?c2 ?2accos B 2 2 ? 2 ? 2abcosC ? c a b
b2 ? c2 ? a 2 a 2 ? c2 ? b2 a 2 ? b2 ? c2 推论: cos A ? ; cos B ? ; cosC ? . 2bc 2ac 2ab

△ABC中: A ? 90? ? a2 ? b2? c2 A?90? ? a2 ? b2? c2

A?90? ? a2 ?b2? c2
四、三角形的面积公式: 1 1 1 1 1.S ? ah 2.S ? ab sin A ? ac sin B ? bc sin C 2 2 2 2









一、运用正、余弦定理解三角形
?两角及其夹边 ? 正弦定理?两角及其中一角的对边 ?两边及其中一边的对角 ? ? ? 两边及其夹角 ?余弦定理 ? 三边 ?

例1.填空: ① 在?ABC中,已知a 2 ? b2 ? c2 ? ab, 则C ?

? 3
?
2? 3

② 在?ABC中,若sin A : sin B : sin C ? 3 : 2 : 4, 则cosC ? ③ 在?ABC中,若(a ? c ? b ) tanB ? 3ac, 则B ?
2 2 2

1 4

?
3



例2.在 ?ABC中
① 已知a ? 2 2, b ? 2 3, A ? 450.求c, B, C.

② 已知A ? 450,a ? 2.b ? 2.求B.

10 3 ③ 已知A ? 60 ,a ? 4.b ? .求B. 3 方法小结: 已知两边及其中一边的对角,解三角形时
0

①既可以先用正弦定理求出另一边的对角,再求第三边和 第三个角;也可以先用余弦定理求出第三边,再求另两角 . ②解的个数:可能有两解,可能有一解,也可能有无解.

二、运用正、余弦定理求三角形的面积
三角形面积公式除前述两种形式外,还有以下形式:
abc 3.S ? (其中,R为三角形ABC 外接圆的半径). 4R r (a ? b ? c) 4.S ? (其中,r为三角形ABC 内切圆的半径). 2

5.S ? p( p ? a)( p ? b)( p ? c) (海伦—秦九韶公式).
2 在 ? ABC 中 , a ? 3 , b ? 5 , cos C 是方程 10 x ? 29x ? 21 ? 0的根, 例3.

求?ABC的面积.

例4. 在?ABC 中,若AB ? 2, BC ? 5, S?ABC ? 4, 求sin B 的值.
2

三、运用正、余弦定理判断三角形的形状
⒈ ?ABC中,若A为直角,则a 2 ? b2 ? c 2 ;

若A为若角,则a 2 ? b2 ? c 2 ; 若A为钝角,则a 2 ? b2 ? c 2 .
⒉三角形的分类:按边分或按角分,分类结果怎样? 例5.若把直角三角形的三边增加同样长度,试判断所得三 角形的形状. 例6.在△ABC中, 若b cos B ? c cosC ? a cos A, 试判断?ABC的形状. 例7.锐角三角形三边的长度分别为2、3、x ,试求 x 的取 值范围.

三、综合运用 例8(09天津理) 在?ABC中,BC ? 5, AC ? 3,sinC ? 2 sin A.
(1)求AB的值;( 2 )求 sin (2A - )的值. 4

?

例9.在?ABC中,BC ? a, AC ? b, 且a, b是方程x2 ? 2 3x ? 2 ? 0.
的两根, 2 cos(A ? B) ? 1. (1)求角C的度数; (2)求AB的长; (3)求?ABC的面积.

A 2 5 cos ? , AB ? AC ? 3. 例10. 在?ABC中, 2 5 ( 1 )求?ABC的面积;( 2 )若b ? c ? 6,求a的值.

课堂练习2.
1.设2a ? 1, a,2a ?1是钝角三角形的三边, 求a的取值范围 .

2.在?ABC中,已知a ? b ? 4,a ? c ? 2b,且最大角为 1200,求三 边的长.

tan A a 2 ? c 2 ? b 2 3.在?ABC中,求证: ? 2 2 . 2 tan B b ? c ? a
2

3 4.?ABC中,已知b ? ac且 cos B ? . 4 1 1 3 ( 1 )求 ? 的值;( 2 )设 BA ? BC ? ,求a ? c的值. t an A t anC 2


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