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河北省石家庄市2016-2017学年高一上学期期末数学试卷 Word版含答案


2016-2017 学年河北省石家庄市高一(上)期末数学试卷
一、选择题(共 13 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.已知集合 A={x|2≤2x≤4},B={x|0<log2x<2},则 A∪B=( A.[1,4] B.[1,4) C.(1,2) 2.下列说法中正确的是( ) D.[1,2] )

A.奇函数 f(x)的图象经过(0,0)点 B.y=|x+1|+|x﹣1|(x∈(﹣4,4])是偶函数 C.幂函数 y=x 过(1,1)点

D.y=sin2x(x∈[0,5π])是以 π 为周期的函数 3.若函数 y=(a2﹣1)x 在 R 上是减函数,则有( A.|a|<1 B.1<|a|<2 C.1<|a|< D.|a|> ) )

4.三个数 a=0.32,b=log20.3,c=20.3 之间的大小关系是( A.a<c<b B.a<b<c C.b<a<c D.b<c<a 5.已知 α∈(0,π)且 A. B. C. D. = + ,且| ,则 cosα 的值为(



6.△ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 1,2 ( A.1 ) B.2 C. D.

|=|

|,则

?

=

7.为了得到函数 y=sin(2x﹣ ( )

)的图象,只需把函数 y=sin2x 的图象上所有的点

A.向左平行移动 C.向左平行移动

个单位长度 B.向右平行移动 个单位长度 D.向右平行移动

个单位长度 个单位长度

8.已知向量 , 不共线,且向量 =λ + , 实数 λ 的值为( A.1 )

= +(2λ﹣1) ,若 与 反向,则

B.﹣ C.1 或﹣ D.﹣1 或﹣

-1-

9.设 f(x)= >的值域是(

﹣ ,若规定<x>表示不小于 x 的最小整数,则函数 y=<f(x) ) C.{﹣1,1} D.{﹣1,0,1} 与 =λ 的夹角为 30°, 与 +μ ,(λ,μ∈R)则

A.{0,1} B.{0,﹣1}

10.如图所示,平面内有三个向量 的夹角为 90°,且| ( ) |=2,|

, , ,其中 |=2 ,若

|=2,|

A.λ=4,μ=2

B.λ=4,μ=1

C.λ=2,μ=1

D.λ=2,μ=2

11.已知函数 f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),在曲线 y=f(x)与直线 y=1 的交点中, 若相邻交点距离的最小值为 A. B. C.π D.2π ,若方程 f(x)=a 有四个不同的解 x1,x2, 的值为( ) ,则 f(x)的最小正周期为( )

12.已知函数 f(x)= x3,x4,且 x1<x2<x3<x4,则 x1+x2+ A.0 B.﹣1 C.1 D.2

13.已知函数 f(x)=

,若方程 f(x)=a 有四个不同的解

x1,x2,x3,x4,且 x1<x2<x3<x4,则 x3(x1+x2)+ A.(﹣1,+∞) B.(﹣1,1) C.(﹣∞,1)

的取值范围为( D.[﹣1,1]



二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 14.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(﹣x)=﹣f(x),f(x+2)=f(x),当 x∈ (0,1)时,f(x)=x,则 f(2011.5)= .

-2-

15.已知函数 f(x)=2x+ x﹣5 在区间(n,n+1)(n∈N+)内有零点,则 n= 16.已知向量 =(6,2)与 =(﹣3,k)的夹角是钝角,则 k 的取值范围是 17.计算: 18. = 的值等于 . .

. .

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 19.(10 分)已知集合 A={x|x2﹣3x﹣10<0},B={x|m+1≤x≤2m﹣1}. (1)当 m=3 时,求集合(?UA)∩B; (2)若 A∩B=B,求实数 m 的取值范围. 20.(12 分)已知函数 f(x)=2cos2ωx+2sinωxcosωx(ω>0)的最小正周期为 π. (1)求 f( )的值;

(2)求函数 f(x)的单调递增区间. 21.(12 分)已知函数 f(x)=loga(ax﹣1)(a>0,且 a≠1). (1)求函数 f(x)的定义域; (2 若函数 f(x)的函数值大于 1,求 x 的取值范围. 22. (12 分)如图△ABC,点 D 是 BC 中点, =b. (1)以 a,b 为基底表示向量 (2)若 =λ , . =2 ,CF 和 AD 交于点 E,设 =a,

,求实数 λ 的值.

23.(12 分)如图,点 A,B 是单位圆 O 上的两点,A,B 点分别在第一,而象限, 点 C 是圆 O 与 x 轴正半轴的交点,若∠COA=60°,∠AOB=α,点 B 的坐标为(﹣ , ). (1)求 sinα 的值; (2)已知动点 P 沿圆弧从 C 点到 A 点匀速运动需要 2 秒钟,求动点 P 从 A 点开始
-3-

逆时针方向作圆周运动时,点 P 的纵坐标 y 关于时间 t(秒)的函数关系式.

24.(12 分)定义在区间 D 上的函数 f(x),如果满足:对任意 x∈D,都存在常 数 M≥0,有|f(x)|≤M,则称 f(x)是区间 D 上有界函数,其中 M 称为 f(x) 上的一个上界,已知函数 g(x)=log 为奇函数.

(1)求函数 g(x)在区间[ , ]上的所有上界构成的集合; (2)若 g(1﹣m)+g(1﹣m2)<0,求 m 的取值范围.

2016-2017 学年河北省石家庄市高一(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 13 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.已知集合 A={x|2≤2x≤4},B={x|0<log2x<2},则 A∪B=( A.[1,4] B.[1,4) C.(1,2) D.[1,2] )

【考点】交集及其运算;并集及其运算. 【分析】求出 A 与 B 中不等式的解集分别确定出 A 与 B,找出两集合的并集即可. 【解答】解:由 A 中不等式变形得:21≤2x≤22, 解得:1≤x≤2,即 A=[1,2], 由 B 中不等式变形得:log21=0<log2x<2=log24, 解得:1<x<4,即 B=(1,4), 则 A∪B=[1,4), 故选:B. 【点评】此题考查了并集及其运算,熟练掌握并集的定义是解本题的关键.

-4-

2.下列说法中正确的是(



A.奇函数 f(x)的图象经过(0,0)点 B.y=|x+1|+|x﹣1|(x∈(﹣4,4])是偶函数 C.幂函数 y=x 过(1,1)点

D.y=sin2x(x∈[0,5π])是以 π 为周期的函数 【考点】函数奇偶性的判断. 【分析】A,奇函数 f(x)= 的图象不经过(0,0)点,; B,y=|x+1|+|x﹣1|(x∈(﹣4,4])的定义域不关于原点对称,不是偶函数; C,幂函数 y=x 过(1,1)点,正确;

D,y=sin2x(x∈[0,5π])不满足 f(x+π)=f(x),不是以 π 为周期的函; 【解答】解:对于 A,奇函数 f(x)= 的图象不经过(0,0)点,故错; 对于 B,y=|x+1|+|x﹣1|(x∈(﹣4,4])的定义域不关于原点对称,不是偶函数, 故错; 对于 C,幂函数 y=x 过(1,1)点,正确;

对于 D,y=sin2x(x∈[0,5π])不满足 f(x+π)=f(x),不是以 π 为周期的函, 故错; 故选:C 【点评】本题考查了命题真假的判断,涉及到了函数的性质,属于基础题.

3.若函数 y=(a2﹣1)x 在 R 上是减函数,则有( A.|a|<1 B.1<|a|<2 C.1<|a|< 【考点】函数单调性的性质. 【分析】令 0<a2﹣1<1,解出 a 的范围. D.|a|>



x 【解答】 解: ∵函数 y= (a2﹣1) 在 R 上是减函数, ∴0<a2﹣1<1, ∴1<a2<2. ∴

1<|a|< 故选 C.



【点评】本题考查了指数函数的性质,一元二次不等式的解法,属于基础题.
-5-

4.三个数 a=0.32,b=log20.3,c=20.3 之间的大小关系是( A.a<c<b B.a<b<c C.b<a<c D.b<c<a 【考点】指数函数单调性的应用.



【分析】将 a=0.32,c=20.3 分别抽象为指数函数 y=0.3x,y=2x 之间所对应的函数值, 利用它们的图象和性质比较,将 b=log20.3,抽象为对数函数 y=log2x,利用其图象 可知小于零.最后三者得到结论. 【解答】解:由对数函数的性质可知:b=log20.3<0, 由指数函数的性质可知:0<a<1,c>1 ∴b<a<c 故选 C 【点评】本题主要通过数的比较,来考查指数函数,对数函数的图象和性质.

5.已知 α∈(0,π)且 A. B. C. D.

,则 cosα 的值为(



【考点】两角和与差的余弦函数. 【分析】 根据同角的三角形关系求出 sin (α+ 利用两角差的余弦公式计算即可. 【解答】解:∵α∈(0,π), ∴α+ ∵ ∴sin(α+ ∈( , , )= , ﹣ )=cos(α+ )cos +sin(α+ )sin = × + × ), = , ) 再根据 cosα=cos (α+ ﹣ ) ,

∴cosα=cos(α+ = ,

故选:C. 【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式,培养了学生 的转化能力和计算能力,属于基础题.
-6-

6.△ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 1,2 ( A.1 ) B.2 C. D.

=

+

,且|

|=|

|,则

?

=

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】根据向量加法的平行四边形法则,知 O 是 BC 的中点,由△ABC 的外接圆 的圆心为 O,知 BC 是圆 O 的直径,从而求得 AB⊥AC,另由| ABC=60°,故利用向量数量积的定义可以求得 【解答】解:∵△ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 1,2 ∴O 是 BC 的中点,且 BC 是圆 O 的直径, ∴AB⊥AC,AO=1,BC=2, ∵| |=| |, = + , |=| |,可得∠

∴AB=1,∴∠ABC=60°, ∴ ? =1×2×cos60°=1,

故选 A. 【点评】此题是个基础题.考查向量在几何中的应用,以及直角三角形有关的性 质,同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力.

7.为了得到函数 y=sin(2x﹣ ( )

)的图象,只需把函数 y=sin2x 的图象上所有的点

A.向左平行移动 C.向左平行移动

个单位长度 B.向右平行移动 个单位长度 D.向右平行移动

个单位长度 个单位长度

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】由条件根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论. 【解答】解:把函数 y=sin2x 的图象向右平移 ﹣ )=sin(2x﹣ )的图象, 个单位长度,可得函数 y=sin2(x

故选:D.

-7-

【点评】本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题.

8.已知向量 , 不共线,且向量 =λ + , 实数 λ 的值为( A.1 )

= +(2λ﹣1) ,若 与 反向,则

B.﹣ C.1 或﹣ D.﹣1 或﹣

【考点】平行向量与共线向量. 【分析】由题意存在实数 k 使 λ + =k[ +(2λ﹣1) ],k<0,由向量 , 不共线, 得 2λ2﹣λ﹣1=0,由此能求出结果. 【解答】解:∵向量 , 不共线,且向量 =λ + , ∴存在实数 k 使 =k (k<0), 于是 λ + =k[ +(2λ﹣1) ]. 整理得 λ + =k +(2λk﹣k) . 由于向量 , 不共线,所以有 整理得 2λ2﹣λ﹣1=0, 解得 λ=1 或 λ=﹣ . 又因为 k<0,所以 λ<0, 故 λ=﹣ . 故选:B. 【点评】本题考查实数值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量共线 的性质的合理运用. , = +(2λ﹣1) , 与 反向,

9.设 f(x)= >的值域是(

﹣ ,若规定<x>表示不小于 x 的最小整数,则函数 y=<f(x) ) C.{﹣1,1} D.{﹣1,0,1}

A.{0,1} B.{0,﹣1} 【考点】函数的值域.

【分析】先求出 y 的值域,再根据新的定义“<x>表示大于或等于 x 的最小整数” 的意义,再利用 x≤<x><x+1 即可解出本题.
-8-

【解答】解:f(x)= ∵3x+1>1, ∴0< ∴﹣1< ∴﹣ < ﹣ <1, <0, < ,

﹣ =

﹣ = ﹣



∵规定<x>表示不小于 x 的最小整数, ∴x≤<x><x+1, ∴﹣1≤<f(x)><1 ∴函数 y=<f(x)>的值域为{0,﹣1}, 故选:B 【点评】 本题是新定义问题, 解题的关键在于准确理解新的定义“<x>表示大于或 等于 x 的最小整数”的意义,得到 x≤<x><x+1,属于难题.

10.如图所示,平面内有三个向量 的夹角为 90°,且| ( ) |=2,|

, , ,其中 |=2 ,若

与 =λ

的夹角为 30°, 与 +μ ,(λ,μ∈R)则

|=2,|

A.λ=4,μ=2

B.λ=4,μ=1

C.λ=2,μ=1

D.λ=2,μ=2

【考点】平面向量的基本定理及其意义. 【分析】以 OC 为对角线,以 OA,OB 方向为邻边作平行四边形,求出平行四边形 OA 方向上的边长即可得出答案.以 OC 为对角线,以 OA,OB 方向为邻边作平行 四边形,求出平行四边形 OA 方向上的边长即可得出答案. 【解答】解:过点 C 作 CE∥OB 交 OA 的延长线于点 E,过点 C 作 CF∥OA 交 OB 的 延长线于点 F,则 = + .

∴∠OCE=∠COF=90°,∵∠COE=30°,∴CE= OE,
-9-

∵CE2+OC2=OE2, ∴CE=2,OE=4. ∵OA=2, ∴λ= =λ +μ = ,(λ,μ∈R). =1,

=2,μ=

故选:C

【点评】本题考查了平面向量的基本定理,向量运算的几何意义,属于基础题.

11.已知函数 f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),在曲线 y=f(x)与直线 y=1 的交点中, 若相邻交点距离的最小值为 A. B. C.π D.2π ,则 f(x)的最小正周期为( )

【考点】三角函数的周期性及其求法. 【分析】化 f(x)为正弦型函数,令 f(x)=1 求出 x 的值,利用曲线 y=f(x)与 直线 y=1 的交点中相邻交点距离的最小值为 求出 ω 和 f(x)的最小正周期 T. 【解答】解:函数 f(x)=sinωx+cosωx= 令 f(x)=1,得 sin(ωx+ ∴ωx+ 或 ωx+ = = +2kπ,k∈Z, +2kπ,k∈Z; , )= , sin(ωx+ ), ,得出 ω|x2﹣x1|= ﹣ ,从而

又在曲线 y=f(x)与直线 y=1 的交点中,相邻交点距离的最小值为 ∴ω|x2﹣x1|= 即 ω= , ﹣ ,

解得 ω=2, ∴f(x)的最小正周期为 T= =π.
- 10 -

故选:C. 【点评】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题,是基础题目.

12.已知函数 f(x)= x3,x4,且 x1<x2<x3<x4,则 x1+x2+ A.0 B.﹣1 C.1 D.2

,若方程 f(x)=a 有四个不同的解 x1,x2, 的值为( )

【考点】根的存在性及根的个数判断. 【分析】作出函数 f(x),得到 x1,x2 关于 x=﹣1 对称,x3x4=1;化简条件,利用 数形结合进行求解即可. 【解答】解:作函数 f(x)的图象如右, ∵方程 f(x)=a 有四个不同的解 x1,x2,x3,x4,且 x1<x2<x3<x4, ∴x1,x2 关于 x=﹣1 对称,即 x1+x2=﹣2, 0<x3<1<x4, 则|log2x3|=|log2x4|, 即﹣log2x3=log2x4, 则 log2x3+log2x4=0 即 log2x3x4=0 则 x3x4=1; x1+x2+ 故选:B. =﹣1.

【点评】本题考查分段函数的运用,主要考查函数的单调性的运用,运用数形结 合的思想方法是解题的关键.
- 11 -

13.(2016 秋?石家庄期末)已知函数 f(x)=

,若方程 f

(x)=a 有四个不同的解 x1,x2,x3,x4,且 x1<x2<x3<x4,则 x3(x1+x2)+ 取值范围为( A.(﹣1,+∞) ) B.(﹣1,1) C.(﹣∞,1) D.[﹣1,1]



【考点】根的存在性及根的个数判断;函数的图象. 【分析】作出函数 f(x),得到 x1,x2 关于 x=﹣1 对称,x3x4=1;化简条件,利用 数形结合进行求解即可. 【解答】解:作函数 f(x)的图象如右, ∵方程 f(x)=a 有四个不同的解 x1,x2,x3,x4,且 x1<x2<x3<x4, ∴x1,x2 关于 x=﹣1 对称,即 x1+x2=﹣2, 0<x3<1<x4, 则|log2x3|=|log2x4|, 即﹣log2x3=log2x4, 则 log2x3+log2x4=0 即 log2x3x4=0 则 x3x4=1; 当|log2x|=1 得 x=2 或 , 则 1<x4<2; <x3<1; 故 x3(x1+x2)+ 则函数 y=﹣2x3+ =﹣2x3+ , <x3<1;

,在 <x3<1 上为减函数,

则故 x3= 取得最大值,为 y=1, 当 x3=1 时,函数值为﹣1. 即函数取值范围是(﹣1,1).

- 12 -

故选:B.

【点评】本题考查分段函数的运用,主要考查函数的单调性的运用,运用数形结 合的思想方法是解题的关键.

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 14.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(﹣x)=﹣f(x),f(x+2)=f(x),当 x∈ (0,1)时,f(x)=x,则 f(2011.5)= 【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】求出函数为奇函数,再求出函数的周期为 2,问题得以解决. 【解答】解:∵f(﹣x)=﹣f(x), ∴函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∵f(x+2)=f(x), ∴函数 f(x)的周期为 2, ∴f(2011.5)=f(2×1006﹣0.5)=f(﹣0.5)=﹣f(0.5)=﹣0.5, 故答案为:﹣0.5. 【点评】本题考查函数周期、对称、奇偶性等性质问题,属中等题. ﹣0.5 .

15.已知函数 f(x)=2x+ x﹣5 在区间(n,n+1) (n∈N+)内有零点,则 n= 【考点】二分法的定义.

2 .

【分析】函数零点左右两边函数值的符号相反,根据函数在一个区间上两个端点 的函数值的符号确定是否存在零点.

- 13 -

【解答】解:由 f(2)=4+ ﹣5=﹣ <0,f(3)=8+ ﹣5>0 及零点定理知, f(x)的零点在区间(2,3)上,两端点为连续整数, ∴零点所在的一个区间(n,n+1)(k∈Z)是(2,3) ∴n=2, 故答案为:2. 【点评】本题主要考查函数零点的概念、函数零点的判定定理与零点定理的应用, 本题的解题的关键是检验函数值的符号,属于容易题.

16.已知向量 =(6,2)与 =(﹣3,k)的夹角是钝角,则 k 的取值范围是 <9 且 k≠﹣1} .

{k|k

【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 【分析】由题意得 ? <0,求出 k 的取值范围,并排除反向情况. 【解答】解:∵向量 =(6,2)与 =(﹣3,k)的夹角是钝角, ∴ ? <0, 即 6×(﹣3)+2k<0, 解得 k<9; 又 6k﹣2×(﹣3)=0,得 k=﹣1, 此时 与 反向,应去掉, ∴k 的取值范围是{k|k<9 且 k≠﹣1}; 故答案为:{k|k<9 且 k≠﹣1}. 【点评】本题考查了向量夹角的求解问题,解题时转化为数量积小于 0,注意排除 反向的情形,是基础题.

17.计算: 【考点】三角函数的化简求值.

=



【分析】利用倍角公式、诱导公式即可得出. 【解答】 解: 原式= = = = .

- 14 -

故答案为:



【点评】本题考查了倍角公式、诱导公式,属于基础题.

18.(2016 秋?石家庄期末) 【考点】三角函数中的恒等变换应用.

的值等于



【分析】切化弦,利用差角的正弦公式,即可得出结论. 【 解 = 故答案为: . 答 】 解 : = = = = ﹣ .

【点评】本题考查差角的正弦公式,考查学生的技术能力,属于中档题.

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 19.(10 分)(2016 秋?石家庄期末)已知集合 A={x|x2﹣3x﹣10<0},B={x|m+1 ≤x≤2m﹣1}. (1)当 m=3 时,求集合(?UA)∩B; (2)若 A∩B=B,求实数 m 的取值范围. 【考点】集合的包含关系判断及应用;交、并、补集的混合运算. 【分析】(1)求出 A 中不等式的解集确定出 A,把 m 的值代入 B 确定出 B,求出 A 补集与 B 的交集即可; (2)由题意得到 B 为 A 的子集,分 B 为空集与不为空集两种情况求出 m 的范围 即可. 【解答】解:(1)集合 A={x|x2﹣3x﹣10<0}={x|(x+2)(x﹣5)<0} ={x|﹣2<x<5},…(2 分) 当 m=3 时,B={x|4≤x≤5};…(3 分) 所以?RA={x|x≤﹣2 或 x≥5};…(4 分) 所以(?RA)∩B={x|x=5}={5};… (2)因为 A∩B=B,所以 B? A;… ①当 B=?时,m+1>2m﹣1,解得 m<2,此时 B? A;…(7 分)
- 15 -

②当 B≠?时,应满足



解得 2≤m<3,此时 B? A;…(9 分) 综上所述,m 的取值范围是{m|m<3}.…(10 分) 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的 关键.

20.(12 分)(2016 秋?石家庄期末)已知函数 f(x)=2cos2ωx+2sinωxcosωx(ω >0)的最小正周期为 π. (1)求 f( )的值;

(2)求函数 f(x)的单调递增区间. 【考点】正弦函数的图象;三角函数中的恒等变换应用. 【分析】(1)利用三角恒等变换化简函数的解析式,再利用正弦函数的周期性求 得 ω 的值,可得函数的解析式. (2)利用正弦函数的单调性求得函数 f(x)的单调递增区间. f x) =2cos2ωx+2sinωxcosωx=cos2ωx+sin2ωx+1= 【解答】 解: (1) 函数 ( +1, 因为 f(x)最小正周期为 π,所以 所以 f(x)= f( )= sin(2x+ + ≤2x+ )+1, )+1= ≤2kπ+ (sin cos +cos sin )+1= , . =π,解得 ω=1, sin (2ωx+ )

sin(

(2)由 2kπ﹣

,可得 kπ﹣ ,kπ+

≤x≤kπ+

所以,函数 f(x)的单调递增区间为[kπ﹣

],k∈Z.

【点评】本题主要考查三角恒等变换,正弦函数的周期性、单调性,属于基础题.

21.(12 分)(2016 秋?石家庄期末)已知函数 f(x)=loga(ax﹣1)(a>0,且 a≠1).

- 16 -

(1)求函数 f(x)的定义域; (2 若函数 f(x)的函数值大于 1,求 x 的取值范围. 【考点】对数函数的图象与性质. 【分析】(1)利用真数大于 0,求函数 f(x)的定义域; (2)若函数 f(x)的函数值大于 1,分类讨论求 x 的取值范围. 【解答】解:(1)由题意可知 ax﹣1>0,ax>1…(2 分) 当 a>1 时,x>0,所以 f(x)的定义域为(0,+∞)…(4 分) 当 0<a<1 时,x<0,所以 f(x)的定义域为(﹣∞,0)… (2)loga(ax﹣1)>1, 当 a>1 时,ax﹣1>a,x>loga(a+1),…(8 分) 当 0<a<1 时,ax﹣1<a,x>loga(a+1),…(10 分) 因为 f(x)的定义域为(﹣∞,0),所以 0>x>loga(a+1)…(12 分) 【点评】本题考查函数的定义域,考查不等式的解法,考查对数函数的性质,正 确转化是关键.

22.(12 分)(2016 秋?石家庄期末)如图△ABC,点 D 是 BC 中点, CF 和 AD 交于点 E,设 =a, =b. , .

=2



(1)以 a,b 为基底表示向量 (2)若 =λ

,求实数 λ 的值.

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】(1)根据向量的加减的几何意义即可求出, (2)根据向量共线定理即可求出. 【解答】解:(1)因为点 D 是 BC 中点, 所以 2 = 所以 = + ,即 ﹣ =2 ﹣ , =2 ﹣ ,

=2 ﹣ ﹣

- 17 -

(2)



=



+

)=

+



因为点 C,E,F 共线,所以

+ λ=1,所以 λ= .

【点评】本题考查平面向量的基本定理及其意义,考查学生的计算能力,比较基 础.

23.(12 分)(2016 秋?石家庄期末)如图,点 A,B 是单位圆 O 上的两点,A, B 点分别在第一, 而象限, 点 C 是圆 O 与 x 轴正半轴的交点, 若∠COA=60°, ∠AOB=α, 点 B 的坐标为(﹣ , ). (1)求 sinα 的值; (2)已知动点 P 沿圆弧从 C 点到 A 点匀速运动需要 2 秒钟,求动点 P 从 A 点开始 逆时针方向作圆周运动时,点 P 的纵坐标 y 关于时间 t(秒)的函数关系式.

【考点】在实际问题中建立三角函数模型. cos∠COB= 【分析】 (1 ) 利用点 B 的坐标, 根据三角函数的定义可知 sin∠COB= , ﹣ ,进而可求 sinα=sin(∠COB﹣60°)= ;

(2)根据动点 P 沿圆弧从 C 点到 A 点匀速运动至少需要 2 秒钟,∠COA=60°,可 求 ω= ,进而可求点 P 到 x 轴的距离 d 关于时间 t 的函数关系式.

【解答】解:(1)∵点 B 的坐标为(﹣ , ), ∴sin∠COB= ,cos∠COB=﹣ ,…(2 分) ∴sinα=sin(∠COB﹣60°)= …

(Ⅱ)∵动点 P 沿圆弧从 C 点到 A 点匀速运动需要 2 秒钟,∠COA=60° ∴ω= …(8 分)
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∴点 P 的纵坐标 y 关于时间 t(秒)的函数关系式为 y=sin( (12 分)

t+

)(t≥0)…

【点评】本题是基础题,考查三角函数的定义,解答变换的技巧,考查函数模型 的构建,属于中档题.

24.(12 分)(2016 秋?石家庄期末)定义在区间 D 上的函数 f(x),如果满足: 对任意 x∈D,都存在常数 M≥0,有|f(x)|≤M,则称 f(x)是区间 D 上有界函 数,其中 M 称为 f(x)上的一个上界,已知函数 g(x)=log (1)求函数 g(x)在区间[ , ]上的所有上界构成的集合; (2)若 g(1﹣m)+g(1﹣m2)<0,求 m 的取值范围. 【考点】函数奇偶性的性质;对数函数的图象与性质. 【分析】(1)利用奇函数的性质,求出函数的解析式,利用单调性求函数 g(x) 在区间[ , ]上的所有上界构成的集合; (2)若 g(1﹣m)+g(1﹣m2)<0,有﹣1<m2﹣1<1﹣m<1,即可求 m 的取值 范围. 【解答】解:(1)∵函数 g(x)=log ∴g(﹣x)=﹣g(x), 即 log ∴ = =﹣log …(1 分) 为奇函数. 为奇函数.

,1﹣x2=1﹣a2x2

得出;a=±1,而 a=1 时不符合题意, 故 a=﹣1,…(3 分) 函数 g(x)=log 分) g( )=﹣1,g( )=﹣2,|g(x)|≤2 所以 g(x)在区间[ , ]上的所有上界构成的集合[2,+∞)… (Ⅱ)g(1﹣m)+g(1﹣m2)<0,g(1﹣m)<g(m2﹣1),…(7 分)
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﹣1)是减函数,在区间[ , ]上是单调递减,…(4

g(x)为减函数,…(8 分) 所以有﹣1<m2﹣1<1﹣m<1, 解得 0<m<1, 故不等式的解集{m|0<m<1}.…(12 分) 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性,考查学生解不等式的能力,正确转化 是关键.

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