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2019学年高中数学第2章参数方程二第二课时双曲线抛物线的参数方程课件新人教A版选修_图文


第二课时

圆锥曲线的参数方程
双曲线、抛物线的参数方程

















1.知道双曲线的参数方程,参数 的意义,并会用双曲线的参数方 程解决简单问题. 2.知道抛物线的参数方程,参数 的意义,并会用抛物线的参数方 程解决简单问题.

重点:双曲线、抛物线的参数方 程的概念及其与普通方程间的 互化. 难点:双曲线、抛物线的参数方 程在解题中的应用.

01 课前 自主梳理

02 课堂 合作探究

03 课后 巩固提升

课时作业

[自主梳理]
1.双曲线的参数方程 x2 y2 (1)中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线 2- 2=1 a b π 3π 数 φ 的取值范围为 φ∈[0,2π)且 φ≠ ,φ≠ . 2 2 y2 x2 (2)中心在原点,焦点在 y 轴上的双曲线 2- 2=1 a b
? ?x=btan φ, ? ? ?y=asec φ. 的参数方程是_____________ ? ?x=asec φ, ? ? ?y=btan φ 规定参 的参数方程是___________

2.抛物线的参数方程 (1)抛物线 y2=2px
2 ? ?x=2pt , ? t∈R ? ?y=2pt 的参数方程为__________________.

(2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.

[双基自测]
? ?x=sec θ, 1.双曲线? ? ?y=tan θ

(θ 为参数)的渐近线方程为( B.y=± x 2 D.x=± 2

)

A.y=± 2x 1 C.y=± x 2

解析:∵x2-y2=sec2θ-tan2θ=1, ∴曲线为等轴双曲线. 易知渐近线方程为 y=± x.
答案:B

1 ? ?x=1- t , 2.参数方程? ?y=1- 1 t2 ? A.直线(不含点(1,1)) B.以(1,1)为圆心的圆 C.以(1,1)为顶点的抛物线 D.不含顶点(1,1)的抛物线

(t 为参数)表示的曲线是(

)

解析:消去参数 t 得普通方程:y=-(x-1)2+1, 1 又 x=1- ≠1, t ∴曲线不含点(1,1),故选 D.

答案:D

1 ? ?x=t+ t , 3.方程? ?y=t-1 t ?

(t 为参数)表示的曲线的焦距为________.

解析:把参数方程平方化为 1 1 2 2 x =t + 2+2,y =t + 2-2, t t
2 2 2 2 x y ∴x2-y2=4 化为标准方程为 - =1, 4 4

这是等轴双曲线 a2=b2=4, ∴c2=a2+b2=8,∴焦距 2c=2×2 2=4 2.

答案:4 2

? ?x=4t, 4.抛物线? 2 ? y = 1 - 4 t ?

(t 为参数)在 x 轴上截得的弦长是________.

1 1 1 解析:令 y=0,得 t=± .当 t= 时,x=2;当 t=- 时,x=-2,∴抛物线与 x 轴 2 2 2 交于点(2,0),(-2,0),即弦长是 4.

答案:4

探究一 双曲线、抛物线参数方程的基本问题 [例 1]
? ?x=2 3tan (1)双曲线? ? ?y=6sec α

α,

(α 为参数)的焦点坐标是________.

?x=tan t, ? (2)将方程? 1-cos 2t y= ? ? 1+cos 2t

化为普通方程是________.

[解析]

? ?x=2 3tan (1)将? ? ?y=6sec α

α,

y2 x2 化为 - =1, 36 12

可知双曲线焦点在 y 轴,且 c= 36+12=4 3, 故焦点坐标是(0,± 4 3). 1-cos 2t 2sin2t 2 (2)由 y= = 2 =tan t, 1+cos 2t 2cos t 将 tan t=x 代入上式,得 y=x2,即为所求方程.

[答案] (1)(0,± 4 3)

(2)y=x2

1.解决此类问题要熟练掌握双曲线与抛物线的参数方程,特别是将参数 方程化为普通方程,还要明确参数的意义. 2.对双曲线的参数方程,如果 x 对应的参数形式是 sec φ,则焦点在 x 轴 上;如果 y 对应的参数形式是 sec φ,则焦点在 y 轴上.

2 ? x = 2 pt , ? 1.(1)已知抛物线的参数方程为? ? ?y=2pt

(t 为参数),其中 p>0,焦点为 F,准线

为 l.过抛物线上一点 M 作 l 的垂线,垂足为 E.若|EF|=|MF|,点 M 的横坐标是 3, 则 p=________.
? ?x=2tan φ, (2)双曲线? ? ?y=2sec φ

(φ 为参数)的离心率是________,焦点坐标是________.

解析:(1)根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是 y2=2px,把 M 的横坐标 带入方程. 所以 y2 M=6p,所以
? p E?-2,± ? ? ?p ? 6p?,F? ,0?, ? ?2 ?

p 所以 +3= 2

p2+6p,

所以 p2+4p-12=0,解得 p=2(负值舍去).
? ?x=2tan φ, (2)由? ? ?y=2sec φ

(φ 为参数)化为普通方程为

y2 x2 - =1, 4 4 ∴离心率 e= 2,焦点坐标为(0,± 2 2).

答案:(1)2

(2) 2

(0,± 2 2)

探究二 [例 2]
[解析]

双曲线参数方程的应用

已知圆 C:x2+(y-2)2=1 上一点 P,与双曲线 x2-y2=1 上一点 Q,求 P,Q
双曲线 x -y =1
2 2

两点距离的最小值.

? ?x=sec θ, 的参数方程为? ? ?y=tan θ

(θ 为参数),

则 Q(sec θ,tan θ), 又圆心 C(0,2),则 |CQ|2=sec2θ+(tan θ-2)2=(tan2θ+1)+(tan θ-2)2=2(tan θ-1)2+3, π 当 tan θ=1,即 θ= 时, 4 |CQ|2 取最小值 3,此时有|CQ|min= 3. 又因为|PC|=1,所以|PQ|min= 3-1.

? ?x=asec θ, 1.用? ? ?y=btan θ

(θ 为参数)研究双曲线问题时,双曲线上的点的坐标可记作

(asec θ, btan θ). 这样可以将两个变量 x, y 的关系简化为一个变量 θ 的解析式. 此 外,我们可以利用 θ 的三角函数进行变形,使解决问题的途径更加广泛. 2.本类型题可用圆心到双曲线的距离最小值减去半径的方法,即求 x2+?y-2?2-1= y2+1+?y-2?2-1, 再配方求最小值. 配方法也是求最值的 常用方法.

2.如图,设 P 为等轴双曲线 x2-y2=1 上的一点,F1,F2 是两 个焦点,证明|PF1|· |PF2|=|OP|2.
证明:∵P 在双曲线 x2-y2=1 上, ∴设 P(sec φ,tan φ). ∵F1(- 2,0),F2( 2,0), ∴|PF1|= = ?sec φ+ 2?2+tan2φ

2sec2φ+2 2sec φ+1,

|PF2|= =

?sec φ- 2?2+tan2φ

2sec2φ-2 2sec φ+1. ?2sec2φ+1?2-8sec2φ=2sec2φ-1.

|PF1|· |PF2|=

∵|OP|2=sec2φ+tan2φ=2sec2φ-1, ∴|PF1|· |PF2|=|OP|2.

探究三 [例 3]
[证明]

抛物线参数方程的应用

直线 3x+2y-6=0 与抛物线 y2=2 3x 交于 A,B 两点,求证:OA⊥OB.
设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
? ?x=2 的参数方程为? ? ?y=2

抛物线 y2=2 3x -6=0,

3t2, 3t,

代入直线 3x+2y-6=0 得,6t2+4 3t

1 解得 t1= ,t2=- 3, 3 ∴x1=2 3t2 1= 2 ,y1=2 3t1=2, 3

x2=2 3t2 2=6 3,y2=2 3t2=-6, 即
? A? ? ? ? 2 ,2? ?,B(6 3,-6), 3 ?

→ → 2 ∴OA· OB= ×6 3-2×6=0, 3 ∴OA⊥OB.

求直线与圆锥曲线的交点坐标的技巧 (1)求直线与圆锥曲线的交点坐标时,用参数的方法可以把二元方程迅速化为一 元方程,从而很容易求出交点坐标. (2)本题还可用设而不求的方法,把直线方程与抛物线方程联立,得到关于 x 或 y 的一元二次方程,根据韦达定理,不解方程证明 x1x2+y1y2=0,从而证明出 OA⊥OB.

3.设 M 为抛物线 y2=2x 上的动点,给定点 M0(-1,0),点 P 分 M0M 的比为 2∶1, 求点 P 的轨迹方程.
解析:如图,设 M(2t2,2t),P(x,y), ∵P 分 M0M 的比为 2∶1, ? ?x=-1+2×2t =-1+4t , 3 1+ 2 ? ∴? ? 0+2×2t 4t y= = ? 3 1 + 2 ?
2 2 2

(t 为参数).

4 4 4 4 2 消去参数 t,得 y = x+ ,故点 P 的轨迹方程为 y = x+ . 3 9 3 9

极坐标与圆锥曲线方程的综合应用 [典例] (本题满分 10 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线
? ?x=tcos α, C1:? ? ?y=tsin α

(t 为参数,

t≠0),其中 0≤α<π.在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ =2sin θ,C3:ρ=2 3cos θ. (1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (2)若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求|AB|的最大值.

[解析]

(1)曲线 C2 的直角坐标方程为 x2+y2-2y=0,曲线 C3 的直角坐标方程为 x2+y2

-2 3x=0.……………………………………………………………………………… 2 分
2 2 ? ?x +y -2y=0, 联立? 2 2 ? ?x +y -2 3x=0,

? 3 x = , ? ? ?x=0, 2 解得? 或? ? ?y=0 ?y=3. ? 2 所以 C2 与
? C3 交点的直角坐标为(0,0)和? ? ?

3 3? ? , ?.……………………………………5 分 2 2?

(2)曲线 C1 的极坐标方程为 θ=α(ρ∈R, ρ≠0), 其中 0≤α<π.因此 A 的极坐标为(2sin α, α),B 的极坐标为(2 3cos α,α). ……………………………………………………8 分 所以|AB|=|2sin α-2 3cos
? ? π?? α|=4?sin?α- 3 ??. ? ? ??

5π 当 α= 时,|AB|取得最大值,最大值为 4. ………………………………………10 分 6

[规律探究] 极坐标方程和参数方程交汇是高考的热点,因为这样既考查了坐 标系的知识,又考查了参数方程的知识,还考查转化化归的数学思想方法 .

[随堂训练]
2 ? ?x=t -1, 1.曲线? ? ?y=2t+1

(t 为参数)的焦点坐标是( B.(0,1)

)

A.(1,0) C.(-1,0)

D.(0,-1)

解析:将参数方程化为普通方程(y-1)2=4(x+1),该曲线为抛物线 y2=4x 向左、 向上各平移一个单位得到,所以焦点为(0,1).

答案:B

? ?x=sin θ+cos 2.参数方程? ? cos θ ?y=sin θ·

θ,

(θ 为参数)表示的曲线为(

)

解析:将参数方程化为普通方程为 x2=1+2y, 1 2 1 则 y= x - , 2 2 1 1 又因 y=sin θcos θ= sin 2θ≤ ,故应选 C. 2 2

答案:C

? ?x= 3tan 3.双曲线? ? ?y=sec θ

θ,

(θ 为参数)的两条渐近线的倾斜角为________.

2 x 解析:将参数方程化为 y2- =1, 3

此时 a=1,b= 3, 1 3 设渐近线倾斜角为 α,则 tan α=± =± . 3 3 ∴α=30° 或 150° .

答案:30° 或 150°

人教A版数学 ·选修4-4

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