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2014高考数学二轮复习典型题专讲:函数、导数及其应用

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 2 1.(2013 济南模拟)函数 y=ln(2-x-x )的定义域是( C ) (A)(-1,2) (B)(-∞,-2)∪(1,+∞) (C)(-2,1) (D)[-2,1) 2 解析:由题意得 2-x-x >0, 2 即 x +x-2<0,解得-2<x<1. 故选 C. 2.(2013 年高考陕西卷)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( D ) 3 (A)y=x+1 (B)y=-x (C)y=错误!未找到引用源。 (D)y=x|x| 3 解析:y=x+1 是非奇非偶函数但为增函数,y=-x 是奇函数但为减函数,y=错误! 未找到引用源。 是奇函数,定义域上不单调,y=x|x|为奇函数也为增函数.故选 D. 3.已知 f(x)=错误!未找到引用源。,则 f(f(1))等于( D ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解析:因为 f(x)=错误!未找到引用源。 所以 f(1)=0,f(f(1))=3.故选 D. 4.(2013 西安一模)已知符号函数 sgn(x)=错误!未找到引用源。则函数 f(x)=sgn(ln x)-ln x 的零点个数为( C ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:依题意得 f(x)=sgn(ln x)-ln x=

令 f(x)=0 得 x=e,1,错误!未找到引用源。,所以函数有 3 个零点, 故选 C. 2 5.(2013 吉林模拟) 当 x∈ (1,2) 时 , 不等式 (x-1) <logax 恒成立, 则实数 a 的取值范围为 ( C ) (A)(2,3] (B)[ 4,+∞) (C)(1,2] (D)[2,4) 2 解析:令 y1=(x-1) ,y2=logax, ∵x∈(1,2)时,y1∈(0,1), 2 要使 (x-1) <logax 恒成立, 则错误!未找到引用源。 ∴1<a≤2,故选 C. 6.(2013 河北石家庄质检)牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同,假定保鲜时间 y 与储藏温 x 度 x 的关系为指数型函数 y=ka ,若牛奶在 0 ℃的冰箱中,保鲜时间约为 100 h,在 5 ℃的冰 箱中,保鲜时间约是 80 h,那么在 10 ℃时的保鲜时间是( C ) (A)49 h (B)56 h (C)64 h (D)76 h 解析:由题意知,错误!未找到引用源。 5 所以 k=100,a =错误!未找到引用源。, 10 则当 x=10 时,y=100×a =100×错误!未找到引用源。=64. 故选 C. |ln x| 7.函数 y=e -|x-1|的图象大致为( D )
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解析:由 y=e -|x-1|=错误!未找到引用源。 可以判断选项 D 符合. 4 8.若曲线 y=x 的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直,则 l 的方程为( A ) (A)4x-y-3=0 (B)x+4y-5=0 (C)4x-y+3=0 (D)x+4y+3=0 解析:切线 l 的斜率 k=4,设切点的坐标为(x0,y0), 则 k=4 错误!未找到引用源。=4,∴x0=1, ∴切点为(1,1),即 y-1=4(x-1), ∴4x-y-3=0.故选 A. 9.若 f(x)=错误!未找到引用源。是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围为( B ) (A)[-4,8] (B)[4,8) (C)(4,8) (D)(1,8) 1 解析:由题意可知,4-错误!未找到引用源。>0 且 4-错误!未找到引用源。+2≤a , 解得 4≤a<8.故选 B. 10.(2013 福州市高三第一学期期末质量检查)已知 g(x)为三次函数 f(x)=错误! 未找到引用 3 2 源。x +错误!未找到引用源。x -2ax(a≠0)的导函数,则它们的图象可能是( D )

|ln x|

解析:由已知得 g(x)=ax +ax-2a=a(x+2)(x-1), ∴g(x)的图象与 x 轴的交点坐标为(-2,0),(1,0),且-2 和 1 是函数 f(x)的极值点,故选 D. 2 11.已知 f(x)=aln x+错误!未找到引用源。x (a>0),若对任意两个不等的正实数 x1、x2 都有 错误!未找到引用源。≥2 恒成立,则 a 的取值范围是( A ) (A)[1,+∞) (B)(1,+∞) (C)(0,1) (D)(0,1] 解析:由于错误!未找到引用源。=k≥2 恒成立,所以 f'(x)≥2 恒成立.又 f'(x)=错误!未 2 2 找到引用源。+x,故错误!未找到引用源。+x≥2,又 x>0,所以 a≥-x +2x,而 g(x)=-x +2x 在 (0,+∞)上的最大值为 1,所以 a≥1.故选 A. 12.(2013 年高考重庆卷)设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f'(x),且函数 y=(1-x)f'(x) 的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( D )

2

(A)函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) (B)函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(1) (C)函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(-2) (D)函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(2) 解析:由图象可知,当 x<-2 时, y>0,1-x>0, 所以 f'(x)>0, 当-2<x<1 时,y<0,1-x>0, 所以 f'(x)<0, 当 1<x<2 时,y>0,1-x<0, 所以 f'(x)<0, 当 x>2 时,y<0,1-x<0, 所以 f'(x)>0. 所以函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(2).故选 D. 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.(2013 浙江嘉兴模拟)若 f(x)=错误!未找到引用源。 则 f(f(-2))= . 解析:∵f(-2)=|-2-1|=3, ∴f(3)=log33=1,即 f(f(-2))=1. 答案:1 14.设函数 f(x)的图象关于 y 轴对称,又已知 f(x)在(0,+∞)上为减函数,且 f(1)=0,则不等 式错误!未找到引用源。<0 的解集为 . 解析:因为函数 f(x)的图象关于 y 轴对称,所以该函数是偶函数,又 f(1)=0,所以 f(-1)=0,又 已知 f(x)在(0,+∞)上为减函数,所以 f(x)在(-∞,0)上为增函数,错误!未找到引用源。<0 可化为 xf(x)<0,所以当 x>0 时,解集为{x|x>1},当 x<0 时,解集为{x|-1<x<0}.综上可知,不 等式的解集为(-1,0)∪(1,+∞). 答案:(-1,0)∪(1,+∞) 15. 若直角坐标平面内两点 P,Q 满足条件:①P,Q 都在函数 f(x)的图象上;②P,Q 关于原点

对称,则称点对(P,Q)是函数 f(x)的一个“友好点对”(点对(P,Q)与点对(Q,P)为同一个“友 好点对”).已知函数 f(x)=错误!未找到引用源。则 f(x)的“友好点对”有 个. 解析:设 x<0, 2 则问题转化为关于 x 的方程(2x +4x+1)+错误!未找到引用源。=0, x 2 即 e =-x -2x-错误!未找到引用源。有几个负数解问题. x 2 记 y1=e ,y2=-(x+1) +错误!未找到引用源。, 当 x=-1 时,错误!未找到引用源。<错误!未找到引用源。, 所以函数 y1 的图象与 y2 的图象有两个交点(如图),且横坐标均为负数,故所求“友好点对” 共有 2 个.

答案:2 16.(2013 山东日照模拟)已知函数 f(x)=错误!未找到引用源。,g(x)=lo 错误!未找到引用 源。x,记函数 h(x)=错误!未找到引用源。则不等式 h(x)≥错误!未找到引用源。的解集 为 . 解析:记 f(x)与 g(x)的图象交点的横坐标为 x=x0, 而 f 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。<1=lo 错误!未 找到引用源。,

f(1)=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。>0=lo 错误!未找到引用源。1, ∴x0∈错误!未找到引用源。, 得 h(x)的图象如图所示, 而 h 错误!未找到引用源。=f 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, ∴不等式 h(x)≥错误!未找到引用源。的解集为错误!未找到引用源。. 答案:错误!未找到引用源。 三、解答题(共 74 分) 17.(本小题满分 12 分) 2 已知函数 f(x)=x +错误!未找到引用源。(x≠0,常数 a∈R). (1)当 a=2 时,解不等式 f(x)-f(x-1)>2x-1; (2)讨论函数 f(x)的奇偶性,并说明理由. 2 解:(1)当 a=2 时,f(x)=x +错误!未找到引用源。, 2 f(x-1)=(x-1) +错误!未找到引用源。, 2 2 由 x +错误!未找到引用源。-(x-1) -错误!未找到引用源。>2x-1, 得错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。>0,x(x-1)<0,0<x<1, 所以原不等式的解集为{x|0<x<1}. (2)f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 2 2 当 a=0 时,f(x)=x ,f(-x)=x =f(x), 所以 f(x)是偶函数. 2 当 a≠0 时,f(x)+f(-x)=2x ≠0(x≠0), f(x)-f(-x)=错误!未找到引用源。≠0(x≠0), 所以 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. 18.(本小题满分 12 分) (2013 浙江嘉兴模拟)已知函数 f(x)=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。-ax(a ∈R). (1)当 a=错误!未找到引用源。时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在[-1,1]上为单调函数,求实数 a 的取值范围. 解:(1)当 a=错误!未找到引用源。时,f(x)=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。
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-错误!未找到引用源。x, x 2 x f'(x)=错误!未找到引用源。[(e ) -3e +2] x x =错误!未找到引用源。(e -1)(e -2), x x 令 f'(x)=0,得 e =1 或 e =2, 即 x=0 或 x=ln 2, 令 f'(x)>0,则 x<0 或 x>ln 2, 令 f'(x)<0,则 0<x<ln 2, ∴f(x)在(-∞,0],[ln 2,+∞)上单调递增,在(0,ln 2)上单调递减. (2)f'(x)=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。-a, x 令 e =t,由于 x∈[-1,1], ∴t∈错误!未找到引用源。. 令 h(t)=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。, h'(t)=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, ∴当 t∈错误!未找到引用源。时 h'(t)<0,函数 h(t)为单调减函数; 当 t∈(错误!未找到引用源。,e]时 h'(t)>0,函数 h(t)为单调增函数, ∴错误!未找到引用源。≤h(t)≤e+错误!未找到引用源。. ∵函数 f(x)在[-1,1]上为单调函数, ∴若函数在[-1,1]上单调递增,则 a≤错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。对 t∈ [错误!未找到引用源。,e]恒成立, 所以 a≤错误!未找到引用源。; 若函数 f(x)在[-1,1]上单调递减,则 a≥错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。对 t ∈错误!未找到引用源。恒成立,所以 a≥e+错误!未找到引用源。, 综上可得 a≤错误!未找到引用源。或 a≥e+错误!未找到引用源。. 19.(本小题满分 12 分) x 已知函数 f(x)=2 ,g(x)=错误!未找到引用源。+2. (1)求函数 g(x)的值域; (2)求满足方程 f(x)-g(x)=0 的 x 的值. 解:(1)g(x)=错误!未找到引用源。+2=错误!未找到引用源。+2, 因为|x|≥0,所以 0<错误!未找到引用源。≤1, 即 2<g(x)≤3,故 g(x)的值域是(2,3]. x (2)由 f(x)-g(x)=0 得 2 -错误!未找到引用源。-2=0, x 当 x≤0 时,显然不满足方程,即只有 x>0 时满足 2 -错误!未找到引用源。-2=0, x 2 x x 2 x 整理得(2 ) -2·2 -1=0,(2 -1) =2,故 2 =1±错误!未找到引用源。, x x 因为 2 >0,所以 2 =1+错误!未找到引用源。,即 x=log2(1+错误!未找到引用源。). 20.(本小题满分 12 分) (2013 宁化模拟)据预测,某旅游景区游客人数在 500 至 1300 人之间,游客人数 x(人)与游客 2 的消费总额 y(元)之间近似满足关系 y=-x +2400x-1000000. (1)若该景区游客消费总额不低于 400000 元时,求景区游客人数的范围; (2)当景区游客的人数为多少人时,游客的人均消费额最高?并求出游客的人均最高消费额. 2 解:(1)由题意,得-x +2400x-1000000≥400000, 2 x -2400x+1400000≤0,得 1000≤x≤1400, 又 500≤x≤1300, 所以景区游客人数的范围是 1000 至 1300 人. (2)设游客的人均消费额为错误!未找到引用源。,则
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错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 =-(x+错误!未找到引用源。)+2400≤400, 当且仅当 x=1000 时等号成立. 即当景区游客的人数为 1000 人时,游客的人均消费额最高,最高消费额为 400 元. 21.(本小题满分 12 分) x (2013 宜宾市高三考试)设 f(x)=ae +错误!未找到引用源。+b(a>0). (1)求 f(x)在[0,+∞)上的最小值; (2)设曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y=错误!未找到引用源。x,求 a,b 的值. x 解:(1)设 t=e (t≥1), 则 y=at+错误!未找到引用源。+b?y'=a-错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. ①当 a≥1 时,y'≥0?y=at+错误!未找到引用源。+b 在 t≥1 上是增函数, 得当 t=1(x=0)时,f(x)的最小值为 a+错误!未找到引用源。+b. ②当 0<a<1 时,y=at+错误!未找到引用源。+b≥2+b, 当且仅当 at=1 错误!未找到引用源。时,f(x)的最小值为 b+2. x x (2)f(x)=ae +错误!未找到引用源。+b?f'(x)=ae -错误!未找到引用源。, 由题意得错误!未找到引用源。?错误!未找到引用源。?错误!未找到引用源。 22.(本小题满分 14 分) (2013 洛阳统考)设函数 f(x)=ln(x-1)+错误!未找到引用源。(a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)如果当 x>1,且 x≠2 时,错误!未找到引用源。>错误!未找到引用源。恒成立,求实数 a 的取值范围. 解:(1)由题易知函数 f(x)的定义域为(1, +∞). f'(x)=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 2 2 设 g(x)=x -2ax+2a,Δ =4a -8a=4a(a-2). ①当Δ ≤0,即 0≤a≤2 时,g(x)≥0, 所以 f'(x)≥0,f(x)在(1,+∞)上是增函数. ②当 a<0 时,g(x)的对称轴为 x=a, 当 x>1 时,g(x)>g(1) >0, 所以 f'(x)>0,f(x)在(1,+∞)上是增函数. 2 ③当 a>2 时 , 设 x1,x2(x1<x2) 是方程 x -2ax+2a=0 的两个根 , 则 x1=a- 错误!未找到引用 源。>1,x2=a+错误!未找到引用源。. 当 1<x<x1 或 x>x2 时, f'(x)>0,f(x)在(1,x1),(x2,+∞)上是增函数. 当 x1<x<x2 时,f'(x)<0,f(x)在(x1,x2)上是减函数. 综上,当 a≤2 时,f(x)的单调递增区间为(1,+∞),无单调递减区间; 当 a>2 时,f(x)的单调递增区间为(1,a-错误! 未找到引用源。 ),(a+错误! 未找到引用源。 ,+ ∞),单调递减区间为(a-错误!未找到引用源。,a+错误!未找到引用源。). (2)错误!未找到引用源。>错误!未找到引用源。可化为错误!未找到引用源。>0, 即错误!未找到引用源。[f(x)-a]>0.(*) 令 h(x)=f(x)-a, 由(1)知, ①当 a≤2 时,f(x)在(1,+∞)上是增函数, 所以 h(x)在(1,+∞)上是增函数. 因为当 1<x<2 时,h(x)<h(2)=0,(*)式成立;

当 x>2 时,h(x)>h(2)=0,(*)式成立, 所以,当 a≤2 时,(*)式成立. ②当 a>2 时,因为 f(x)在(x1,2)上是减函数, 所以 h(x)在(x1,2)上是减函数, 所以当 x1<x<2 时, h(x)>h(2)=0,(*)式不成立. 综上,a 的取值范围为(-∞,2].



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