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更高更妙的物理--疑难杂症总结


p12.1

先考虑一个球,底面是球面,重心是球心(众曰:废话!,会地上到处滚; ) 那么这东西在平地上不到处滚,重心必然低于球心,不论他上面长什么样; 于是重心低于球心 A;设距离 B 为 H; 然后我们把他反过来, 此时重心很高当然很难平衡故需要地面曲率达到一定程度, 我们假设 它微微歪了一点点使球面上新的接触点离原本接触点点偏离的角度为 α, 则接触点偏离的长 度 c=bα,而重心的偏离是(H+b)乘以 AB 与竖直线的夹角,这个角度等于 AB 与切线的夹角 减去切线与地面的夹角, 说白了就是偏离同样距离两种圆弧转过的角度之差, 之所以要曲率 大就是为了防止质心偏得太远, 你们可以极端法想想如果两个曲率一样了, 质心动都动不了 因为转角差就是 0.所以很明显有 ?x = (H+b) * (α-β)<注释:αβ 都是小角就直接当成弧的 圆心角而弧很平就直接当直线了,这么多近似,都是合理的> 然后就是一个白痴问题啦质心移开了 ?x 而接触点移开了 Rβ,质心偏得少一些,重力就是 回复力了,于是这就是我们需要的稳定平衡条件(H+b) * (α-β)<Rβ,其中 α 是设的量而 Rβ=Hα,所以只有 R 未知且可求,综上,本题方程组:

本题结果

说法一: 注意的是它把小球错误地当作了孤立电容, 当然在小球很轻很小的情况下也不是不 可以这样近似,只能说这题出得不好不严谨 说法二:无穷大 A 板与无穷远成一无穷大电容,小球与无穷远成一无穷大电容,然后并联。 加上无穷大的 B,不过是又一个无穷大。在没有小球时,电容显而易见,加上小球 B 对系 统的贡献没有变化。所以应该与近似无关,答案的算法没什么不严谨

P120.3

这题里大家不理解的地方主要在于为什么速度向着低温区域的概率为 1/4,这里高妙上是一 笔带过的,如果说显然那也太不显然了。而且就高妙答案上的表述来看,作者或可能完全不 理解照搬大学做法结果表述错误, 或可能想的做法和笔者初三时用的愚钝统计法一样, 但这 做法也太傻太巧合。 I 这里先面向有能力冲击国家集训队的同学们介绍标准的普物式模型做法——泄流速率模 型: 考虑一个微小柱形容器,内部分子数密度与题中一致,而底面积与题中低温区域相同,那么 假设此容器一端开口,那么瞬时此容器中减少的分子应与题中球形容器减少的分子数一致, 因为这两个模型只是一个吸住分子, 一个漏掉分子, 共同结果是这一瞬时到达一个小表面的 分子消失。 那么我们可以很简单地求出平均每秒漏掉的分子数 dn/dt=nvS,式中 v 为径向平均速率, 此 v 可以根据麦克斯韦分布率得出:

其实可以看得出这个 v 是平均速率的 1/4,当然直接用这个表达式算出 dn/dt,不用去管比例 了 <此积分需要一个简单的积分公式>

II 然后,再说明一个求书上所说的“1/4”的方法,也就是笔者初三时根据他“全部粒子中速度 沿径向且向低温方向的概率为 1/4”的说法硬想出的积分法。

以低温区域为顶点以过此点的直径为对称轴作一系列锥面分割此球,并考查张角为 θ 与 θ+dθ 的锥面之间所夹的部分,这部分粒子的数量是 n*2Rcosθ*(2Rcosθdθ)/2,粒子速度 向低温区域的概率为“低温区域在这个锥面方向投影面积除以(一个以它和低温区域的距离 为半径的球面积)”,引号内的话是这种做法的根本,也是由各向同性为基础引出的基本概 念,那么这个概率函数对距离积一次分可得 dn/dθ 关于 θ 的函数,再对 θ 积一次分就可得粒 子数,具体积分过程如下

再对 θ 从 0 到 π/2 积一次分就是向着低温区域的总粒子数, 结果就是 1/4n 总, 但这个比值结 果没有意义,高妙上分析后直接用 v*s*n 来算是错的,因为这些粒子并不同时到达,正确的 解法是在上市的积分中加入时间参量即假设所有粒子速度均是平均速度之后求单位时间到 达的粒子数,这个积分的形式如下:

本题的难点就在于求出 dn/dt,,以上笔者用了两种方法求出此解,希望大家好好理解,第二 种方法实属愚钝之笔是不熟悉麦克斯韦分布率时不得以想出的方法。 剩下的工作就是根据 dn/dt 求出 n/t 函数,这里又是一个微分方程,书上的微元法解法其实 也不错:

P200.13 这题高妙上的解法答案全正确, 至于同学们疑惑的电流为什么这么计算, 我给出明确的模型: 圆形理想超导体金属片 AB 半径为 R 与该金属圆盘一致,现在将该金属片贴到圆盘上下表 面:

那么电流在此小块和其余部分间形成回路,此回路的外层部分(也就是那两块大的)截面积 远远大于我们研究的小块,故电阻忽略不计,这就是书上提供的模型。 这种做法是有依据的, 好比我们求一个两边中点接着导线的矩形电阻片的电阻就是把两个单 独接入点当作两个接入平面



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