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2017-2018学年高中数学第一章集合与函数概念1.1.3.1并集、交集课件新人教A版必修1_图文

1.1.3 集合的基本运算 第1课时 并集、交集

主题1 并集 观察集合A={1,2,3},B={2,3,4},C={1,2,3,4},回答下 面的问题: 1.集合A,B中的元素与集合C的关系是什么? 提示:通过观察可发现集合A中的所有元素都属于集合C; 集合B中的所有元素都属于集合C.

2.集合C中的元素与集合A中元素和集合B中元素有什么 关系? 提示:集合C中的元素由所有属于集合A或属于集合B的 元素组成.

结论:并集的定义 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合, 称为集合A与B的并集. 记作:_A_∪__B_. 读作:A并B. 符号表示:A∪B=__{_x_|_x_∈__A_,_或__x_∈__B_}.

Venn图表示:

【微思考】 1.A∪B的元素等于A中的元素的个数与B中的元素的个 数的和吗? 提示:不一定,当A与B有相同的元素时,根据集合元素的 互异性,重复的元素在并集中只能出现一次,这时A∪B 的元素个数就小于A与B的元素个数的和.

2.集合A∪B={x|x∈A,或x∈B}中的“或”包含哪几种 情况? 提示:集合中的“或”包含三种情况:①x∈A且x?B; ②x∈B且x?A;③x∈A且x∈B.

3.若A∪B=A,则A与B有什么关系? 提示:若A∪B=A,则B?A.

主题2 交集 观察集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},C={3,4}.思考下 面的问题: 1.集合A与集合B有公共元素吗?它们组成的集合是什么? 提示:有公共元素,它们组成的集合是{3,4}.

2.集合C中的元素与集合A,B有什么关系? 提示:集合C中的所有元素都属于集合A,且属于集合B.

结论:交集的定义 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合, 称为A与B的交集. 记作:_A_∩__B_. 读作:A交B. 符号表示:A∩B=_{_x_|_x_∈__A_,_且__x_∈__B_}_.

Venn图表示:

【微思考】 1.当集合A与B没有公共元素时,A与B就没有交集吗? 提示:两个集合无公共元素时,两个集合的交集仍存在, 即此时A∩B=?. 2.A∩B与集合A、集合B有何关系? 提示:因为A∩B={x|x∈A,且x∈B},故A∩B?A,A∩B?B.

【预习自测】

1.A={1,2},B={2,3},则A∪B= ( )

A.{1,2,2,3}

B.{2}

C.{1,2,3}

D.?

【解析】选C.由并集的定义知A∪B={1,2,3}.

2.已知A={x|x>1},B={x|x>0},则A∪B等于 ( )

A.{x|x>1}

B.{x|x>0}

C.{x|0<x<1} D.{x|x<0}

【解析】选B.A∪B={x|x>1}∪{x|x>0}={x|x>0}.

3.已知A={1,2,3},B={1,3},则A∩B= ( )

A.{2}

B.{1,2}

C.{1,3}

D.{1,2,3}

【解析】选C.由交集的定义,可得

A∩B={1,2,3}∩{1,3}={1,3}.

4.已知集合M={x|-3<x<1},N={x|x≤-3},则M∩N

等于( )

A.?

B.{x|x≥-3}

C.{x|x≥1}

D.{x|x<1}

【解析】选A.利用数轴表示集合M与N,可得M∩N=?.

5.已知集合A={1,2},若A∪B={1,2},则满足条件的集合 B有________个. 【解析】因为A={1,2},A∪B={1,2},所以B?A,所以B可 能为?,{1},{2},{1,2},故满足条件的集合B有4个. 答案:4

类型一 并集的运算 【典例1】(1)(2015·全国卷Ⅱ)已知集合A= {x|-1<x<2},B={x|0<x<3},则A∪B= ( ) A.(-1,3) B.(-1,0) C.(0,2) D.(2,3)

(2)(2016·全国卷Ⅱ改编)已知集合A={1,2,3},

B={x|-1<x<2,x∈Z},则A∪B= ( )

A.{1}

B.{1,2}

C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3}

【解题指南】(1)借助于数轴,分别表示集合A,B,即可 求得. (2)先求出集合B,再利用并集的定义求解.

【解析】(1)选A.因为A={x|-1<x<2},B={x|0<x<3}, 所以A∪B={x|-1<x<3}. (2)选C.因为-1<x<2,x∈Z,所以B={0,1}, 所以A∪B={0,1,2,3}.

【方法总结】并集的运算技巧 (1)若集合中元素个数有限,则直接根据并集的定义求 解,但要注意集合中元素的互异性.

(2)若集合是连续数集,可借助数轴,利用数轴分析求解, 要注意是否去掉端点值. (3)若集合中元素个数无限且不连续,可借助Venn图求 解.

【巩固训练】1.(2017·烟台高一检测)已知集合M={x|3<x≤5},N={x|x<-5或x>5},则M∪N=________.

【解析】将集合M和N在数轴上表示出来,如图.
可知M∪N={x|x<-5或x>-3}. 答案:{x|x<-5或x>-3}

2.(2015·江苏高考)已知集合A={1,2,3},B={2,4,5},则 集合A∪B中元素的个数为________. 【解析】因为A={1,2,3},B={2,4,5},所以 A∪B={1,2,3,4,5},共5个元素. 答案:5

【补偿训练】1.(2016·遵义高一检测)若

A={x|0<x< 2 },B={x|1≤x<2},则A∪B= ( )

A.{x|x≤0}

B.{x|x≥2}

C.{x|0≤x≤ 2 }

D.{x|0<x<2}

【解析】选D.在数轴上分别表示出集合A,B,如图. 所以A∪B={x|0<x< 2 }∪{x|1≤x<2}={x|0<x<2}.

2.集合A={x|x2+px-2=0},B={x|x2-x+q=0},若A∪B= {-2,0,1},则p=________,q=________.

【解析】由题意得0?A,所以0∈B, 所以q=0,此时B={0,1}, 又A∪B={-2,0,1},所以-2∈A. 所以4-2p-2=0,所以p=1. 答案:1 0

类型二 交集的运算 【典例2】(1)(2016·全国卷Ⅰ)设集合 A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B= ( ) A.{1,3} B.{3,5} C.{5,7} D.{1,7}

(2)(2015·北京高考)设集合A={x|-5<x<2},

B={x|-3<x<3},则A∩B= ( )

A.{x|-3<x<2}

B.{x|-5<x<2}

C.{x|-3<x<3}

D.{x|-5<x<3}

【解题指南】(1)先求出集合B中所含整数,再进行交集 运算. (2)在数轴上表示两集合,再取交集.

【解析】(1)选B.因为B={x|2≤x≤5},所以B中所含整 数有2,3,4,5,而A={1,3,5,7}, 所以A∩B={3,5}.

(2)选A.如图, 得A∩B={x|-3<x<2}.

【方法总结】求集合交集的思路 (1)识别集合:点集或数集. (2)化简集合:明确集合中的元素. (3)求交集:元素个数有限,利用定义或Venn图求解;连 续数集,借助数轴求解.

【巩固训练】1.若集合P={x|2≤x<4},Q={x|x≥3},则

P∩Q等于 ( )

A. {x|3≤x<4}

B. {x|3<x<4}

C. {x|2≤x<3}

D. {x|2≤x≤3}

【解析】选A.在数轴上分别表示出集合P,Q,

如图

,

所以P∩Q={x|2≤x<4}∩{x|x≥3}={x|3≤x<4}.

2.(2017·铜陵高一检测)已知A={-4,2a-1,a2},

B={a-5,1-a,9},且A∩B={9},则a的值是 ( )

A.a=3

B.a=-3

C.a=±3

D.a=5或a=-3

【解析】选B.因为A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9}, 且A∩B={9},所以2a-1=9或a2=9, 由2a-1=9得a=5,此时A∩B={-4,9},不合题意,由a2=9 得a=±3,若a=3,则集合B不满足互异性,所以a=-3.

【补偿训练】1.(2015·福建高考)若集合M=

{x|-2≤x<2},N={0,1,2},则M∩N等于 ( )

A.{0}

B.{1}

C.{0,1,2}

D.{0,1}

【解析】选D.因为集合N中的元素0∈M,1∈M,2?M,所以 M∩N={0,1}.

2.已知M={1,2,a2-3a-1},N={-1,a,3},M∩N={3},求实 数a的值. 【解析】因为M∩N={3},所以3∈M,所以a2-3a-1=3,即 a2-3a-4=0,解得a=-1或4,当a=-1时,与集合中元素的互 异性矛盾;当a=4时,M={1,2,3},N={-1,3,4},符合题意. 所以a=4.

类型三 并集、交集性质的应用 【典例3】已知集合A={x|-2<x<3},B={x|2m+1<x<m+7}, 若A∪B=B,求实数m的取值范围. 【解题指南】由A∪B=B,可得A?B,从而建立关于m的不 等式组求解.

?2m ?1 ? ?2,

【解析】因为A∪B=B,所以A?B,所以 ??2m ?1 ? m ? 7,

即-4≤m≤- 3 .

??m ? 7 ? 3,

2

【延伸探究】 1.若将条件“A∪B=B”改为“A∩B=?”,求实数m的取 值范围. 【解析】因为A∩B=?,所以m+7≤-2或2m+1≥3, 所以m≤-9或m≥1.

2.若将条件“A∪B=B”改为“A∩B=B”,求实数m的取 值范围.

【解析】因为A∩B=B,所以B?A,
当B=?时,即2m+1≥m+7,所以m≥6,满足A∩B=B.
?2m ?1 ? m ? 7,
当B≠?时,由 ??2m ?1 ? ?2, 无解.
??m ? 7 ? 3,
故m的取值范围是m≥6.

【方法总结】利用集合交集、并集的性质解题的方法 及关注点 (1)方法:当题目中含有条件A∩B=A,A∪B=B,解答时常 借助于交集、并集的定义及集合间的关系去分析,将关 系进行等价转化如:A∩B=A?A?B,A∪B=B?A?B等.

(2)关注点:当题目条件中出现B?A时,若集合B不确定, 解答时要注意讨论B=?的情况.

【补偿训练】1.设集合A={x|-1<x<a},B={x|1<x<3}, 且A∪B={x|-1<x<3},求a的取值范围.

【解析】因为A={x|-1<x<a},B={x|1<x<3}, A∪B={x|-1<x<3},如图所示:
所以1<a≤3.

2.设集合A={x|a-1≤x≤a+1},集合B={x|-1≤x≤5}, (1)若a=5,求A∩B. (2)若A∪B=B,求实数a的取值范围.

【解析】(1)当a=5时,A={x|4≤x≤6},所以

A∩B={x|4≤x≤6}∩{x|-1≤x≤5}={x|4≤x≤5}.

(2)因为A∪B=B,所以A?B,

所以

?a ??a

?1 ?1

? ?

?1, 5,

得0≤a≤4.

【方法总结】 (1)连续数集求交、并集借助数轴采用数形结合法. (2)利用A∩B=A?A?B,A∪B=A?B?A可实现交、并运算 与集合间关系的转化. 注意事项:(1)借助数轴求交、并集时注意端点的实虚. (2)关注Venn图在解决复杂集合关系中的作用.

1.知识总结

【课堂小结】

2.方法总结 (1)并集的性质: ①A∪A=A,A∪?=A,A∪B=B∪A; ②A?A∪B,B?A∪B; ③A?B?A∪B=B,A∪B=??A=B=?.

(2)交集的性质: ①A∩A=A,A∩?=?,A∩B=B∩A; ②A∩B?A,A∩B?B; ③A?B?A∩B=A,A∩B=A∪B?A=B.



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