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山东省临沂市2013届高三上学期期中考试(数学理)


山东省临沂市 2013 届高三上学期期中考试

数学(理)试题
本试卷分为选择题和非选择题两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和 科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上。 2. I 卷每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 第 用 如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上。 3.第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能 使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1. sin 330? 等于

A.—

3 2
x

B.—

1 2

C.

1 2

D.

3 2

2.已知命题 p : ?x ? R,3 ? 0 ,则 A. ?p : ?x0 ? R,3x ? 0 C. ?p : ?x0 ? R,3x ? 0
2

B. ?p : ?x ? R,3 ? 0
x

D. ?p : ?x ? R,3 ? 0
x x

3.设 P ? {y | y ? ?x ? 1, x ? R}, Q ? {y | y ? 2 , x ? R ,则 } A. P ? Q B. Q ? P C. CR P ? Q D. Q ? CR P

4.下列函数既是奇函数又是减函数的是 A. f ( x) ? x
3

B. f ( x) ? sin x

C. f ( x ) ?

ln x x

D. f ( x) ? ? x | x |

5.设 x, y ? R, 向量 a ? ( x,1), b ? (1, y), c ? (2, ?4), 且a ? c, b / / c, 则 | a ? b | A. 5 B. 10 C. 2 5 D.10

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6.已知函数 f ( x) ? ? A.

?2 x ? 1, x ? 1, ?1 ? log 2 x, x ? 1.
B.—2,0

则函数 f ( x) 的零点为
C.

1 ,0 2

1 2

D.0

7.已知 a ? b,函数f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) 的图象如右图,则函数

g ( x) ? loga ( x ? b) 的图象可能为

8. 将函数 f ( x) ? sin 2 x 的图象向右平移 象的一条对称轴是 A. x ? ?

? 个单位长度得到函数 g ( x) 的图象, 则函数 g ( x) 图 6
C. x ?

?
12

B. x ?

?
12

?
6

D. x ?

?
3

9.若曲线 f ( x) ? A.—2

x , g ( x) ? xa 在点P(1,1) 处的切线分别为 l1 , l2 , 且l1 ? l2 , 则a 的值为
B.2 C.

1 2 ??? ? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ???? ??? 10. 在△ABC 中, AB=4, ∠ABC=30°, 是边 BC 上的一点, AD ? AB ? AD ? AC, 则 AD ? AB D 且
D.— 的值等于 A.—4 B.0 C.4 D.8

1 2

11.在等差数列 {an }中, a1 ? ?2012, 其前n项和为Sn , 若 A.—2011 B.—2012

S12 S10 ? ? 2, 则S2012 的值等于 12 10
D.—2013

C.—2010

12.设定义在 B 上的函数 f ( x ) 是最小正周期为 2? 的偶函数, f ?( x)是f ( x) 的导函数,当

x ? [0, ? ]时, 0 ? f ( x) ? 1;当x ? (0, ? )且x ? f ( x) ? cos x在[?2? , 2? ] 上的根的个数为
A.2 B.5

?

时, ( x ? ) f ?( x) ? 0. 2 2

?







C.4

D.8

第 II 卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。
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13.若 f ( x) ? ( x ? a)( x ? 4) 为偶函数,则实数 a= 14.曲线 y ? 2 x2与x 轴及直线 x ? 1 所围成图形的面积为 15.在△ABC 中,若 cos A ? 16.已知下列四个命题: ①若 tan ? ? 2, 则 sin 2? ?

。 。 。

B?C 1 , 则 sin 2 ? cos 2 A 的值为 3 2 4 ; 5

②函数 f ( x) ? lg( x ? 1 ? x 2 ) 是奇函数;
a b ③“ a ? b ”是“ 2 ? 2 ”的充分不必要条件;

④在△ABC 中,若 sin A cos B ? sin C ,则△ABC 中是直角三角形。 其中所有真命题的序号是 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分)
2 已知函数 f ( x) ? 2sin

?
6

x ? sin(

?
3

x?

?
6

) ? 1.

(I)求 f ( x ) 的值域; (II)试画出函数 f ( x ) 在区间[-1,5]上的图象。

18. (本小题满分 12 分) 如图,在平面直角坐标系中,锐角α 和钝角β 的终边分别与单位圆交于 A,B 两点。

4 12 , , 求 cos( ? ? ? ) 的值; 5 13 ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? (II)已知点 C 是单位圆上的一点,且 OC ? OA ? OB, 求OA和OB 的夹角θ 。
(I)若 A,B 两点的纵会标分别为

19. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? ( 3sin 2x ? 2,cos x), n ? (1, ?2cos x), 设函数f ( x) ? m ? n. (I)求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调增区间; (II)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 f ( A) ? 2, b ? 1, △ABC 的面积

第3页 共8页



3 , 求 a 的值。 2

20. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } , a1 ? 2, an?1 ? an ? cn(c 是不为零的常数, n ? N * ), 且a1 , a2 , a3 成等比 中 数列。 (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)若 bn ?

an ? c , 求数列{bn }的前n项和Tn . n ? cn

21. (本小题满分 13 分) 某公司为了实现 2013 年销售利润 1000 万元的目标,准备制定一个激励销售人员的 奖励方案;从销售利润达到 10 万元开始,按销售利润进行奖励,且奖金数额 y(单位: 万元)随销售利润 x(单位:万元)的增加而增加,但奖金数额不超过 5 万元,同时奖金
x 数额不超过销售利润的 25%。 现有三个奖励模型:y ? 0.025 x, y ? 1.003 , y ?

1 ln x ? 1 , 2

问其中是否有模型能完全符合公司的要求?请说明理由。 (参考数据: 1.003
600

? 6, e ? 2.70828?, e8 ? 2981 )

22, (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax. (I)若对一切 x ? 0, f ( x) ? 1恒成立,求 a 的取值范围; (II)在函数 f ( x ) 的图象上取定两点 A( x1 , f ( x1 )), B( x2 , f ( x)2 )( x1 ? x2 ) ,记直线 AB 的 斜率为 k,证明:存在 x0 ? ( x1 , x2 ), 使f ?( x0 ) ? k 成立。

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