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2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科): 第10章 概率 第3节 几何概型学案 文 北师大版

第三节 几何概型 [考纲传真] 1.了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率.2.了解几何概型的意义. (对应学生用书第 153 页) [基础知识填充] 1.几何概型 向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点 M, 若点 M 落在子区域 G1 G 的概率与 G1 的面 积成正比,而与 G 的形状、位置无关,即 P(点 M 落在 G1)= 何概型. 2.几何概型中的 G 也可以是空间中或直线上的有限区域,相应的概率是体积之比或长度之 比. 3.借助模拟方法可以估计随机事件发生的概率. (1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验, 以便通过这个试验求出随机事件的概率的 近似值的方法就是模拟方法. (2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法. 这个方法的基本步骤是①用计算 器或计算机产生某个范围内的随机数,并赋予每个随机数一定的意义;②统计代表某意 义的随机数的个数 M 和总的随机数的个数 N;③计算频率 fn(A)= 作为所求概率的近似 值. [基本能力自测] 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( 1 (2)从区间[1,10]内任取一个数,取到 1 的概率是 .( 10 (3)概率为 0 的事件一定是不可能事件.( ) ) ) ) G1的面积 ,则称这种模型为几 G的面积 M N (4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.( [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2.(教材改编)有四个游戏盘,将它们水平放稳后,在上面扔一颗玻璃小球,若小球落在阴 影部分,则可中奖,小明要想增加中奖机会,应选择的游戏盘是 ( ) A 3 2 2 1 [P(A)= ,P(B)= ,P(C)= ,P(D)= , 8 8 6 3 ∴P(A)>P(C)=P(D)>P(B).] 3.(2016·全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为 40 秒. 若一名行人来到该路口遇到红灯, 则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为( A. 7 10 5 B. 8 3 D. 10 ) 3 C. 8 B [如图,若该行人在时间段 AB 的某一时刻来到该路口,则该行人至少等待 15 秒才出 现绿灯.AB 长度为 40-15=25,由几何概型的概率公式知,至少需要等待 15 秒才出现 40-15 5 绿灯的概率为 = ,故选 B.] 40 8 4.(2018·石家庄模拟)如图 10?3?1 所示,在边长为 1 的正方形中随机撒 1 000 粒豆子,有 180 粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为________. 图 10?3?1 0.18 [由题意知, S阴 180 = =0.18. S正 1 000 ∵S 正=1,∴S 阴=0.18.] ? ?0≤x≤2, 5.设不等式组? ?0≤y≤2 ? 表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐 标原点的距离大于 2 的概率是________. 【导学号:00090357】 π 1- 4 [如图所示,区域 D 为正方形 OABC 及其内部,且区域 D 的面积 S=4.又阴影部分 表示的是区域 D 内到坐标原点的距离大于 2 的区域. 易知该阴影部分的面积 S 阴=4-π , 4-π π ∴所求事件的概率 P= =1- .] 4 4 (对应学生用书第 154 页) 与长度(角度)有关的几何概型 (1)(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在 7:30,8:00,8:30 发车,小明在 7:50 至 8: 30 之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过 10 分 钟的概率是( 1 A. 3 2 C. 3 ) 1 B. 2 3 D. 4 图 10?3?2 (2)如图 10?3?2 所示,四边形 ABCD 为矩形,AB= 3,BC=1,在∠DAB 内作射线 AP,则 射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为________. (3)(2017·江苏高考)记函数 f(x)= 6+x-x 的定义域为 D.在区间[-4,5]上随机取一 个数 x,则 x∈D 的概率是________. 2 (1)B 1 (2) 3 5 (3) 9 [(1)如图,7:50 至 8:30 之间的时间长度为 40 分钟,而小明等车 时间不超过 10 分钟是指小明在 7:50 至 8:00 之间或 8:20 至 8:30 之间到达发车站, 20 1 此两种情况下的时间长度之和为 20 分钟,由几何概型概率公式知所求概率为 P= = . 40 2 故选 B. (2)以 A 为圆心,以 AD=1 为半径作圆弧 依题意, 点 P′在 交 AC,AP,AB 分别为 C′,P′,B′. 上任何位置是等可能的, 且射线 AP 与线段 BC 有公共点, 则事件“点 P′在 上发生”. π 又在 Rt△ABC 中,易求∠BAC=∠B′AC′= . 6 故所求事件的概率 P= π ·1 6 1 = = . π 3 ·1 2 (3)由 6+x-x ≥0,解得-2≤x≤3,∴D=[-2,3].如图,区间[-4,5]的长度为 9,定 义域 D 的长度为 5, 5 ∴P= . 9 ] [规律方法] 1.解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围, 当 考查对象为点,且点的活动范围在线段上时,用“线段长度”为测度计算概率,求解的核 心是确定点的边界位置. 1 2.(1)第(2)题易出现“以线段 BD 为测度”计算几何概型的概率,导致错求 P= . 2 (2)当涉及射线的转动,扇形中有关落点区域问题时,应以角对应的弧长的大小作为区域 度量来计算概率.事实上,当半径一定时,曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数 之比. [变式训练 1] (1)(2017·唐山质检)设 A 为圆周上一点,在圆周


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