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余弦定理练习题(含答案)


余弦定理练习题
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1 1.在△ABC 中,如果 BC=6,AB=4,cosB= ,那么 AC 等于( ) 3 A.6 B.2 6 C.3 6 D.4 6 2.在△ABC 中,a=2,b= 3-1,C=30° ,则 c 等于( ) A. 3 B. 2 C. 5 D.2 2 2 2 3.在△ABC 中,a =b +c + 3bc,则∠A 等于( ) A.60° B.45° C.120° D.150° 4.在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB= 3ac,则∠B 的值为( ) π π π 5π π 2π A. B. C. 或 D. 或 6 3 6 6 3 3 5.在△ABC 中,a、b、c 分别是 A、B、C 的对边,则 acosB+bcosA 等于( ) A.a B.b C.c D.以上均不对 6.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.由增加的长度决定 → → → → 7.已知锐角三角形 ABC 中,|AB|=4,|AC|=1,△ABC 的面积为 3,则AB· AC的值为( ) A.2 B.-2 C.4 D.-4 8.在△ABC 中,b= 3,c=3,B=30° ,则 a 为( ) A. 3 B.2 3 C. 3或 2 3 D.2 9.已知△ABC 的三个内角满足 2B=A+C,且 AB=1,BC=4,则边 BC 上的中线 AD 的长为________. 10.△ABC 中,sinA∶sinB∶sinC=( 3-1)∶( 3+1)∶ 10,求最大角的度数. 11.已知 a、b、c 是△ABC 的三边,S 是△ABC 的面积,若 a=4,b=5,S=5 3,则边 c 的值为________. 12.在△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,则 cos A∶cos B∶cos C=________. 1 13.在△ABC 中,a=3 2,cos C= ,S△ABC=4 3,则 b=________. 3 → → 14.已知△ABC 的三边长分别为 AB=7,BC=5,AC=6,则AB· BC的值为________. 2 2 2 a +b -c 15.已知△ABC 的三边长分别是 a、b、c,且面积 S= ,则角 C=________. 4 16.(2011 年广州调研)三角形的三边为连续的自然数,且最大角为钝角,则最小角的余弦值为________. 17.在△ABC 中,BC=a,AC=b,a,b 是方程 x2-2 3x+2=0 的两根,且 2cos(A+B)=1,求 AB 的长.

1 18.已知△ABC 的周长为 2+1,且 sin A+sin B= 2sin C.(1)求边 AB 的长;(2)若△ABC 的面积为 sin C, 6 求角 C 的度数.

π 19.在△ABC 中,BC= 5,AC=3,sin C=2sin A.(1)求 AB 的值;(2)求 sin(2A- )的值. 4

20.在△ABC 中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且 2cos Asin B=sinC,确定△ABC 的形状.

余弦定理
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1.解析:选 A.由余弦定理,得 AC= AB2+BC2-2AB· BCcosB 1 = 42+62-2× 4× 6× =6. 3 2.解析:选 B.由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcosC =22+( 3-1)2-2× 2× ( 3-1)cos30° =2, ∴c= 2. b2+c2-a2 - 3bc 3 3.解析:选 D.cos∠A= = =- , 2bc 2bc 2 ∵0° <∠A<180° ,∴∠A=150° . 2 2 2 4.解析:选 D.由(a +c -b )tanB= 3ac,联想到余弦定理,代入得 a2+c2-b2 3 1 3 cosB cosB= = · = · . 2ac 2 tanB 2 sinB π 3 π 2π 显然∠B≠ ,∴sinB= .∴∠B= 或 . 2 2 3 3 a2+c2-b2 b2+c2-a2 2c2 5. 解析:选 C.a· +b· = =c. 2ac 2bc 2c 6. 解析:选 A.设三边长分别为 a,b,c 且 a2+b2=c2. 设增加的长度为 m, 则 c+m>a+m,c+m>b+m, 又(a+m)2+(b+m)2=a2+b2+2(a+b)m+2m2>c2+2cm+m2=(c+m)2, ∴三角形各角均为锐角,即新三角形为锐角三角形. 1→ → 7.解析:选 A.S△ABC= 3= |AB|· |AC|· sinA 2 1 = × 4× 1× sinA, 2 3 ∴sinA= ,又∵△ABC 为锐角三角形, 2 1 ∴cosA= , 2 1 → → ∴AB· AC=4× 1× =2. 2 8.解析:选 C.在△ABC 中,由余弦定理得 b2=a2+c2-2accosB,即 3=a2+9-3 3a, ∴a2-3 3a+6=0,解得 a= 3或 2 3. π 9. 解析:∵2B=A+C,A+B+C=π,∴B= . 3 在△ABD 中, AD= AB2+BD2-2AB· BDcosB 1 = 1+4-2× 1× 2× = 3. 2 答案: 3 10.解:∵sinA∶sinB∶sinC=( 3-1)∶( 3+1)∶ 10, ∴a∶b∶c=( 3-1)∶( 3+1)∶ 10. 设 a=( 3-1)k,b=( 3+1)k,c= 10k(k>0), ∴c 边最长,即角 C 最大.由余弦定理,得 a2+b2-c2 1 cosC= =- , 2ab 2 又 C∈(0° ,180° ),∴C=120° .

1 3 11. 解析:S= absinC,sinC= ,∴C=60° 或 120° . 2 2 1 ∴cosC=± ,又∵c2=a2+b2-2abcosC, 2 2 ∴c =21 或 61,∴c= 21或 61. 答案: 21或 61 12.解析:由正弦定理 a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4, 设 a=2k(k>0),则 b=3k,c=4k, a2+c2-b2 ? 2 k?2+? 4 k?2-? 3 k?2 11 cos B= = = , 2ac 2× 2k× 4k 16 7 1 同理可得:cos A= ,cos C=- , 8 4 ∴cos A∶cos B∶cos C=14∶11∶(-4). 答案:14∶11∶(-4) 1 2 2 13.解析:∵cos C= ,∴sin C= . 3 3 1 又 S△ABC= absinC=4 3, 2 1 2 2 即 · b· 3 2· =4 3, 2 3 ∴b=2 3. 答案:2 3 AB2+BC2-AC2 14.解析:在△ABC 中,cosB= 2AB· BC 49+25-36 = 2× 7× 5 19 = , 35 → → → → ∴AB· BC=|AB|· |BC|· cos(π-B) 19 =7× 5× (- ) 35 =-19. 答案:-19 a2+b2-c2 a2+b2-c2 ab 1 15.解析: absinC=S= = · 2 4 2ab 2 1 = abcosC,∴sinC=cosC,∴tanC=1,∴C=45° . 2 答案:45° 16.解析:设三边长为 k-1,k,k+1(k≥2,k∈N), 2 2 2 ? ?k +?k-1? -?k+1? <0 ? 则 ? 2<k<4, ?k+k-1>k+1 ? ∴k=3,故三边长分别为 2,3,4, 32+42-22 7 ∴最小角的余弦值为 = . 2× 3× 4 8 7 答案: 8 17. 解:∵A+B+C=π 且 2cos(A+B)=1, 1 1 ∴cos(π-C)= ,即 cosC=- . 2 2 2 又∵a,b 是方程 x -2 3x+2=0 的两根, ∴a+b=2 3,ab=2.

∴AB2=AC2+BC2-2AC· BC· cosC 1 =a2+b2-2ab(- ) 2 =a2+b2+ab=(a+b)2-ab =(2 3)2-2=10, ∴AB= 10. 18.解:(1)由题意及正弦定理得 AB+BC+AC= 2+1,BC+AC= 2AB, 两式相减,得 AB=1. 1 1 1 (2)由△ABC 的面积 BC· AC· sin C= sin C,得 BC· AC= , 2 6 3 2 2 2 AC +BC -AB 由余弦定理得 cos C= 2AC· BC ?AC+BC?2-2AC· BC-AB2 1 = = , 2AC· BC 2 所以 C=60° . AB BC 19. 解:(1)在△ABC 中,由正弦定理 = , sin C sin A sinC 得 AB= BC=2BC=2 5. sinA (2)在△ABC 中,根据余弦定理,得 AB2+AC2-BC2 2 5 cos A= = , 2AB· AC 5 5 于是 sin A= 1-cos2A= . 5 4 从而 sin 2A=2sin Acos A= , 5 3 cos 2A=cos2 A-sin2 A= . 5 π π π 2 所以 sin(2A- )=sin 2Acos -cos 2Asin = . 4 4 4 10 sin C c 20. 解:由正弦定理,得 = . sin B b sinC c 由 2cos Asin B=sin C,有 cosA= = . 2sin B 2b 又根据余弦定理,得 2 2 2 b2+c2-a2 c b +c -a cos A= ,所以 = , 2bc 2b 2bc 2 2 2 2 即 c =b +c -a ,所以 a=b. 又因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab, 所以(a+b)2-c2=3ab,所以 4b2-c2=3b2, 所以 b=c,所以 a=b=c, 因此△ABC 为等边三角形.


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