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2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题05


2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题五

先做后对答案

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题五
(时间:120 分钟 满分:150) 姓名_______________ 一、填空题:本大题共 10 小题,每小题 7 分,共 70 分. 1.若函数 f ( x) 满足 f (

2 ) ? log2 x | x | ,则 f ( x) 的解析式是______________ x? | x |
2 1 AB ? AC , 5 5
P C

2.如图,设 P 为 ?ABC 内一点,且 AP ?

则 ?ABP 的面积与 ?ABC 的面积之比等于__________ 3.若 sin 3 ? ? cos3 ? ? cos ? ? sin ? , 0 ? ? ? 2? , 则角 ? 的取值范围是______________
A

B

4.袋中装有 m 个红球和 n 个白球, m ? n ? 4 ,现从中任取两球,若取出的两个球是同色的概率等于 取出的两个球是异色的概率,则满足关系 m ? n ? 40 的数组 ( m, n) 的个数为___________ 5.已知实系数一元二次方程 x2 ? (1 ? a) x ? a ? b ? 1 ? 0 的两个实根为 x1 、 x 2 ,且 0 ? x1 ? 1 , x2 ? 1 , 则

b 的取值范围是______________ a
A1

D1 B1

C1

6.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, P 为棱 AB 上一点, 过点 P 在空间作直线 l ,使 l 与平面 ABCD 和平面 A1 B1C1 D1 均成 30? 角,则这样的直线 l 的条数为_____________

D A P B

C

cos 3? 1 sin 3? 7.已知 ? 为锐角,且 ? ,则 ? ____________ cos ? 3 sin ?

5 2 8.设 f ( x) 是以 2 为周期的奇函数,且 f (? ) ? 3 ,若 sin ? ? ,则 f (4cos 2? ) ? __________ 5 5

9.若 a, b, c 成等差数列,则直线 ax ? by ? c ? 0 被椭圆 是______________

x2 y 2 ? ? 1 截得线段的中点的轨迹方程 2 8

10.设 x ? 1 , y ? 1 , S ? min{log x 2, log2 y, log y (8x2 )},则 S 的最大值为______________

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2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题五

先做后对答案

二、解答题:本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分.
) 、 Q( x, y2 ) 、 R(2 ? a, y3 ) 是函数 f ( x) ? 2x ? a 的反函数图像上三个不同点,且满足 11.设 P(x ?a , y 1 y1 ? y3 ? 2 y2 的实数有且只有一个,试求实数 a 的取值范围.

12.已知 sin(2? ? ? ) ? 3sin ? ,设 tan? ? x , tan ? ? y ,记 y ? f ( x) ; (1)求 f ( x) 的表达式;

1 2 (2)定义正数数列 {an } : a1 ? , an ?1 ? 2an ? f (an ) (n ? N *) ,试求数列 {a n } 的通项公式. 2

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2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题五

先做后对答案

13.如图, ?ABC 的内心为 I ,过点 A 作直线 BI 的垂线,垂足为 H ,设 D 、 E 分别为内切圆 I 与 边 BC 、 CA 的切点,求证: D 、 H 、 E 三点共线.
A

E I

H

B

D

C

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2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题五

先做后对答案

14.如图,已知抛物线 C : y 2 ? 4 px ( p ? 0) , F 为 C 的焦点, l 为准线,且 l 与 x 轴的交点为 E , 过点 F 任意作一条直线交抛物线 C 于 A 、 B 两点; (1)若 AF ? ? FB (? ? 0) ;求证: EF ? ( EA ? ? EB) ; (2)设 M 为线段 AB 的中点, p 为奇素数,且点 M 到 x 轴的距离和点 M 到准线 l 的距离均为 非零整数;求证:点 M 到坐标原点的距离不可能是整数.

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2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题五

先做后对答案

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题五答案
一、填空题:

2 ) ? log2 x | x | ,则 f ( x) 的解析式是______________ x? | x | 1 1 解:由 x | x |? 0 得 x ? 0 ,脱掉绝对值号,有: f ( ) ? log 2 x ,∴ f ( x) ? log2 ? ? log2 x . x x 2 1 2.如图,设 P 为 ?ABC 内一点,且 AP ? AB ? AC ,则 ?ABP 的面积与 ?ABC 的面积之比 5 5 等于__________ S | AN | 1 2 1 ? . 解:构造平行四边形 AMPN ,则 AM ? AB , AN ? AC , NP∥AB ; ?ABP ? S?ABC | AC | 5 5 5
1.若函数 f ( x) 满足 f ( 3.若 sin 3 ? ? cos3 ? ? cos ? ? sin ? , 0 ? ? ? 2? ,则角 ? 的取值范围是______________ 1 解法一: sin 3 ? ? cos3 ? cos ? ? sin ? ,得 (sin ? ? cos? )(2 ? sin 2 ? ) ? 0 ; 2 1 ? 5? . 2 ? sin 2 ? ? 0 ,∴ sin ? ? cos ? ? 0 ,解得 ? ? ? 2 4 4 解法二:原不等式可变形为 sin 3 ? ? sin ? ? cos3 ? ? cos ? ,构造函数 f ( x) ? x3 ? x , 则原不等式为 f (sin ? ) ? f (cos ? ) ,易知 f ( x) 在 R 上是增函数,

5? . 4 4 4.袋中装有 m 个红球和 n 个白球, m ? n ? 4 ,现从中任取两球,若取出的两个球是同色的概率等于 取出的两个球是异色的概率,则满足关系 m ? n ? 40 的数组 ( m, n) 的个数为___________ 解:记“取出两个红球”为事件 A , “取出两个白球”为事件 B , “取出一红一白两球”为事件 C ; 2 2 1 1 Cm Cn Cm Cn 则 P( A) ? 2 , P( B) ? 2 , P(C ) ? 2 ; Cm ? n Cm ? n Cm ? n
因此 sin ? ? cos ? ,注意到 0 ? ? ? 2? ,解得

?

?? ?

2 2 1 1 ? Cn ? Cm ? Cn 由题意可知 P( A) ? P( B) ? P(C ) ,即 Cm ;也即 m ? n ? (m ? n)2 ;

从而 m ? n 为完全平方数,又由 m ? n ? 4 及 m ? n ? 40 ,得 9 ? m ? n ? 40 ; ?m ? n ? 9 ? m ? n ? 16 ? m ? n ? 25 ? m ? n ? 36 所以有: ? ,或 ? ,或 ? ,或 ? ; ?m ? n ? 3 ?m ? n ? 4 ?m ? n ? 5 ?m ? n ? 6 解之可得: (m, n) ? (6, 3) (舍去) ;或 (10, 6) ,或 (15, 10) ,或 (21, 15) ;共有 3 组. 5.已知实系数一元二次方程 x2 ? (1 ? a) x ? a ? b ? 1 ? 0 的两个实根为 x1 、 x 2 ,且 0 ? x1 ? 1 , x2 ? 1 ,

b 的取值范围是______________ a 解:设 f ( x) ? x 2 ? (1 ? a) x ? a ? b ? 1 ,则 0 ? x1 ? 1 , x2 ? 1 ,

? f (0) ? a ? b ? 1 ? 0 得? ; ? f (1) ? 2a ? b ? 3 ? 0 在直线坐标平面 aOb 上作出上述不等式所表示平面区域, 如右图中阴影部分所示(不含边界) ,两直线 a ? b ? 1 ? 0 与 b 2a ? b ? 3 ? 0 的交点是 P(?2, 1) , 表示经过坐标原点 O 和 a
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2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题五

先做后对答案

可行域内的点 ( a, b) 的直线 l 的斜率,显然,当 l 过点 P(?2, 1) 时,斜率为 ? 1 ; 2

b 1 ?? . a 2 6.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, P 为棱 AB 上一点, 过点 P 在空间作直线 l ,使 l 与平面 ABCD 和平面 A1 B1C1 D1
当 l 与直线 2a ? b ? 3 ? 0 平行时,斜率为 ?2 ,所以 ?2 ? 均成 30? 角,则这样的直线 l 的条数为_____________ 解:由于二面角 C1 ? AB ? D 的平面角为 45? , 所以在这个二面角及它的“对顶”二面角内, 不存在过点 P 且与平面 ABCD 和平面 ABC1 D1 均成 30? 的直线,

D1 A1 B1

C1

D P B

C

A 转而考虑它的补二面角,易知过点 P 有且仅有两条直线与 平面 ABCD 和平面 ABC1 D1 均成 30? ,故满足条件的直线 l 有 2 条.

cos 3? 1 sin 3? ? ,则 ? ____________ cos ? 3 sin ? 1 10 解法 1:由题意及三倍角的余弦公式得 4cos2 ? ? 3 ? ,即 4cos2 ? ? ; 3 3 sin 3? 7 故 ? 3 ? 4sin 2 ? ? 4cos2 ? ? 1 ? . sin ? 3 sin 3? 1 sin 3? cos3? sin(3? ? ? ) 2sin 2? 1 7 解法 2:设 ? x ,则 x ? ? ? ? ? ? 2 ;故 x ? 2 ? ? . sin ? 3 sin ? cos? sin ? cos? sin 2? 3 3
7.已知 ? 为锐角,且
5 2 8.设 f ( x) 是以 2 为周期的奇函数,且 f (? ) ? 3 ,若 sin ? ? ,则 f (4cos 2? ) ? __________ 5 5 5 3 12 2 2 ,∴ cos 2? ? 1 ? 2sin 2 ? ? ,∴ f (4cos 2? ) ? f ( ) ? f ( ) ? ? f (? ) ? ?3 . 5 5 5 5 5 x2 y 2 9.若 a, b, c 成等差数列,则直线 ax ? by ? c ? 0 被椭圆 ? ? 1 截得线段的中点的轨迹方程 2 8 是______________ 解:由 a ? 2b ? c ? 0 知,直线 ax ? by ? c ? 0 过定点 P (1, ?2) ,又点 P 在椭圆上,

解:∵ sin ? ?

∴ P 为所截线段的一个端点,设另一端点为 Q ( x1 , y1 ) , PQ 的中点为 M ( x0 , y0 ) ,

? x0 ? ( x1 ? 1) / 2 ? x1 ? 2 x0 ? 1 则有 ? 即? ,而点 Q ( x1 , y1 ) 在椭圆上,代入椭圆方程中, ? y0 ? ( y1 ? 2) / 2 ? y1 ? 2 y0 ? 2

(2 x0 ?1)2 (2 y0 ? 2)2 1 ( y ? 1)2 ? 1. ? ? 1 ,故中点轨迹方程是 2( x ? )2 ? 2 2 2 8 10.设 x ? 1 , y ? 1 , S ? min{log x 2, log2 y, log y (8x2 )},则 S 的最大值为______________


3 ? 2log 2 x 解: 由题设得 log x 2 ? S , log 2 y ? S , log y (8x2 ) ? S , 则 S ? log y (8 x 2 ) ? ? log 2 y
即 (S ? 2)(S ? 1)2 ? 0 ;∴ S ? 2 ,当且仅当 x ? 2, y ? 4 时取等号.

3?

2 2 3? log x 2 S , ? log 2 y S

二、解答题: ) 、 Q( x, y2 ) 、 R(2 ? a, y3 ) 是函数 f ( x) ? 2x ? a 的反函数图像上三个不同点,且满足 11.设 P(x ?a , y 1
y1 ? y3 ? 2 y2 的实数有且只有一个,试求实数 a 的取值范围.

解: f ( x) ? 2x ? a 的反函数是 f ?1 ( x) ? log 2 ( x ? a) ,则 y1 ? log 2 x , y2 ? log 2 ( x ? a) , y3 ? 1 ; ∴由 y1 ? y3 ? 2 y2 ,得: 1 ? log 2 x ? 2log 2 ( x ? a) ;

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2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题五

先做后对答案

?x ? a 此方程等价于 ? ;……………………………………………… (5 分) 2 ?2 x ? ( x ? a) 1 1 (1)当 ? ? 0 ,即 a ? ? 时,方程有唯一实根 x ? ;……………………(10 分) 2 2 1 (2)当 ? ? 0 ,即 a ? ? 时,方程有两个实根 x ? a ? 1 ? 2a ? 1 , 2 显然, x ? a ? 1 ? 2a ? 1 ? a 满足条件,从而应有 a ? 1 ? 2a ? 1 ? a 即 a ? 0 ;…(15 分) 1 而 a ? 0 时,点 P 、 Q 重合,所以 a 的取值范围是 {? } (0, ? ?) .………(20 分) 2 12.已知 sin(2? ? ? ) ? 3sin ? ,设 tan? ? x , tan ? ? y ,记 y ? f ( x) ; (1)求 f ( x) 的表达式;

1 2 (2)定义正数数列 {an } : a1 ? , an ?1 ? 2an ? f (an ) (n ? N *) ,试求数列 {a n } 的通项公式. 2 解: (1)由 sin(2? ? ? ) ? 3sin ? ,得 sin[(? ? ? ) ? ? ] ? 3sin[(? ? ? ) ? ? ] ,
即 sin(? ? ? ) cos ? ? 2cos(? ? ? )sin ? ,即 tan(? ? ? ) ? 2 tan ? .………(5 分) ∴
x? y tan ? ? tan ? x x ? 2 x ,解得 y ? ;∴ f ( x) ? .…(10 分) ? 2 tan ? 即 2 1 ? xy 1 ? tan ? tan ? 1 ? 2x 1 ? 2 x2

2 (2)因为 an ?1 ? 2an ? f ( an ) ?

2an 2 , 1 ? 2an 2

所以

1 a
2 n ?1

?

1 1 1 1 ? 1 ,即 2 ? 2 ? ( 2 ? 2) ;…………………………(15 分) 2 2 an 2 an an ?1

因此, { 所以

1 1 ? 2} 是首项为 2,公比为 的等比数列; 2 an 2

1 1 ? 2 ? 2( ) n ?1 ,故 an ? 2 2 an

2n ? 2 .……………………………(20 分) 2 ?1
n ?1

13.如图, ?ABC 的内心为 I ,过点 A 作直线 BI 的垂线,垂足为 H ,设 D 、 E 分别为内切圆 I 与 边 BC 、 CA 的切点,求证: D 、 H 、 E 三点共线.
A A

E I I

E K

H

H

B

D

C

B

D

C

证法 1:如图,设直线 BI 与 CA 边相交于 K 点,连结 AI 、 DI 、 EI 、 DH 、 EH ; ∵ ?BDI ? ?AHD , ?IBD ? ?ABH ;∴ ?IBD ~ ?ABH ; BD IB BD HB 有: ,即 ;…………………………………………(5 分) ? ? BH AB BI AB 又∵ ?HBD ? ?ABI ,∴ ?HBD ~ ?ABI ,有 ?BHD ? ?BAI .① …(10 分) ∵ ?AEI ? ?AHI ? 90? ;
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2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题五

先做后对答案

∴ A 、 E 、 H 、 I 四点共圆,有 ?EHK ? ?EAI .② 由①、②及 ?BAI ? ?EAI ,得 ?BHD ? ?EHK ; ∴ D 、 H 、 E 三点共线. ………………………………………………(20 分) 证法 2:如图,连结 DE 、 EH 、 AI 、 EI ;∵ ?AEI ? ?AHI ? 90? , ∴ A 、 E 、 H 、 I 四点共圆,有 ?AEH ? ?AIB ;……………………(5 分) 又∵ I 为 ?ABC 的内心,∴ ?AIB ? 90? ? 1 ?C ; 2 从而 ?AEH ? 90? ? 1 ?C .…………………………………………………(10 分) 2 ∵ CD ? CE ,∴ ?DEC ? 1 (180? ? ?C) ? 90? ? 1 ?C ; 2 2 ∴ ?AEH ??DEC ? 180?;∴ D 、 H 、 E 三点共线. …………………(20 分) 14.如图,已知抛物线 C : y 2 ? 4 px ( p ? 0) , F 为 C 的焦点, l 为准线,且 l 与 x 轴的交点为 E , 过点 F 任意作一条直线交抛物线 C 于 A 、 B 两点; (1)若 AF ? ? FB (? ? 0) ;求证: EF ? ( EA ? ? EB) ; (2)设 M 为线段 AB 的中点, p 为奇素数,且点 M 到 x 轴的距离和点 M 到准线 l 的距离均为 非零整数;求证:点 M 到坐标原点的距离不可能是整数. 解: (1)法 1:点 F 的坐标为 ( p, 0) , 设直线 l 的方程为 x ? my ? p ,代入 y 2 ? 4 px ; 得: y 2 ? 4 pmy ? 4 p 2 ? 0 ;………① 设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,则 y1 、 y 2 是方程①的两个根, 有 y1 ? y2 ? 4 pm, y1 y2 ? ?4 p 2 ;由 AF ? ? FB ,得 ? ? ? ∵ EA ? ? EB ? ( x1 ? p, y1 ) ? ? ( x2 ? p, y2 ) ? ( x1 ? ? x2 ? p(1 ? ? ), y1 ? ? y2 ) 又 EF ? (2 p, 0) , x1 ?
y12 y2 , x2 ? 2 ; 4p 4p y12 y1 y2 2 y ? ? ? p(1 ? 1 )] 4 p y2 4 p y2
y1 ; y2

∴ EF ? ( EA ? ? EB) ? 2 p[ x1 ? ? x2 ? p (1 ? ? )] ? 2 p[
?

2 p 2 ( y1 ? y2 ) y y ? 4 p2 1 2 1 y1 ? y1 y2 ? ? ( y1 ? y2 ) 1 2 ? 0 ,∴ EF ? ( EA ? ? EB) .……(10 分) 2 2 y2 2 y2

法 2:如图,设点 A 、 B 在准线 l 上的射影分别为 A1 、 B1 , 则 | AF |?| AA1 | 、 | BF |?| BB1 | ,从而 AF ? ? FB ,得 A1 A ? ? B1 B ; ∵ EA ? EA1 ? A1 A, EB ? EB1 ? B1B ,∴ EA ? ? EB ? EA1 ? ? EB1 ; 又∵ EF ? ( EA1 ? ? EB1 ) ,∴ EF ? ( EA1 ? ? EB1 ) ? 0 ; ∴ EF ? ( EA ? ? EB) ? 0 ,即 EF ? ( EA ? ? EB) .……………………(10 分) (2)设 M ( x, y ) ,依题意 x 、 y 均为非零整数,由对称性,不妨设 x、y ? N * ,

y1 ? y2 ? 2 pm ,……②;∵点 M 在直线 AB 上,∴ x ? my ? p ;…………③ 2 由②、③消去 m ,得 y 2 ? 2 p( x ? p) ;……………④
则y? 假设 | OM |? r 为正整数,则 x 2 ? y 2 ? r 2 ;…………⑤ ∵ p 为奇质数,∴由④知, p | y ,从而 p | x ;于是,由⑤知 p | r . 令 x ? px1 , y ? py1 , r ? pr1 , ( x1、y1、r1 ? N *) ,则有 y12 ? 2( x1 ? 1) , x12 ? y12 ? r12 ; 消去 y1 ,得 x12 ? 2 x1 ? r12 ? 2 ;即 ( x1 ? 1 ? r1 )( x1 ? 1 ? r1 ) ? 3 ? 3 ?1 ; 又 x1 ? 1 ? r1 与 x1 ? 1 ? r1 有相同的奇偶性,且 x1 ? 1 ? r1 ? x1 ? 1 ? r1 ,
8

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题五

先做后对答案

? x1 ? 1 ? r1 ? 3 ?x ? 1 ∴? ,解得 ? 1 ;从而 y1 ? 0 ,于是 y ? 0 ,这与 y 为正整数矛盾; ? x1 ? 1 ? r1 ? 1 ?r1 ? 1 故点 M 到坐标原点 O 的距离不可能是整数.

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