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2011高考二轮复习文科数学专题一:第二讲《函数、基本初等函数的图象与性质》


集合、 专题一 集合、常用逻辑 用语、 用语、函数与导数

函数、 第二讲 函数、基本初等函数的图象与性质

考点整合

函数与映射的概念问题 考纲点击 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和 值域;了解映射的概念. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择适当的方法(如 图象法、列表法、解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数,并能简单应用.

基础梳理 一、函数与映射 1.函数 (1)函数的概念:函数实质上是从非空数集A到非空数集B 的一个特殊________,记作________,其中x的取值范围A叫 做这个函数的________,f(x)的集合C叫函数的________,B 与C的关系是________,我们将f、A、C叫做函数的三要素, 但要注意,函数定义中A,B是两个非空________,而映射中 两个集合A、B是任意的非空集合. (2)函数的表示方法 函数表示方法有________、________、________. 2.映射 映射A→B中两集合的元素的关系是一对一或多对一,但 不可一对多,且集合B中元素可以没有对应元素,但A中元素 在B中必须有________确定的对应元素.

答案: 1.(1)映射 y=f(x),x∈A 定义域 值域 ? C?B 数集 (2)图象法 列表法 解析法 2.惟一

整合训练 1.(1)下列说法中,不正确的是( ) A.函数值域中每一个数都有定义域中的至少一个数与之对应 B.函数的定义域和值域一定是无限集合 C.定义域和对应关系确定后,函数的值域也就确定了 D.若函数的定义域只有一个元素,则值域也只有一个元素 (2)(2010年重庆卷)函数y= 16-4x 的值域是( ) A.[0,+∞) B.[0,4] C.[0,4) D.(0,4)

答案: 答案:(1)B (2)C

函数的性质问题 考纲点击 1.理解函数的单调性、最大(小)值以及几何意义;结合 具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数图象理解和研究函数的性质.

基础梳理 二、函数的性质 1.函数的单调性与最值 (1)单调性:对于定义域内某一区间D内任意的x1,x2且x1 <x2(或Δx=x1-x2<0), ? ①若f(x1)<f(x2)(或Δy=f(x1)-f(x2)<0)恒成立? f(x)在D上________; ? ②若f(x1)>f(x2)(或Δy=f(x1)-f(x2)>0)恒成立? f(x)在D上________. (2)最值:设函数y=f(x)的定义域为I, ①如果存在实数M满足:对任意的x∈I,都有________且 存在________,使得________,那么称M是函数y=f(x)的最大 值; ②如果存在实数M满足:对任意x∈I,都有________,且 存在________,使得________,那么称M是函数y=f(x)的最小 值.

2.函数的奇偶性 (1)定义:对于定义域内的任意x,有: ? ①f(-x)=-f(x)? f(x)为________; ②f(-x)=f(x)? f(x)为________. ? (2)性质 ①函数y=f(x)是偶函数? y=f(x)的图象关于________对 ? ? 称.函数y=f(x)是奇函数? y=f(x)图象关于________对称. ②奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性 ________,且在x=0处有定义时必有f(0)=________,即f(x)的 图象过________. ③偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性 ________.

3.周期性 (1)定义 对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取 定义域内的任何值时,都有f(x+T)=________,那么就称函 数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)性质:如果T是函数y=f(x)的周期,则: ①kT(k≠0,k∈Z)也是y=f(x)的周期; ②若已知区间[m,n](m<n)上的图象,则可画出区间[m+ kT,n+kT](k∈Z且k≠0)上的图象. 答案:1.(1)①单调递增 ②单调递减 答案: (2)①f(x)≤M x0∈I f(x0)=M ②f(x)≥M x0∈I f(x0)=M 2.(1)①奇函数 ②偶函数 (2)①y轴 0 原点 ③相反 3.(1)f(x)

原点

②相同

整合训练 2.(1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时, f(x)=2x,则f(-2)=( ) 1 1 A. 4 B.-4 C.- 4 1 D.4 (2)(2010年北京卷)给定函数 ① y= x 2, ② y= log 1 ( x +1),
2

③y=|x-1|,④y=2x+1,其中在区间(0,1)上单调递减的函数 序号是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④

答案:(1)B (2)B 答案:

函数的图象问题 考纲点击 1.掌握指数函数图象通过的特殊点. 2.掌握对数函数图象通过的特殊点. 1 2,y=x3, = 1 ,y=x 2 的图象,了 y 3.结合函数y=x,y=x x 解它们的变化情况.

基础梳理 三、函数的图象 1.基本初等函数的图象 基本初等函数包括:一次函数、二次函数、反比例函数、 指数函数、对数函数、三角函数.对于这些函数的图象应非常 清楚. 2.函数图象的画法 (1)描点法作图 通过________、________、________三个步骤画出函数的 图象. (2)图象变换法作图 ①平移变换 a.y=f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位得到函数 ________的图象.

b.y=f(x-b)(b>0)的图象可由y=f(x)的图象向 ________. 对于左、右平移变换,往往容易出错,在实际判断中可熟 记口诀:左加右减. 而对于上、下平移,相比较则容易掌握,原则是:上加下 减,但要注意的是加、减指的是在f(x)整体上. ②对称变换(在f(-x)有意义的前提下) a.y=f(-x)与y=f(x)的图象________对称; b.y=-f(x)与y=f(x)的图象________对称; c.y=-f(-x)与y=f(x)的图象________对称; d.y=|f(x)|的图象可将y=f(x)的图象在x轴下方的部分 ________,其余部分不变; e.y=f(|x|)的图象;可先作出y=f(x)当x≥0时的图象, 再利用偶函数的图象关于y轴对称,作出________的图象.

③伸缩变换 a.y=Af(x)(A>0)的图象,可将y=f(x)的图象上所有点 的________变为原来的A倍,横坐标不变而得到; b.y=f(ax)(a>0) 的图象,可将y=f(x)的图象上所有 1 点的________变为原来的 a 倍,________不变而得到. 答案: 答案: 2.(1)列表 描点 连线 (2)①a.y=f(x+a) b.右平移b个单位得到 ②a.关于y轴 b.关于x轴 c.关于原点 d.关于x轴旋转180° e.y=f(x)(x<0) ③a.纵坐标 b.横坐标 纵坐标

整合训练 3.(1)函数y=x|x|的图象大致是( )

(2)(2010年山东卷)函数y=2x-x2的图象大致是(

)

答案:(1)C (2)A

基本初等函数的图象和性质问题 考纲点击 1.理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指 数函数图象通过的特殊点. 2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对 数函数图象通过的特殊点.了解指数函数y=ax与对数函数y =logax互为反函数(a>0,a≠1). 1 1 y 3.了解函数y=x,y=x2,y=x3, = x ,y=x 2 的图象及变化 情况.

基础梳理 四、指数函数与对函数的图象和性质 指数函数 形如①______的函 数叫指数函数 对数函数 形如②______的函 数叫对数函数

定义

图象

定义域 值域

③______ ⑤______

④______ ⑥______

⑦______ 0<a<1时,在R上 R ⑨______. 单调性 a>1时,在R上 ○ R 11 ______. 0<a<1, 13 ○ 当x>0时, ______; 14 ○ 当x<0时,______. 函数值 性质 a>1, 17 ○ 当x>0时, ______; 18 ○ 当x<0时, ______.

过定点

⑧______ 0<a<1时,在(0,+∞)上 是⑩______. 12 a>1时,在(0,+∞)上是○ ______. 0<a<1, 15 ○ 当x>1时, ______; 16 ○ 当0<x<1时, ____. 19 ○ a>1,当x>1时, ______; 20 ○ 当0<x<1时, ______.

答案: 答案: ①y=ax(a>0,且a≠1) ②y=logax(a>0,且a≠1) ③R ④(0,+∞) ⑤(0,+∞) ⑥R 12 11单调递增 ○ ⑦(0,1) ⑧(1,0) ⑨单调递减 ⑩减函数 ○ 130<y<1 14 15 ○y>1 ○y<0 增函数 ○ 19 20y<0 180<y<1 ○y>0 ○ 17 16 ○y>0 ○y>1 ○

整合训练 4.(1)(2009年广东卷)若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0, 且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)=( ) 1 A.log2x B. 2x C.Log 1x D.2x-2 2 (2)(2010年广东卷)函数f(x)=lg(x-1)的定义域是 ( ) A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.[1,+∞) D.[2, +∞)

答案: 答案:(1)A (2)B

高分突破

函数与映射的概念问题 设函数f(x)=
15 A. 16
? 1- x 2 ? ? 2 ? ? x + x- 2

(x≤ 1) (x> 1)

? 1 ? ,则f ?f(2)?的值为(

)

27 B.- 16

8 C. 9

D.18

思路点拨: 思路点拨:本题可以根据已知条件先确定f(2)的值,然 ? 1 ? 后再求f ?f(2)? 的值. ? 1- x 2 (x≤ 1) ? 解析: , 解析:∵f(x)=? 2
? x + x- 2 ?

(x> 1)

1 1 ∴f(2)=22+2-2=4,则 f(2)= 4 , 1 1 ∴f? 1 ? =f?4? =1- ?4?2=15 . ? ? ? ? 16 ?f(2)? 答案: 答案:A

跟踪训练 1.(2010年湖北卷)已知函数f(x)=
? ? 1 ?? f? f ? 9 ? ? =( ? ? ??

?log3x,x>0 ? ? x ?2 ,x≤0 ?

,则

) B.
1 4

A.4

C.-4

D.-

1 4

答案:B

函数的性质问题
? 1 (x<1) ?1-x 设k∈R,函数f(x)=? ?- x-1 (x≥1) ?

,F(x)=f(x)-

kx,x∈R.试讨论函数F(x)的单调性. 思路点拨: 思路点拨:本题可以分k=0,k>0,k<0三种情况讨论, 对于k=0,及k>0中x≥1,k<0中x<1,可用基本初等函数 单调性直接判断,而对于k>0中,x<1,k<0中x≥1,需用 导数法判断. 解析: 解析:F(x)=f(x)-kx
? 1 -kx (x<1) ?1-x =? , ?- x-1-kx (x≥1) ?

?(1-x) -k ? F′(x)=? 1 ?-2 x-1-k ?
1
2

(x<1) (x≥1)

,

对于F(x)=1-x -kx(x<1), 当k≤0时,函数F(x)在(-∞,1)上是增函数; 1 1 ? 上是减函数,在?1- ,1? 当k>0时,函数F(x)在?-∞,1- k ? ? k? ? 上是增函数; 对于F(x)=- x-1 -kx(x≥1), 当k≥0时,函数F(x)在[1,+∞)上是减函数; 当k<0时,函数F(x)在?1,1+ 1 2?上减函数,
?
4k ?

1

?1+ 1 2,+∞? 在? 4k ? 上是增函数.

跟踪训练 2.证明函数f(x)=-x3+1是R上的减函数. 证明: 证明:设x1、x2∈(-∞,+∞),且x1<x2, 3 则f (x1 )-f (x 2 )=(-x1+1)-(-x 3+1) 2
3 =x 3-x1 2 2 2 =(x 2-x1 )(x 2+x 2 x1+x1 )

1 2 3 2 =(x 2-x1 )[(x 2+ x1 ) + x1 . 2 4 由x1<x2,则x2-x1>0, 得f(x1)-f(x2)>0, 所以f(x1)>f(x2). 所以f(x)=-x3+1在R上是减函数.

函数的图象问题
?-π<x<π? 函数y=ln cos x ? 2 2? 的图象是(

)

思路点拨:本题可以先判断函数奇偶性,由奇偶函数图象 思路点拨: 性质,初步作出判断,再利用对数函数性质最终作出判断. 解析: 解析:∵f(x)=ln cos x, f(-x)=ln cos (-x)=ln cos x,∴f(x)=f(-x), ∴f(x)是偶函数,图象关于y轴对称. 又∵0<cos x≤1,∴ln cos x≤0,∴选A. 答案: 答案:A

跟踪训练 3.作出下列函数的图象. ①y=|log2x|; ②y=x2-2|x|-1.
?log2x ? 解析:①y=|log2x|= ? ? ?-log2x

(x≥1), (0<x<1).

函数的图象如图:

?x2-2x-1(x≥0), ? 2-2|x|-1可化为y= ? ②y=x 2 ?x +2x-1(x<0). ?

?(x-1)2-2(x≥0), 即y=? 函数的图象如图: ? 2 ?(x+1) -2(x<0). ?

基本初等函数的图象和性质问题
??1?x, ? x≤0 已知函数f(x)= ??2? , ?log2(x+2), x>0 ?

若f(x0)≥2,则x0的取值范围是________. 思路点拨:本题可以分x0≤0,x0>0两种情况讨论,分 思路点拨: 别得到简单的指数、对数不等式,再根据幂和对数运算性质 转化为同底数幂值、对数值比较大小,最后用指数、对数函 数单调性求解.

?1 ? ? 解析: 解析:当x0≤0时,f(x0)≥2化为? 2 ? ?

x0

≥2,

?1 ? ? ? 即:2 ? ?

x0

,∴x0≤-1. 当x0>0时,f(x0)≥2化为log2(x0+2)≥2, 即log2(x0+2)≥log24,∴x0+2≥4,∴x0≥2, ∴x0的取值范围是(-∞,-1]∪[2,+∞). 答案: 答案:(-∞,-1]∪[2,+∞)

?1? ? ≥? 2 ? ?

?1

跟踪训练 4.如右图,在边长为4的正方形 ABCD的边上有动点P,从B点开始,沿折 线BCDA向A点运动,设点P移动的路程为 x ,△ABP面积为S. (1)求函数S=f(x)的解析式、定义 域和值域; (2)求f[f(3)]的值. 解析:(1)如下图所示, 解析:

S ABP1 1 S ABP2 =2 ×4×4=8,4<x≤8;

=2 ×4×x=2x,0<x≤4;

1

S

? S=f(x)=?8 (4<x≤8) ?24-2x ( (8<x<12) ) ?

1 ABP3 = 2×4×(12-x)=24-2x,8<x<12. (0<x≤4) ?2x

.

定义域为(0,12); 值域为(0,8)∪{8}∪(0,8)=(0,8] ; (2)f[f(3)]=f(6)=8.



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