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高中数学


(数学选修 2--3) 第一章

计数原理

[综合训练 B 组]
一、选择题
1.由数字 1 、 2 、 3 、 4 、 5 组成没有重复数字的五位数, 其中小于 5 0 0 0 0 的偶数共有( ) A. 6 0 个 B. 4 8 个 C. 3 6 个 D. 2 4 个 2. 3 张不同的电影票全部分给 10 个人,每人至多一张,则有 不同分法的种数是( ) A. 1260 B. 1 2 0 C. 240 D. 720 3. n ? N 且 n ? 5 5 ,则乘积 (55 ? n )(56 ? n ) ? (69 ? n ) 等于 A. A 6 9 ? n C. A5 5 ? n
15 55 ? n

B. A6 9 ? n D. A6 9 ? n
14

15

4.从字母 a , b , c , d , e , f 中选出 4 个数字排成一列,其中一定要选出 a 和 b , 并且必须相邻( a 在 b 的前面) ,共有排列方法( )种. A. 3 6 B. 7 2 C. 9 0 D. 1 4 4 5.从不同号码的 5 双鞋中任取 4 只,其中恰好有 1 双的取法种数为( A. 1 2 0 B. 240 C. 280 D. 6 0 6.把 ( 3 i ? x ) 把二项式定理展开,展开式的第 8 项的系数是(
10





A. 1 3 5 C. ? 3 6 0 3i
1 ? ? 7. ? 2 x ? ? 2x ? ?
2n

B. ? 1 3 5 D. 3 6 0 3i

的展开式中, x 的系数是 224 ,

2

则 A. 14 C. 5 6

1 x
2

的系数是( B. 2 8 D. 1 1 2
3 10



8.在 (1 ? x )(1 ? x ) 的展开中, x 的系数是(
5



A. ? 2 9 7 C. 297

B. ? 2 5 2 D. 207
用心 爱心 专心 -1-

二、填空题
1. n 个人参加某项资格考试,能否通过,有 种可能的结果? 23 9 2.以 1,,? , 这几个数中任取 4 个数,使它们的和为奇数,则共有 种不同取法.

3. 已知集合 S ? ? ? 1, 0,1? , P ? ?1, 2, 3, 4 ? ,从集合 S , P 中各取一个元素作为点的坐标,可作 出不同的点共有_____个. 4. n , k ? N 且 n ? k , 若 C k ?1 : C k : C k ? 1 ? 1 : 2 : 3, 则 n ? k ? ______.
n n n

1 ? ? 5. ? x ? ? 1 ? 展开式中的常数项有 x ? ?

5

6.在 5 0 件产品 n 中有 4 件是次品,从中任意抽了 5 件,至少有 3 件是次品的抽法共有 ______________种(用数字作答). 7. ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? ( x ? 1) 的展开式中的 x 的系数是___________
2 3 4 5
3

8. A ? ?1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ? ,则含有五个元素,且其中至少有两个偶数的子集个数为_____. 三、解答题 1.集合 A 中有 7 个元素,集合 B 中有 10 个元素,集合 A ? B 中有 4 个元素,集合 C 满足 (1) C 有 3 个元素; (2) C
A ? B

(3) C ? B ? ? , C ? A ? ? 求这样的集合 C 的集合个数.

2.计算: (1) ? C1 0 0 ? C 1 0 0 ? ? A1 0 1 ;
2 97 3

(2) C 3 ? C 4 ? ? ? C 1 0 .
3 3 3

用心

爱心

专心

-2-

(3)

C n ?1 C
m n

m

?

Cn

n ? m ?1 n?m

Cn

3.证明: A n ? m An
m

m ?1

? An ? 1 .
m

4.求 ( x ?

1 x

? 2 ) 展开式中的常数项。
3

5.从 ? ? 3, ? 2, ? 1, 0,1, 2, 3, 4

? 中任选三个不同元素作为二次函数 y

? a x ? b x ? c 的系数,问能
2

组成多少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线?

6. 8 张椅子排成,有 4 个人就座,每人 1 个座位,恰有 3 个连续空位的坐法共有多少种?

用心

爱心

专心

-3-

数学选修 2-3 第一章
一、选择题 1.C 2.D 3.B 4.A
1 1 3

计数原理
1 1 3

[综合训练 B 组]

个位 A 2 ,万位 A3 ,其余 A 3 ,共计 A2 A3 A3 ? 3 6 相当于 3 个元素排 10 个位置, A1 0 ? 7 2 0
3

从 5 5 ? n 到 6 9 ? n 共计有 15 个正整数,即 A6 9 ? n
15

从 c , d , e , f 中选 2 个,有 C 4 ,把 a , b 看成一个整体,则 3 个元素全排列, A 3 共计 C 4 A3 ? 3 6
2 3

2

3

5.A

先从 5 双鞋中任取 1 双,有 C 5 ,再从 8 只鞋中任取 2 只,即 C 8 ,但需要排除
4 种成双的情况,即 C 8 ? 4 ,则共计 C 5 ( C 8 ? 4 ) ? 1 2 0
2 1 2

1

2

6.D 7.A

T8 ? C 1 0 ( 3 i ) ( ? x ) ? 3 6 0 3 ix ,系数为 3 6 0 3i
7 3 7 7

Tr ?1 ? C 2 n ( 2 x )
r

2n?r

(

1 2x

) ? 2
r

2n?r

C 2n x

r

2n?2r

,令 2 n ? 2 r ? 2, r ? n ? 1
C8 4
5

3

2 n ?1 n ?1 则 2 C 2 n ? 2 2 4, C 2 n ? 5 6, n ? 4 ,再令 8 ? 2 r ? ? 2, r ? 5, T 6 ?

x

?2

?

14 x
2

8.D

(1 ? x )(1 ? x )
3

10

? (1 ? x )

10

? x (1 ? x )
3

10

? ( C 1 0 ? C 1 0 ) x ? ... ? 207 x ? ...
5 2 5

二、填空题 1. 2
n

每个人都有通过或不通过 2 种可能,共计有 2 ? 2 ? ... ? 2( n 个 2) ? 2
1 3 3 1

n

2. 6 0 3. 2 3 4. 3

四个整数和为奇数分两类:一奇三偶或三奇一偶,即 C 5 C 4 ? C 5 C 4 ? 6 0
C 3 C 4 A2 ? 1 ? 2 3 ,其中 (1,1) 重复了一次
1 1 2

n ? 1, k ? 2

5. ? 5 1

1 1 5?r 1 5?r ? ? 5 r ? ( x ? ) ? 1 ? 的通项为 C r ( x ? ) ( ? 1) , 其中 ( x ? ) 的通项为 x x x ? ?
C 5? r x
r
'

5

5?r ? 2 r

'

,所以通项为 ( ? 1) C 5 C 5 ? r x
r r r

'

5? r ? 2 r

'

,令 5 ? r ? 2 r ? 0
'

得r ?
'

5?r 2

,当 r ? 1 时, r ? 2 ,得常数为 ? 30 ;当 r ? 3 时, r ? 1 ,得常数为 ? 20 ;
' '
'

当 r ? 5 时, r ? 0 ,得常数为 ? 1 ;? ? 30 ? ( ? 20) ? ( ? 1) ? ? 51

用心

爱心

专心

-4-

6. 4 1 8 6

3 件次品,或 4 件次品, C 4 C 4 6 ? C 4 C 4 6 ? 4 1 8 6
3 2 4 1

7. 15

原式 ?

( x ? 1)[1 ? ( x ? 1) ]
5

1 ? ( x ? 1)
2 4

?

( x ? 1) ? ( x ? 1) x
3

6

, ( x ? 1) 中含有 x 的项是
6

4

C 6 x ( ? 1) ? 1 5 x ,所以展开式中的 x 的系数是 15
2 4

8. 1 0 5

直接法:分三类,在 4 个偶数中分别选 2 个, 3 个, 4 个偶数,其余选奇数,
C 4 C 5 ? C 4 C 5 ? C 4 C 5 ? 1 0 5 ;间接法: C 9 ? C 5 ? C 5 C 4 ? 1 0 5
2 3 3 2 4 1 5 5 4 1

三、解答题 1.解: A ? B 中有元素 7 ? 10 ? 4 ? 13
C 13 ? C 6 ? C 3 ? 286 ? 20 ? 1 ? 265 。
3 3 3

2.解: (1)原式 ? ( C 1 0 0 ? C 1 0 0 ) ? A1 0 1 ? C 1 0 1 ? A1 0 1 ?
2 3 3 3 3

A1 0 1 A3
4
3

3

? A1 0 1 ? 1 ? A3 ?
3 3

1 6



(2)原式 ? C 3 ? C 5 ? C 4 ? C 6 ? C 5 ? ? ? C11 ? C10 ? C11 ? 3 3 0 。
3 4 4 4 4 4 4

另一方法: 原 式 ? C 4 ? C 4 ? C 5 ? ? ? C 1 0 ? C 5 ? ? C 1 0
4 3 3 3 3 3

? C 6 ? C 6 ? ? ? C10 ? ? ? C10 ? C10 ? C11 ? 3 3 0
4 3 3 4 3 4

(3)原式 ?

Cn ? Cn
m

m ?1

C
n! (n ? m )!

m n

?

Cn

m ?1 m

? 1?

Cn C

m ?1 m n

?

Cn

m ?1 m

?1

Cn
m ?n!

Cn

3.证明:左边 ?

?

( n ? m ? 1) !

?

( n ? m ? 1) ? n !? m ? n ! ( n ? m ? 1) !

?

( n ? 1) ! [( n ? 1) ? m ]!

? A n ? 1 ? 右边
m

所以等式成立。 4.解: ( x ?
1 x ? 2) ?
3

(1 ? x ) x
3

6

,在 (1 ? x ) 中, x 的系数 C 6 ( ? 1) ? ? 2 0
6
3 3

3

就是展开式中的常数项。 另一方法: 原 式 ? (
x ? 1 x ) , T 4 ? C 6 ( ? 1) ? ? 2 0
6
3 3

5.解:抛物线经过原点,得 c ? 0 , 当顶点在第一象限时, a ? 0, ?
?a ? 0 1 1 ? 0, 即 ? ,则有 C 3 C 4 种; b ?0 2a ? b

用心

爱心

专心

-5-

当顶点在第三象限时, a ? 0, ?

?a ? 0 2 ? 0, 即 ? ,则有 A 4 种; b ?0 2a ? b

共计有 C 3 C 4 ? A 4 ? 2 4 种。
1 1 2

6.解:把 4 个人先排,有 A 4 ,且形成了 5 个缝隙位置,再把连续的 3 个空位和 1 个空位 当成两个不同的元素去排 5 个缝隙位置,有 A 5 ,所以共计有 A4 A5 ? 4 8 0 种。
2 4 2

4

用心

爱心

专心

-6-


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