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2011高考数学总复习


长垣一中 张行知 暑假辅导专题

双曲线练习题
班级 姓名 学号

2010、12、14.

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.θ 是第三象限角,方程 x2+y 2sinθ =cosθ 表示的曲线是 A.焦点在 x 轴上的椭圆 C.焦点在 x 轴上的双曲线 B.焦点在 y 轴上的椭圆 D.焦点在 y 轴上的双曲线 ( ) ( )

2. “ab<0”是“方程 ax2+by 2 =c 表示双曲线”的 A.必要不充分条件 C.充要条件

B.充分不必要条件 D.非充分非必要条件 ( D.椭圆 ( ) )

3.一动圆与两圆:x2+y 2=1 和 x2+y 2-8x+12=0 都外切,则动圆心的轨迹为 A.抛物线 B.圆 C.双曲线的一支

4.双曲线虚半轴长为 5 ,焦距为 6,则双曲线离心率是 A.

5 3

B.

3 5

C.

3 2

D.

2 3
( )

5.过点 P(2,-2)且与

x2 2 -y =1 有相同渐近线的双曲线方程是 2
B.

A.

y2 x2 ? ?1 2 4 y2 x2 ? ?1 4 2

x2 y2 ? ?1 4 2 x2 y2 ? ?1 2 4


C.

D.

x2 y2 ? ? 1 右支上一点 P 到右准线距离为 18,则点 P 到右焦点距离为( 6.双曲线 16 9
A.

45 2

B.

58 5

C.

29 2

D.

32 5


7.过双曲线 x2A.1 条

y2 =1 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若|AB|=4,这样的直线有 ( 2
B.2 条 C.3 条 ( ) D.y =± D.4 条

8.双曲线 3x2-y 2=3 的渐近线方程是 A.y =±3x B.y =±

1 x 3

C.y =± 3 x

3 x 3


9.双曲线虚轴的一个端点为 M,两个焦点为 F1、F2,∠F1MF2=120°,则双曲线的离心率为 (
-1-

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A. 3

B.

6 2

C.

6 3

D.

3 3

2 2 10.设双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 (0<a<b)的半焦距为 c,直线 l 过(a,0) , (0,b)两点,已知原点到直线 l 的 a b

距离为

3 c,则双曲线的离心率为 4
B. 3





A.2

C. 2

D.

2 3 3

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 11.

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则实数 t 的取值范围是 4 ? t t ?1
x2 y2 ? ? ?1 的准线方程是 16 9



12.双曲线

. .

13.焦点为 F1(-4,0)和 F2(4,0) ,离心率为 2 的双曲线的方程是

x2 y2 ? ? 1 的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离 14.设圆过双曲线 9 16
是 三、解答题(本大题共 6 小题,共 76 分) 15.已知双曲线与椭圆 .

x2 y2 4 ? ? 1 共焦点,且以 y ? ? x 为渐近线,求双曲线方程.(12 分) 3 49 24

16.双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴上,两准线间距离为 点的横坐标是 ?

9 1 ,并且与直线 y ? ( x ? 4) 相交所得弦的中 2 3

2 ,求这个双曲线方程.(12 分) 3

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17.某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其中 A、A′是双曲线的顶点,C、C′是冷却塔上口直径的两个端点,B、B′是下底直径的两个端点,已知 AA′=14m,CC′=18m,BB′=22m,塔高 20m.建立坐标系并写出该双曲线方程.(12 分)

C' A'

18m 14m

C A 20m

B'

22m

B

18. F1、 F2 是 双曲线

y2 x2 ? ? 1的两个焦点, M 是双曲线上一点, 且 MF 求三角形△F1MF2 1 ? MF 2 ? 32 , 9 16

的面积. (12 分)

-3-

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19.一炮弹在 A 处的东偏北 60°的某处爆炸,在 A 处测到爆炸信号的时间比在 B 处早 4 秒,已知 A 在 B 的正东方、相距 6 千米, P 为爆炸地点, (该信号的传播速度为每秒 1 千米)求 A、P 两地的距离.(14 分)

20.如图,已知梯形 ABCD 中|AB|=2|CD|,点 E 分有向线段 AC 所成的比为 且以 A、B 为焦点.求双曲线的离心率.(14 分)

? ??

8 ,双曲线过 C、D、E 三点, 11

D E A

C B

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参考答案
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 C 5 A 6 A 7 C 8 C 9 B 10 A

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 11.t>4 或 t<1 12.y=

?

9 5

13.

x2 y2 ? ?1 4 12

14.

16 3

三、解答题(本大题共 6 题,共 76 分) 15.(12 分) [解析]:由椭圆

x2 y2 ? ?1? c ? 5. 49 24
2 ? ?a ? 9 故所求双曲线方程为 x 2 y 2 ?? 2 ? ?1 9 16 ? b ? 16 ? ?a ? b ? 25

设双曲线方程为

4 ?b x2 y2 ? ?? ,则 ? ? 1 a 3 ? a2 b2 2 ? 2

16.(12 分) [解析]:设双曲线方程为
2

x2 y2 ? ?1 a2 b2

(a>0,b>0) ,

∵两准线间距离为

9 9 a 9 9 2 2 2 ,∴ 2 ? = ,得 a ? c, b ? c ? c 4 4 c 2 2
得 (b 2



? x2 y2 ? 2 ? 2 ?1 b ∵双曲线与直线相交,由方程组 ? a ? ? y ? 1 ( x ? 4) ? 3 ?

?

a2 2 8 2 16 ) x ? a x ? (b 2 ? )a 2 ? 0 , 9 9 9

a2 ? 0 ,且 x1 ? x2 ? ? 由题意可知 b ? 9 2
2

8 2 a 2 2 2 9 ? ? ? 7a ? 9b 2 a 3 2(b 2 ? ) 9
x2 y2 ? ? 1. 9 7



联立①②解得: a 2 ? 9 , b 2 ? 7 17. (12 分)

所以双曲线方程为

[解析]: (I ) 如图建立直角坐标系 xOy, AA′在 x 轴上, AA′的中点为坐标原点 O, CC′与 BB′平行于 x 轴. 设

x2 y2 双曲线方程为 ? ? 1(a ? 0, b ? 0), a2 b2
则 a ? 1 AA? ? 7. 又设 B(11,y1) ,C(9,y2) ,因为点 B、C 在双曲线上, 2 所以有 11 ? 2
2

C'

y

C

A'

O

A

x

7

y12 ? 1, b2




B'
由题意知

B

2 92 y2 ? ? 1, 72 b2

y2 ? y1 ? 20.



由①、②、③得 y1 ? ?12, y2 ? 8, b ? 7 2. 18. (12 分)

故双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1. 49 98

[解析]:由题意可得双曲线的两个焦点是 F1(0,-5) 、F2(0,5) , 得 MF 1 ? MF 2 ? 32

由双曲线定义得: MF1 ? MF2 ? 6 ,联立

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2 2 1 MF1 + MF2 =100= F1 F2 , 所以△F1MF2 是直角三角形,从而其面积为 S= MF1 ? MF 2 ? 16 2

2

19.(14 分)

[解析]:以直线 AB 为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系,

则 A(3,0) 、B(-3,0)

? | PB | ? | PA |? 4 ? 1 ? 6

?a ? 2, b ? 5, c ? 3

? P是双曲线

x2 y2 ? ? 1 右支上的一点 4 5

∵P 在 A 的东偏北 60°方向,∴ k AP ? tan60? ? 3 .

∴线段 AP 所在的直线方程为 y ? 3( x ? 3)

y

P

? x2 y 2 ?1 ? ? 4 5 解方程组 ? ? ? y ? 3 ( x ? 3) ?x ? 0 ? ? ?y ? 0
即 P 点的坐标为(8, 5

?x ? 8 , 得? ?y ? 5 3

B

O

A x

3)
c 2

∴A、P 两地的距离为 AP ?

. (3 ? 8) 2 ? (0 ? 5 3 ) 2 =10(千米)

20.(14 分) [解析]:如图,以 AB 的垂直平分线为 y 轴,直线 AB 为 x 轴,建立直角坐标系,则 CD⊥Oy. 由题意可设 A(-c,0) ,C( 点公式,得点 E 的坐标为 ,h) ,B(c,0) ,其中 c 为双曲线的半焦距, c

?

xE ?

?c?

8 c 8 ? 0? ?h 8 11 2 ? ? 7 c , 11 yE ? ? h. 8 8 19 19 1? 1? 11 11

1 AB 2 y D E A O

,h 是梯形的高. 由定比分

C B x

设双曲线的方程为

c x2 y2 ? 2 ? 1 ,由离心率 e ? . 2 a a b

由点 C、E 在双曲线上,得

?1 c 2 h2 ① ? ? ? 1, h2 1 c2 ? c2 ?4 a2 b2 由①得 ? ? 2 ? 1 ,代入②得 2 ? 9 2 ? 2 2 b 4 a a ? 49 ? c ? 64 ? h ? 1. ② 2 2 ? 361 b ? 361 a

所以离心率 e ?

c2 ?3 a2

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