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【课堂设计】高二数学北师大版选修4-4课件1.2.1-1.2.2 极坐标系的概念 点的极坐标与直角坐标的互化_图文

§2 极坐标系 2 .2 2.1 极坐标系的概念 点的极坐标与直角坐标的互化 学习目标 1.能描述极坐标系,会在极坐标系中用 极坐标刻画点的位置. 2.体会并认识在极坐标系和平面直角坐标系 中刻画点的位置的区别. 3.熟悉极坐标和直角坐标相互转化公式,会 进行两坐标的转化. 思维脉络 1 2 1.极坐标系的概念 (1)极坐标系的建立. 如图,在平面内取一个定点O,叫作极点,从O点引一条射线Ox,叫作极轴,选定一 个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向).这样就确定了一个平面极坐标系, 简称为极坐标系. (2)点的极坐标的规定. ①如图,对于平面内任意一点M,用ρ表示线段OM的长,θ表示以Ox为始边、OM为 终边的角,ρ叫作点M的极径,θ叫作点M的极角,有序实数对(ρ,θ)叫作点M的极坐标,记 作M(ρ,θ). 当点M在极点时,它的极径ρ=0,极角θ可以取任意值. 1 2 ②为了研究问题方便,极径ρ也允许取负值.当ρ<0时,点M(ρ,θ)的位置可以按下列 规则确定: 作射线OP,使∠xOP=θ,在OP的反向延长线上取一点M,使|OM|=|ρ|,这样点M的 坐标就是(ρ,θ),如下图: 温馨提示 建立极坐标系的四要素是:(1)极点,(2)极轴,(3)长度单位,(4)角的正方向,四者缺 一不可. 1 2 做一做 1 在极坐标系中,与点 3, A. 3, 13π 6 π 6 重合的点是( π 6 ) C. 3, 17π 6 B. 3,? D. 3,? 5π 6 解析:当 k∈ Z 时,(ρ,θ),(ρ,θ+2kπ),( -ρ,θ+(2k+1)π)表示同一个点.因为 13π 6 = 6 +2π,所以点 3, 6 与 3, π π 13π 6 表示同一个点,即重合. 答案:A 1 2 2.点的极坐标与直角坐标的互化 (1)互化的前提条件. 如图,建立一个平面直角坐标系,把平面直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半 轴作为极轴,建立极坐标系,并且两种坐标系中取相同的单位长度. 1 2 (2)互化公式. 如上图,设 M 是平面内的任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是 (ρ,θ).如果限定 ρ 取正值,θ∈[0,2π),那么除原点外,平面内点的直角坐 标与极坐标之间就是一一对应的. = cos, ①点 M 的极坐标(ρ,θ)化为直角坐标(x,y)的公式是 = sin . 2 = 2 + 2 , ②点 M 的直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)的公式是 tan = ( ≠ 0). 1 2 做一做 2-1 点 M 的极坐标为 5, 2π 3 2π 3 5 2 ,化成直角坐标形式是 2π 3 5 5 3 2 2 . 解析:因为 x=5cos =- ,y=5sin 所以点 M 的直角坐标为 ? , 答案: ? , 2 5 5 3 2 = . 5 3 2 . 1 2 做一做 2-2 点 A 的极坐标为 ? 2,? 3 ,化成直角坐标形式是 解析:因为点 A 的极坐标可以写成 2, 所以 x=ρcos θ=2cos 3 =2× ? 2 =-1, y=ρsin θ=2sin =2× 3 2π 3 2 2π 1 2π 3 π . , = 3. 故点 A 的直角坐标为(-1, 3). 答案:(-1, 3) 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一极坐标系中点的表示 1.写点的极坐标要注意顺序;极径 ρ 在前,极角 θ 在后,不能把顺序搞 错. 2.点的极坐标是不唯一的,但若限制 ρ>0,0≤θ<2π,则除极点外,点的 极坐标是唯一确定的. 典型例题 1 在极坐标系中,下列各点中与 2, 6 不表示同一个点的是( A. 2,? C. 11π 6 11π 2, 6 π ) B. 2, D. 13π 6 23π 2,? 6 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 点评 在极坐标系中,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示同一个点.特别注意,极点O的 坐标为(0,θ)(其中θ可以取任意值).这与直角坐标系中的点与有序实数对一一对应 的关系不同,极坐标平面内的点的极坐标可以有无数多种表示. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究二极坐标系中点与点的位置关系 1.同一个点:如极坐标系中点 4, π 6 π 6 , 4, + 2π , 4, + 4π , 4, + π 6 π 6 π 6 6π , 4, ?2π ,由终边相同的角的定义可知上述点的终边相同,并 且到极点的距离相等,这样,它们就表示平面上的同一个点,实际 上, 4, + 2π (k∈ Z)都表示这个点.于是,一般地,极坐标(ρ,θ)与 (ρ,θ+2kπ)(k∈ Z)表示平面内的同一个点.特别地,极点 O 的坐标为 (0,θ)(θ∈ R),也是平面内的同一个点,这样我们就有平面内的一个点 的极坐标有无数多种表示. π 6 探究一 探究二 探究三 探究四 2.位于同一个圆上的点:如极坐标分别为(4,0), 4, 6 , 4, 3 , 4, 2 , 它们的极角不相等,也不再是终边相同的角,所有这些点在以极点为 圆心,以 4 为半径的圆上,因而(ρ,θ)(这里 ρ 为定值,θ∈[0,2π))点的轨迹 就是以极点为圆心,以 ρ 为半径的圆. 3.对称性:(ρ,θ)(θ∈[0,2π))关于极轴的对称点为(ρ,2π-θ),关于极点的 对称点为(ρ,π+θ),关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点为 (ρ,π-θ). 4.共线的点:如果极坐标为(ρ,θ),其中 θ 为常数,ρ>0,则表示与极轴成 θ 角的直线. π π π 探究一 探究二 探究三 探究四 典型例题 2 在极坐标系中,点 A 的极坐标


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