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2017-2018学年高中数学二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题+3.3.1(二)+Word版含答案

3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域(二) 学习目标 1.巩固对二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域的理解 .2.能根 据实际问题中的已知条件,找出约束条件.最新试卷十年寒窗苦,踏上高考路,心态放平和,信心要十足,面对考试卷,下笔如有神,短信送 祝福,愿你能高中,马到功自成,金榜定题名。 知识点一 二元一次不等式组所表示的平面区域 1.因为同侧同号,异侧异号,所以可以用特殊点检验,判断 Ax+By+C>0 的解集到底对应 哪个区域?当 C≠0 时,一般取原点(0,0),当 C=0 时,常取点(0,1)或(1,0). 2.二元一次不等式组的解集是组成该不等式组的各不等式解集的交集. 知识点二 约束条件 思考 一家银行的信贷部计划年初投入 25000000 元用于企业投资和个人贷款,希望这笔资 金至少可带来 30000 元的收益,其中从企业贷款中获益 12%,从个人贷款中获益 10%,假设 信贷部用于企业投资的资金为 x 元, 用于个人贷款的资金为 y 元. 那么 x 和 y 应满足哪些不 等关系? 答案 分析题意,我们可得到以下式子 x+y≤25000000, ? ?12x+10y≥3000000, ?x≥0, ? ?y≥0. 梳理 很多生产生活方案的设计要受到各种条件限制.这些限制就是所谓的约束条件. 像思考中的“用于企业投资的资金为 x 元,用于个人贷款的资金为 y 元”称为决策变量.要 表达约束条件,先要找到决策变量,然后用这些决策变量表示约束条件.同时还有像思考中 的“x≥0,y≥0”在题目中并没有明确指出,但是在生产生活中默认的条件,也要加上. 类型一 含参数的约束条件 x≥1, ? ? 例 1 已知约束条件?x+y-4≤0, ? ?kx-y≤0 ( A.1 C.0 ) 表示面积为 1 的直角三角形区域,则实数 k 的值为 B.-1 D.0 或 1 答案 A 解析 条件? ?x≥1, ? ?x+y-4≤0 ? 表示的平面区域,如图阴影部分(含边界)所示, 要使约束条件表示直角三角形区域, 直线 kx-y=0 要么垂直于直线 x=1, 要么垂直于直线 x+y-4=0, ∴k=0 或 k=1. 当 k=0 时, 直线 kx-y=0 即 y=0,交直线 x=1, x+y-4=0 于 B(1,0),C(4,0). 此时约束条件表示△ABC 及其内部, 1 1 9 其面积 S△ABC= ·|BC|·|AB|= ×3×3= ≠1. 2 2 2 同理可验证当 k=1 时符合题意. 反思与感悟 平面区域面积问题的解题思路. (1)求平面区域的面积: ①首先画出不等式组表示的平面区域, 若不能直接画出, 应利用题目的已知条件转化为不等 式组问题,从而再作出平面区域; ②对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高,若为规则的四边形(如平行四边形或梯 形),可利用面积公式直接求解,若为不规则四边形,可分割成几个三角形分别求解再求和 即可. (2)利用几何意义求解的平面区域问题,也应作出平面图形,利用数形结合的方法去求解. x-y+1≥0, ? ? 跟踪训练 1 已知不等式组?x+y-1≥0, ? ?3x-y-3≤0 表示的平面区域为 D, 若直线 y=kx+1 将区 域 D 分成面积相等的两部分,则实数 k 的值是________. 答案 1 3 解析 由题意可得 A(0,1),B(1,0),C(2,3). x-y+1≥0 ? ? 则不等式组?x+y-1≥0 ? ?3x-y-3≤0 直线 y=kx+1 过点 A. 表示的平面区域为△ABC 及其内部. 3 1 -1 2 2 1 3 3 要把△ABC 分成面积相等的两部分,需过 BC 中点 M( , ).此时 k= = = . 2 2 3 3 3 -0 2 2 类型二 不等式组表示平面区域在生活中的应用 命题角度 1 整数解 例 2 要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小 钢板的块数如下表所示: 规格类型 钢板类型 第一种钢板 第二种钢板 A 规格 2 1 B 规格 1 2 C 规格 1 3 今需要 A、B、C 三种规格的成品分别为 15、18、27 块,用数学关系式和图形表示上述要求. 解 设需要截第一种钢板 x 张,第二种钢板 y 张. ? ?x+2y≥18, 则?x+3y≥27, x∈N, ? ?y∈N. 2x+y≥15, 用图形表示以上限制条件,得到如图所示的平面区域(阴影部分)内的整点(横坐标、纵坐标 均为整数). 反思与感悟 求解不等式组在生活中的应用问题.首先要认真分析题意,设出未知量;然后 根据题中的限制条件列出不等式组.注意隐含的条件如钢板块数为自然数. 跟踪训练 2 某人准备投资 1200 万兴办一所民办中学,对教育市场进行调查后,他得到了 下面的数据表格(以班级为单位): 学段 初中 高中 班级学生人数 45 40 配备教师数 2 3 硬件建设/万元 26/班 54/班 教师年薪/万元 2/人 2/人 因生源和环境等因素, 办学规模以 20 到 30 个班为宜. 分别用数学关系式和图形表示上述的 限制条件. 解 设开设初中班 x 个,开设高中班 y 个,根据题意,总共招生班数应限制在 20~30 之间, 所以有 20≤x+y≤30.考虑到所投资金的限制,得到 26x+54y+2×2x+2×3y≤1200,即 x +2y≤40. 另外,开设的班数应为自然数 x∈N,y∈N. 20≤x+y≤30, ? ?x+2y≤40, 把上面的四个不等式合在一起,得到? x∈N, ? ?y∈N. 用图形表示这个限制条件,得到如下图中阴影部分(含边界)的平面区域. 命题角度 2 实数解 例 3 一个化肥厂生产甲、 乙两种混合肥料, 生产 1 车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐 4 吨, 硝酸盐 18 吨;生产 1 车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐 1 吨,硝酸


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