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2016


模块综合测试卷
班级____ 姓名____ 考号____ 分数____ 本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一、选择题:本大题共 12 题,每题 5 分,共 60 分.在下列各题的四个选项中,只有一 个选项是符合题目要求的. 1.-3290°角是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 答案:D 解析:-3290°=-360°×10+310° ∵310°是第四象限角 ∴-3290°是第四象限角 2.在单位圆中,一条弦 AB 的长度为 3,则该弦 AB 所对的弧长 l 为( ) 2 3 A. π B. π 3 4 5 C. π D.π 6 答案:A 解析:设该弦 AB 所对的圆心角为 α ,由已知 R=1,

AB
2 α 3 α π 2 2 ∴sin = = ,∴ = ,∴α = π ,∴l=α R= π . 2 R 2 2 3 3 3 π 3.下列函数中周期为 的偶函数是( ) 2 A.y=sin4x 2 2 B.y=cos 2x-sin 2x C.y=tan2x D.y=cos2x 答案:B 2π π 2π 解析:A 中函数的周期 T= = ,是奇函数.B 可化为 y=cos4x,其周期为 T= = 4 2 4 π π 2π ,是偶函数.C 中 T= ,是奇函数,D 中 T= =π ,是偶函数.故选 B. 2 2 2 4.已知向量 a,b 不共线,实数 x,y 满足(3x-4y)a+(2x-3y)·b=6a+3b,则 x-y 的值为( ) A.3 B.-3 C.0 D.2 答案:A ?3x-4y=6, ?x=6, ? ? 解析:由原式可得? 解得? ∴x-y=3. ? ? ?2x-3y=3, ?y=3. → → → 5. 在四边形 ABCD 中, AB=a+2b, BC=-4a-b, CD=-5a-3b, 则四边形 ABCD 是( ) A.长方形 B.平行四边形 C.菱形 D.梯形 答案:D → → → → → 解析:AD=AB+BC+CD=-8a-2b=2BC, → → 且|AD|≠|BC|
1

∴四边形 ABCD 是梯形.

? π π? 6.已知向量 a=(1,0),b=(cosθ ,sinθ ),θ ∈?- , ?,则|a+b|的取值范围 ? 2 2? 是( ) A.[0, 2] B.[0,2] C.[1,2] D.[ 2,2] 答案:D ? π π? 2 2 2 解析:|a+b| =a +b +2a·b=2+2cosθ ,因为 θ ∈?- , ?,所以 2+2cosθ ∈ ? 2 2?
[2,4],所以|a+b|的取值范围是[ 2,2]. 4 ?π ? ?π ? 7.已知 cosα =- ,且 α ∈? ,π ?,则 tan? -α ?=( ) 5 ?2 ? ?4 ? 1 A.- B.7 7 1 C. D.-7 7 答案:B 4 3 3 ?π ? 解析:∵α ∈? ,π ?,cosα =- ,∴sinα = ,tanα =- , 2 5 5 4 ? ? ? 3? 1-?- ? π ? 4? ? ? tan? -α ?= =7. ?4 ? ? 3? 1+?- ? ? 4? ? π? 8.函数 f(x)=2sin?x- ?的部分图象是( ) 2? ?

答案:C

? π? 解析:∵f(x)=2sin?x- ?, 2? ? π? ? ?π ? ∴f(π -x)=2sin?π -x- ?=2sin? -x? 2? ? ?2 ? =f(x), π ∴f(x)的图象关于直线 x= 对称.排除 A、B、D. 2 ?π ? 9.y=2cos? -2x?的单调减区间是( ) ?4 ? π 5 ? ? A.?kπ + ,kπ + π ?(k∈Z) 8 8 ? ? π ? 3 ? B.?- π +kπ , +kπ ?(k∈Z) 8 ? 8 ? π 5 ? ? C.? +2kπ , π +2kπ ?(k∈Z) 8 ?8 ? 3 π ? ? D.?- π +2kπ , +2kπ ?(k∈Z) 8 ? 8 ? 答案:A

2

π? π ?π ? ? 解析:y=2cos? -2x?=2cos?2x- ?.由 2kπ ≤2x- ≤π +2kπ ,(k∈Z) 4? 4 ?4 ? ? π π 5 ? ? 得 +kπ ≤x≤ π +kπ (k∈Z)时,y=2cos?2x- ?单调递减.故选 A. 4? 8 8 ? π 5π 10.已知 ω >0,0<φ <π ,直线 x= 和 x= 是函数 f(x)=sin(ω x+φ )图象的两条 4 4 相邻的对称轴,则 φ 的值为( ) π π A. B. 4 3 π 3π C. D. 2 4 答案:A π 5π 5π π T 解析:因为直线 x= 和 x= 是函数图象中相邻的两条对称轴,所以 - = ,即 4 4 4 4 2 T 2π π =π ,T=2π .又 T= =2π ,所以 ω =1,所以 f(x)=sin(x+φ ).因为直线 x= 是 2 ω 4 π π π 函数图象的对称轴,所以 +φ = +kπ ,k∈Z,所以 φ = +kπ ,k∈Z.因为 0<φ <π , 4 2 4 π 5π 所以 φ = ,检验知,此时直线 x= 也为对称轴.故选 A. 4 4 11.若向量 a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1),则|a+b|的最小值为( ) A. 2-1 B.2- 2 C. 2 D.2 答案:C 2 解析:|a+b|= 2?x +2x+2?≥ 2. β ? π π 3 ?π ? 1 ?π β ? ? 12.若 0<α < ,- <β <0,cos? +α ?= ,cos? - ?= ,则 cos?α + ?= 2? 2 2 ?4 ? 3 ?4 2? 3 ? ( ) 3 3 A. B.- 3 3 5 3 6 D.- 9 9 答案:C π ? ?π β ? β ? 解析:∵α + =?α + ?-? - ?, 4? ?4 2? 2 ? β ? π ? ?π β ?? π? π? ? ?? ? ?π β ? ? ∴ cos ?α + ? = cos ??α + ?-? - ?? = cos ?α + ? cos ? - ? + sin ?α + ? 2? 4 ? ? 4 2 ?? 4? 4? ? ?? ? ?4 2? ? 3 2 2 6 3+4 3 5 3 ?π β ? 1 sin? + ?= × + × = = . 3 3 9 9 ?4 2? 3 3 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. π 13.已知|a|=4,a 与 b 的夹角为 ,则 a 在 b 方向上的投影为__________. 6 C. 答案:2 3 π 解析:由投影公式计算:|a|cos =2 3. 6 14.函数 y=2sinxcosx-1,x∈R 的值域是______. 答案:[-2,0] 解析:y=2sinxcosx-1=sin2x-1,∵x∈R,
3

∴sin2x∈[-1,1],∴y∈[-2,0]. π? ? 15.已知函数 f(x)=3sin?ω x- ?(ω >0)和 g(x)=2cos(2x+φ )+1 的图象的对称轴 6? ? ? π? 完全相同.若 x∈?0, ?,则 f(x)的取值范围是________. 2? ? ? 3 ? 答案:?- ,3? ? 2 ? ? π? 解析:由 f(x)与 g(x)的图像的对称轴完全相同,易知:ω =2,因为 x∈?0, ?,所 2? ? π ? π 5π ? 3 π ? π? 以 2x- ∈?- , ?,则 f(x)的最小值为 3sin?- ?=- ,最大值为 3sin =3, 6 ? 6 ? 6 2 2 ? 6? ? 3 ? 所以 f(x)的取值范围是?- ,3?. ? 2 ? 16.下列判断正确的是________.(填写所有正确判断序号) 1 4 2 ①若 sinx+siny= ,则 siny-cos x 的最大值是 3 3 π π 3π ? ? ? ? ②函数 y=sin? +2x?的单调增区间是?kπ - ,kπ + ?(k∈Z) 8 8 ? ?4 ? ? 1+sinx-cosx ③函数 f(x)= 是奇函数 1+sinx+cosx x 1 ④函数 y=tan - 的最小正周期是 π 2 sinx 答案:①④ 2 4 2 2 解析:①siny-cos x=sin x-sinx- ,∴sinx=-1 时,最大值为 . 3 3 π π π 3π π ②2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,∴kπ - ≤x≤kπ + . 2 4 2 8 8 ③定义域不关于原点对称. x 1 1 ④y=tan - =- ,∴T=π . 2 sinx tanx 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ?π ? cos? +α ?sin?-π -α ? ?2 ? 17.(10 分)已知角 α 终边上一点 P(-4,3),求 的值. 11 π ? ?9π ? -α ? cos? sin? +α ? ? ? 2 ? ? 2 ? y 3 解:∵tanα = =- x 4 π ? ? cos? +α ?sin?-π -α ? -sinα ·sinα 3 ?2 ? ∴ = =tanα =- . 4 ?11π -α ?sin?9π +α ? -sinα ·cosα cos? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? 18.(12 分)已知向量 m=(sinA,cosA),n=(1,-2),且 m·n=0. (1)求 tanA 的值; (2)求函数 f(x)=cos2x+tanA·sinx(x∈R)的值域. 解:(1)∵m·n=0, ∴sinA-2cosA=0. sinA ∴tanA= =2. cosA (2)f(x)=cos2x+tanAsinx=cos2x+2sinx
4

1?2 3 ? 2 =1-2sin x+2sinx=-2?sinx- ? + . 2? 2 ? ∵-1≤sinx≤1 1 3 ∴sinx= 时,f(x)取最大值 , 2 2 sinx=-1 时,f(x)取最小值-3, 3? ? ∴f(x)的值域为?-3, ?. 2? ? 19.(12 分)已知 a,b,c 是同一平面内的三个向量,其中 a=(1,2). (1)若|c|=2 5,且 c∥a,求 c 的坐标; 5 (2)若|b|= ,且 a+2b 与 2a-b 垂直,求 a 与 b 的夹角 θ . 2 解:(1)设 c=(x,y). 2 2 2 2 ∵|c|=2 5,∴ x +y =2 5,即 x +y =20.① ∵c∥a,a=(1,2) ∵2x-y=0,即 y=2x,② ?x=2 ?x=-2 ? ? 联立①②得? 或? ?y=4 ?y=-4, ? ? ∴c=(2,4)或(-2,-4). (2)∵(a+2b)⊥(2a-b), ∴(a+2b)·(2a-b)=0, 2 2 ∴2|a| +3a·b-2|b| =0. 5 5 2 2 ∵|a| =5,|b| = ,代入上式得 a·b=- , 4 2 5 - 2 a·b ∴cosθ = = =-1. |a|·|b| 5 5× 2 又∵θ ∈[0,π ], ∴θ =π . π? 2? 2 20.(12 分)已知函数 f(x)=cos ?x- ?-sin x. 6? ? ?π ? (1)求 f? ?的值; ?12? ? π? (2)若对于任意的 x∈?0, ?,都有 f(x)≤c,求实数 c 的取值范围. 2? ? π? π 3 ?π ? 2? 2π 解:(1)f? ?=cos ?- ?-sin =cos = . 12 12 12 6 2 ? ? ? ? π 1? ? ?? 1 (2)f(x)= ?1+cos?2x- ??- (1-cos2x) 3 ?? 2 2? ? π? 1? ? ? = ?cos?2x- ?+cos2x? 3? 2? ? ? π? 1? 3 3 3 ? ? = ? sin2x+ cos2x?= sin?2x+ ?. 3? 2? 2 2 ? 2 ? π ?π 4π ? ? π? 因为 x∈?0, ?,所以 2x+ ∈? , ?, 2? 3 ? 3 ?3 ? π π π 3 所以当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 . 3 2 12 2
5

3 ? π? 所以对任意 x∈?0, ?,f(x)≤c 等价于 ≤c. 2? 2 ? ? 3 ? ? π? 故当对任意 x∈?0, ?,f(x)≤c 时,c 的取值范围是? ,+∞?. 2 ? ? ?2 ? π? 3 3 5 ? π? ? ?π π ? 21.(12 分)已知 sinα +cosα = ,α ∈?0, ?,sin?β - ?= ,β ∈? , ?. 4? 4? 5 5 ? ? ?4 2? (1)求 sin2α 和 tan2α 的值; (2)求 cos(α +2β )的值. 9 9 4 2 解:(1)由题意得(sinα +cosα ) = ,即 1+sin2α = ,∴sin2α = . 5 5 5 3 ? π? 2 又 2α ∈?0, ?,∴cos2α = 1-sin 2α = , 2? 5 ? sin2α 4 ∴tan2α = = . cos2α 3 π ? π? ?π π ? (2)∵β ∈? , ?,β - ∈?0, ?, 4 2 4? 4 ? ? ? π? 4 ? ∴cos?β - ?= , 4? 5 ? π? π? π ? 24 ? ? ? 于是 sin2?β - ?=2sin?β - ?cos?β - ?= . 4? 4? 4 ? 25 ? ? ? π 24 ? ? 又 sin2?β - ?=-cos2β ,∴cos2β =- . 4? 25 ? 7 1+cos2α 4 ?π ? 2 又 2β ∈? ,π ?,∴sin2β = ,又 cos α = = , 25 2 5 ?2 ? 2 1? ? π ?? ∴cosα = ,∴sinα = ?α ∈?0, ??. 4 ?? ? ? 5 5 2 5 ? 24? 5 7 11 5 ∴cos(α +2β )=cosα cos2β -sinα sin2β = ×?- ?- × =- . 5 25 ? 25? 5 25

? A? ? 2π ? 22.(12 分)如图,点 P?0, ?是函数 y=Asin? x+φ ?(其中 A>0,φ ∈[0,π ))的图 ? 2? ? 3 ? 象与 y 轴的交点,点 Q,点 R 是它与 x 轴的两个交点. (1)求 φ 的值; (2)若 PQ⊥PR,求 A 的值. 1 ? A? 解:(1)∵函数经过点 P?0, ?,∴sinφ = , 2 2 ? ? π 又∵φ ∈[0,π ),且点 P 在递增区间上,∴φ = . 6 2 π π ? ? (2)由(1)可知 y=Asin? + ?. 6? ? 3 ?2π x+π ?=0, 令 y=0,得 sin? ? 6? ? 3

6

2π π 1 5 x+ =kπ ,(k∈Z),∴可得 x=- , , 3 6 4 4 1 5 ? ? ? ? ∴Q?- ,0?,R? ,0?. ? 4 ? ?4 ? A? → ?5 A? → ? 1 ? A? 又∵P?0, ?,∴PQ=?- ,- ?,PR=? ,- ?. 2? 2? ? 2? ? 4 ?4 ∴ 5 1 2 5 → → ∵PQ⊥PR,∴PQ·PR=- + A =0,解得 A= . 16 4 2

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