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高中数学第二章推理与证明2.1.2演绎推理课件新人教A版选修22_图文

新课标导学

数 学
选修2-2 ·人教A版

第二章

推理与证明

2.1 合情推理与演绎推理
2.1.2 演绎推理

1 2

自主预习学案

互动探究学案

3

课时作业学案

自主预习学案

在生活中,我们常常会遇到这样一些判断:人生病 要吃药,小明生病了,因此,小明要吃药;摩擦生热, 冬天双手互相摩擦,手就不冷了;任意四边形的内角和 为 360° , 梯形是四边形, 因此梯形的内角和是 360° …… 这些推理都是从一般的原理出发, 推出某个特殊情况下的结论的, 与前一节所学 的合情推理不同,这属于另一种推理——演绎推理.

? 1.演绎推理 一般性的原理 某个特殊___________情况下 ? 从_________________出发,推出 一般到特殊 的结论,我们把这种推理称为演绎推理,简言之,演绎推 理是由___________的推理. ? 2.演绎推理与合情推理的主要区别与联系 部分 整体 个别 一般 ? (1)合情推理与演绎推理的主要区别:归纳和类比都是常用 特殊 特殊 的合情推理,从推理形式上看,归纳是由 ______到_____ 、______到______的推理,类比是由______到______ 的推理;而演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理所得 的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待于进一步

? (2)就数学而言,演绎推理是证明数学结论、建立数学体系 的重要思维过程,但数学结论、证明思路等的发现,主要 靠合情推理.因此,我们不仅要学会证明,更要学会猜想 .
? 3.三段论
一般原理 特殊情况

? (1)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:
? ①大前提——已知的________;

判断

? ②小前提S —— 所研究的__________; 是P
? ③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的______.

? 其一般推理形式为

S中所有元素也都具有性质P

? 4.其他演绎推理形式 ? (1)假言推理:“若p?q,p真,则q真”. ? (2)关系推理:“若aRb,bRc,则aRc”R表示一种传递 性关系,如a∥b,b∥c?a∥c,a≥b,b≥c?a≥c等. ? 注:假言推理、关系推理在新课标中未给定义,但这种推 理形式是经常见到的,为表述记忆方便,我们也一块给出 ,以供学生扩展知识面. ? (3)完全归纳推理是把所有可能的情况都考虑在内的演绎推 理规则.

1.关于下面推理结论的错误:“因为对数函数 y=logax 是增函数(大前提), 1 1 又 y=log2x 是对数函数(小前提),所以 y=log2x 是增函数(结论).”下列说法正确 的是( A ) A.大前提错误导致结论错误 B.小前提错误导致结论错误 C.推理形式错误导致结论错误 D.大前提和小前提都错误导致结论错误
[ 解析] 大前提错误,因为对数函数 y=logax(0<a<1)是减函数,故选 A.

? 2.“所有9的倍数都是3的倍数,某奇数是9的倍数,故某 A 奇数是3的倍数.”上述推理是( ) ? A.完全正确

? B.推理形式不正确
? C.错误,因为大小前提不一致

? D.错误,因为大前提错误 A
? 3.有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数f(x), 若f ′(x0)=0,则x=x0是函数f(x)的极值点.因为f(x)=x3在 x=0处的导数值f ′(0)=0,所以x=0是f(x)=x3的极值点.

? ? ? ? ? ? ?

4.给出下列结论: ①演绎推理的特征为,前提为真时,结论一定为真. ②演绎推理的特征为,前提为真时,结论可能为真. ③由合情推理得到的结论一定为真. ④演绎推理和合情推理都可以用于证明. ⑤合情推理不能用于证明,演绎推理可用于证明. ①⑤ 其中正确结论的序号为______.

互动探究学案

命题方向1 ?用三段论表示演绎推理

?

? ? ? ? ?

(1)(2017· 淄博高二检测)“因为四边形ABCD是矩 B 形,所以四边形ABCD的对角线相等”,补充以上推理的 大前提是( ) A.正方形都是对角线相等的四边形 B.矩形都是对角线相等的四边形 C.等腰梯形都是对角线相等的四边形 D.矩形都是对边平行且相等的四边形 ② (2)三段论:①平面内没有任何公共点的直线为平行线;②
典例 1

(3)将下列演绎推理写成三段论的形式. ①一切偶数都能被 2 整除,100 是偶数,所以 100 能被 2 整除. ②函数 y=2x+1 是定义域上的单调函数. ③0.3是有理数.
·

[ 解析]

(1)由大前提、小前提、结论三者的关系知,大前提是“矩形都是对角

线相等的四边形”. (2)根据演绎推理及三段论知,①是大前提;②是小前提;③是结论. (3)①一切偶数都能被 2 整除,(大前提) 100 是偶数,(小前提) 100 能被 2 整除.(结论)

②一次函数 y=kx+b(k≠0)是定义域上的单调函数,(大前提) 函数 y=2x+1 是一次函数,(小前提) 函数 y=2x+1 是定义域上的单调函数.(结论) ③所有循环小数都是有理数,(大前提) 0.3是循环小数,(小前提) 0.3是有理数.(结论)
· ·

? 『规律总结』 将演绎推理写成三段论的方法 ? (1)用三段论写推理过程时,关键是明确大、小前提. ? (2)用三段论写推理过程中,有时可省略小前提,有时甚至 也可将大前提与小前提都省略. ? (3)在寻找大前提时,可找一个使结论成立的充分条件作为 大前提.

? 〔跟踪练习1〕 ? (2018·焦作高二检测)《论语·学路》篇中说:“名不正, 则言不顺;言不顺,则事不成;事不成,则礼乐不兴;礼 乐不兴,则刑罚不中;刑罚不中,则民无所措手足;所以 D ,名不正,则民无所措手足.”上述理由用的是( ) ? A.合情推理 B.归纳推理 ? C.类比推理 D.演绎推理 ? [解析] 由演绎推理的定义知,该推理为演绎推理.

命题方向2 ?用三段论证明几何问题

?

如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的 点,∠BFD=∠A,DE∥BA,求证:ED=AF,写出三 段论形式的演绎推理.
典例 2

? [解析] 因为同位角相等,两直线平行,(大前提) ? ? ? ? ? ? ? ? ∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A,(小前提) 所以FD∥AE.(结论) 因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提) DE∥BA,且FD∥AE,(小前提) 所以四边形AFDE为平行四边形.(结论) 因为平行四边形的对边相等,(大前提) ED和AF为平行四边形AFDE的对边,(小前提) 所以ED=AF.(结论)

? ? ? ?

『规律总结』 用“三段论”证明命题的步骤: (1)理清证明命题的一般思路; (2)找出每一个结论得出的原因; (3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示.

〔跟踪练习 2〕 用三段论证明,并指出每一步推理的大前提和小前提. 如图所示,在锐角△ABC 中,AD⊥BC,BE⊥AC,D,E 是垂足.证明:AB 的中点 M 到 D、E 的距离相等.

[ 证明]

(1)∵有一个内角是直角的三角形是直角三形,大前提

在△ABC 中,AD⊥BC,即∠ADB=90° ,小前提 ∴△ABD 是直角三角形.结论 同理,△AEB 也是直角三角形. (2)∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,大前提 而 M 是 Rt△ABD 斜边 AB 的中点,DM 是斜边上的中线,小前提 1 ∴DM=2AB.结论 1 同理,EM=2AB.∴DM=EM.

用三段论证明代数题
典例 3
5-1 (2018· 菏泽高二检测)已知 a= 2 ,函数 f(x)=ax,若实数 m,n

m<n . 满足 f(m)>f(n),则 m,n 的大小关系是_______
[ 解析] 当 0<a<1 时,函数 f(x)=ax 为减函数,(大前提)

5-1 a= 2 ∈(0,1),(小前提) 5-1 x 所以函数 f(x)=( 2 ) 为减函数,(结论) 故由 f(m)>f(n),得 m<n.

『规律总结』

五类代数问题中的三段论

(1)函数类问题:比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等. (2)导数的应用:利用导数研究函数的单调区间,求函数的极值和最值,证

明与函数有关的不等式等.
(3) 三角函数问题:利用三角函数公式进行三角恒等变换,证明三角恒等 式. (4)数列问题:数列的通项公式,前n项和公式的应用,证明等差数列和等比 数列.

(5)不等式类问题:如不等式恒成立问题,线性规划以及基本不等式的应用
问题.

〔跟踪练习 3〕 ex a 设 a>0,f(x)= a +ex是 R 上的偶函数. (1)求 a 的值; (2)证明 f(x)在(0,+∞)上为增函数.

[ 解析]
x

(1)因为 f(x)是 R 上的偶函数,

所以对一切 x∈R,都有 f(x)=f(-x),
-x e e a a 1 1 1 x x 即 a +ex= a + -x=aex+ae ,整理得(a-a)(e -ex)=0 对一切 x∈R 恒成立. e

1 1 因 e -ex不恒为 0,故a-a=0,所以 a=± 1.
x

又 a>0,所以 a=1.

(2)任取 x1,x2∈(0,+∞)且 x1<x2. 1 1 1 则 f(x1)-f(x2)=ex1+ex -ex2-ex =(ex2-ex1)· ( -1) e x + x 1 2 1 2 1-ex1+x2 =ex1(ex2-x1-1)· . ex1+x2 因为 x1>0,x2>0 且 x1<x2, 所以 x2-x1>0,x1+x2>0, 所以 ex2-x1>1,1-ex1+x2<0,所以 f(x1)-f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2),故 f(x)在(0,+∞)上是增函数.

偷换概念致误
典例 4 如图所示,在△ABC 中,AC>BC,CD 是 AB
边上的高,求证:∠ACD>∠BCD.

[ 错解] ∠BCD.

在△ABC 中,因为 AC>BC,CD⊥AB,所以 AD>BD,所以∠ACD>

[ 辨析]

错误的原因在于虽然运用的大前提正确,即在同一个三角形中,大边

对大角,但 AD 与 BD 并不是在同一个三角形内的两条边,即小前提不成立,所以 推理过程错误.

[ 正解]

因为 CD⊥AB,所以∠ADC=∠BDC=90° ,所以∠A+ACD=∠B+

∠BCD=90° , 在△ABC 中,AC>BC,∴∠B>∠A,∴∠ACD>∠BCD.
[ 点评] 特殊情形. 利用三段论推理时,(一)大前提必须是真命题;(2)小前提是大前提的

? 1.“∵四边形ABCD为矩形,∴四边形ABCD的对角线相 B 等”,以上推理省略的大前提为 ( ) ? A.正方形都是对角线相等的四边形 ? B.矩形都是对角线相等的四边形 ? C.等腰梯形都是对角线相等的四边形 ? D.矩形都是对边平行且相等的四边形

? 2.(2018·秦州区校级三模)下面是一段演绎推理:如果直 线平行于平面,则这条直线平行于平面内的所有直线;已 知直线b∥平面α,直线aD ?平面α;所以直线b∥直线a,在 这个推理中( ) ? A.大前提正确,结论错误 ? B.小前提与结论都是错误的 ? C.大、小前提正确,只有结论错误 ? D.大前提错误,结论错误 ? [解析] 直线平行于平面,则直线可与平面内的直线平行 、异面、异面垂直. ? 故大前提错误,结论错误.

3.(2017· 天心区校级期末)由①正方形的对角线相等;②矩形的对角线相等; ③正方形是矩形.写一个“三段论”形式的推理,则作为大前提、小前提和结论 的分别为( D ) A.②①③ C.①②③ [ 解析] B.③①② D.②③①

用三段论的形式写出的演绎推理是:

大前提 ②矩形的四个内角相等 小前提 ③正方形是矩形 结论 ①正方形的四个内角相等 故选 D.



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