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1.1.1 集合的含义与表示


1.1





1.1.1 集合的含义与表示
情景引入 Qing jing yin ru

一位渔民非常喜欢数学,但他怎么也想不明白集合的意义.于是,他请教数学家:“尊敬的先生,请你 告诉我,集合是什么?”集合是不加定义的概念,数学家很难回答那位渔民. 有一天,他来到渔民的船上,看到渔民撒下渔网,轻轻一拉,许多鱼在网中跳动.数学家非常激动, 高兴地告诉渔民:“这就是集合!” 问题 1:数学家说的集合是指什么? 问题 2:网中的“大鱼”能构成集合吗? 新知导学 Xin zhi dao xue 1.集合的概念 (1)含义:一般地,我们把所研究对象统称为元素,把一些元素组成的__总体__叫做集合(简称为集). (2)集合相等:只要构成两个集合的__元素__是一样的,即这两个集合中的元素完全相同,就称这两个集 合相等. [知识点拨] 集合中的元素必须满足如下性质: (1)确定性:指的是作为一个集合中的元素,必须是确定的,即一个集合一旦确定,某一个元素属于或不 属于这个集合是确定的,要么是该集合中的元素,要么不是,二者必居其一. (2)互异性: 集合中的元素必须是互异的, 就是说, 对于一个给定的集合, 它的任何两个元素都是不同的. (3)无序性:集合中的元素是没有顺序的,比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合. 2.元素与集合的关系 关系 属于 概念 如果 a 是集合 A 中的元素, 就说 a 属于集 合A 如果 a 不是集合 A 中的元素, 就说 a 不属 于集合 A 记法 a__∈__A 读法 a 属于 集合 A a__不属于__集合 A

不属于

a?A

[知识点拨] 符号“∈”和“?”只能用于元素与集合之间, 并且这两个符号的左边是元素, 右边是集合, 具有方向性,左右两边不能互换. 3.集合的表示法 (1)自然语言表示法:用文字语言形式来表示集合的方法.例如:小于 3 的实数组成的集合. (2)字母表示法:用一个大写拉丁字母表示集合,如 A,B,C 等,用小写拉丁字母表示元素,如 a,b,c 等.常用数集的表示: 名称 符号 非负整数集 (自然数集) N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R

(3)列举法:把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法. (4)描述法:在花括号内先写上表示这个集合元素的__一般符号__及__取值(或变化)范围__,再画一条竖 线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的__共同特征__.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法 叫做描述法. 预习自测 Yu xi zi ce 1.下列给出的对象中,能组成集合的是 ( D ) A.著名的数学家 C.较胖的人 [解析] B.很大的数 D.小于 3 的整数

“著名的数学家”和“较胖的人”无明确的标准,对于某人是否“著名”或“较胖”无法客观

地判断,因此“著名的数学家”和“较胖的人”不能组成集合;“很大的数”也无明确的标准,所以也不能 组成集合;任意给定一个整数,能够判定是否小于 3,有明确的标准,故 D 能组成一个集合. 10 2.下列关系:①0.21∈Q;② ?N*;③- 4∈N*;④ 4∈N.其中正确的个数是 ( C ) 5 A.0 B.1 C.2 D.3

10 [解析] ①是正确的,②中 =2∈N*,③中- 4?N*,④是正确的,故有①④正确. 5 3.集合{x∈N*|x-2<3}用列举法表示为 ( B ) A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5}

[解析] 由 x-2<3,得 x<5,又 x∈N*,所以 x=1,2,3,4,即集合的另一种表示形式是{1,2,3,4}. 4.下列集合: ①{1,2,2}; ②R={全体实数}; ③{3,5}; ④不等式 x-5>0 的解集为{x-5>0}.

其中,集合表示方法正确的是__③__. [解析] ①违背了集合中元素的互异性;②中全体实数本身就是集合,不能再加大括号;④中用描述法

表示的集合,未写出代表元素,应为{x|x-5>0}. 5.(1)用列举法表示集合{x∈N|x<5}为__{0,1,2,3,4}__. (2)方程 x2-6x+9=0 的解集用列举法可表示为__{3}__. (3)用描述法表示大于 3 且不大于 8 的实数的集合为__{x|3<x≤8}__. [解析] (1)因为 x∈N,且 x<5,所以 x=0,1,2,3,4.(2)由 x2-6x+9=0,得 x1=3,x2=3.(3){x|3<x≤8,x∈ R} 互动探究解疑 Hu dong tan jiu jie yi 命题方向 1 ?集合的基本概念 典题 1 下列各组对象: ①某个班级中年龄较小的男同学;②联合国安理会常任理事国;③2016 年里约热内卢奥运会的所有比赛 项目;④ 2的所有近似值. 其中能够组成集合的是__②③__. [思路分析] 结合集合中元素的特性分析各组对象是否满足确定性和互异性,进而判断能否组成集合. [解析] 组成集合. ②③中的对象都是确定的、互异的,所以②③可以组成集合.填②③. 『规律方法』 1.判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准, 使给定的对象是“确 定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的,就可以构成集合;如果是“模棱两可”的,就不 能构成集合. 2.判断集合中的元素个数时,要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个,即集合中的元素满足 互异性. 〔跟踪练习 1〕 下列每组对象能否构成一个集合: (1)我国的小城市; (2)某校 2016 年在校的所有高个子同学; (3)不超过 20 的非负数; (4)方程 x2-9=0 在实数范围内的解; (5)直角坐标平面内第一象限的一些点. [解析] (1)“我国的小城市”无明确的标准,对于某个城市是否“小”无法客观地判断,因此,“我国 ①中的“年龄较小”、④中的“近似值”,这些标准均不明确,即元素不确定,所以①④不能

的小城市”不能构成一个集合.(2)与(1)类似,也不能构成集合.(3)任给一个实数 x,可以明确地判断是不是 “不超过 20 的非负数”,即“0≤x≤20”与“x>20 或 x<0”两者必居其一,且仅居其一,故“不超过 20 的非负数”能构成集合.(4)类似于(3),也能构成集合.(5)“一些点”无明确的标准,对于某个点是否在“一 些点”中无法确定,因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合. 命题方向 2 ?元素和集合的关系 典题 2 已知 N 是自然数集,给出下列命题: ①N 中最小的元素是 1; ②若 a∈N,则-a?N; ③若 a∈N,b∈N,则 a+b 的最小值是 2. 其中所有正确命题的个数是( A A.0 B.1 ) C.2 D.3

[思路分析] 解题的关键是理解自然数集 N 的意义和集合与元素间的关系. [解析] 自然数集中最小的元素是 0,故①③不正确;对于②,若 a∈N,即 a 是自然数,当 a=0 时,-a 仍为自然数,所以②也不正确.故选 A. 『规律方法』 1.对于正整数集、自然数集、整数集、有理数集、实数集,在数学上分别用 N+,N,Z, Q,R 来表示,这些符号是我们学习高中数学的基础,它大大简化了数集的表示方法,应当熟练掌握. 2.判断一个元素是不是某个集合的元素,关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征. 〔跟踪练习 2〕 1 (1)给出下列几个关系式: 2∈R;0.3∈Q;0∈N;0∈{0};0∈N+; ∈N+;-π∈Z;-5∈Z.其中正确 2 的关系式的个数是( B A.4 ) B.5 C.6 D.7

[解析] 运用常用数集的概念可作出判断: 2∈R, 0.3∈Q,0∈N,0∈{0}, -5∈Z 正确. 其余均错误, 故选 B. (2)已知集合 M={大于-2 且小于 1 的实数},则下列关系式正确的是( D A. 5∈M [解析] B.0?M C.1∈M )

π D.- ∈M 2

5>1,故 5?M,A 选项错;-2<0<1,故 0∈M,B 选项错;显然 1 不小于本身,故 C 错;-2<

π - <1,故 D 正确. 2 命题方向 3 ?用列举法表示集合 典题 3 用列举法表示下列集合: (1)36 与 60 的公约数组成的集合; (2)方程(x-4)2(x-2)=0 的根组成的集合;

2 4 (3)一次函数 y=x-1 与 y=- x+ 的图象的交点组成的集合. 3 3

?y=x-1 ? [思路分析] (1)(2)可直接求出相应元素,然后用列举法表示;(3)联立? 2 4 →求方程组的解→ ?y=-3x+3 ?
写出交点坐标→用集合表示. [解析] (1)36 与 60 的公约数有 1,2,3,4,6,12,所求集合为{1,2,3,4,6,12}; (2)方程(x-4)2(x-2)=0 的根是 4,2,所求集合为{2,4};

?x=5, ? ?x-y=1, (3)方程组? 的解是? 2 ?2x+3y=4 ? ?y=5,

7

7 2 所求集合为{( , )}. 5 5

『规律方法』 1.用列举法表示集合,要注意是数集还是点集. 2.列举法适合表示有限集,当集合中元素个数较少时,用列举法表示集合比较方便,且使人一目了然. 因此,集合是有限集还是无限集,是选择恰当的表示方法的关键. 〔跟踪练习 3〕 用列举法表示下列集合: (1)不大于 10 的非负偶数组成的集合; (2)方程 x2=x 的所有实数解组成的集合; (3)直线 y=2x+1 与 y 轴的交点所组成的集合. [解析] (1)因为不大于 10 是指小于或等于 10,非负是大于或等于 0 的意思.所以不大于 10 的非负偶数 集是{0,2,4,6,8,10}. (2)方程 x2=x 的解是 x=0 或 x=1,所以方程的解组成的集合为{0,1}. (3)将 x=0 代入 y=2x+1,得 y=1,即交点是(0,1),故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}. 命题方向 4 ?用描述法表示集合 典题 4 用描述法表示下列集合: (1)满足不等式 3x+2>2x+1 的实数 x 组成的集合; (2)平面直角坐标系中,第一象限内的点的集合; (3)所有正奇数组成的集合. [思路分析] 找准集合的代表元素 → 说明元素满足的条件 → 用描述法表示相应集合

[解析] (1){x|3x+2>2x+1}或{x|x>-1}; (2){(x,y)|x>0,y>0,且 x,y∈R}; (3){x|x=2k-1,k∈N+}.

『规律方法』 1.用描述法表示相应集合时,首先明确代表元素是点集还是数集,在此基础上,结合描 述的定义给出集合的表示. 2.用描述法表示集合时,其代表元素的范围务必明确,如果省略不写,则默认为 x∈R. 〔跟踪练习 4〕 把(1),(2),(3)分别更换条件如下,试分别求相应问题. (1)满足不等式 3x+2>2x+1 的有理数组成的集合; (2)在平面直角坐标系中,坐标轴上的点的集合; (3)所有偶数组成的集合. [解析] (1){x∈Q|3x+2>2x+1}或{x∈Q|x>-1}. (2){(x,y)|xy=0,x,y∈R}. (3){x|x=2n,n∈Z}. 易混易错警示 Yi hun yi cuo jing shi 忽略集合中元素的互异性(本栏目的跟踪练习仅供老师参考备用)

典题 5 设集合 A={x2,x,xy}、B={1,x,y},若集合 A、B 所含元素相同,求实数 x、y 的值. [错解]
2 2 ? ? ?x =1 ?x =y ? ? 由 A=B,得 ,或 , ? ? ?xy=y ?xy=1

? ? ? ?x=1, ?x=-1, ?x=1, 解得? 或? 或? ?y∈R ? ?y=1. ? ?y=0 ?

[错因分析] 当 x=1,y∈0 时,A=B={1,1,y},不满足集合元素的互异性,当 x=1,y=1 时,A=B= {1,1,1}也不满足元素的互异性,当 x=-1,y=0,A=B={1,-1,0},满足题意.
? ? ? ?x=1, ?x=-1, ?x=1, [正解] 由错解得? 或? 或? ?y∈R ? ?y=1, ? ?y=0 ? ?x=1, ?x=1, ? ? 经检验当取? 与? 时不满足集合中元素的互异性, ?y∈R ?y=1, ? ?

所以 x=-1,y=0. [点评] 在实际解答过程中,很多同学只是把答案算出来后就结束了,根本不考虑求解出来的答案是不

是合乎题目要求,有没有出现遗漏或增根.在实际解答中要根据元素的特征,结合题目要求和隐含条件,加 以重视. 〔跟踪练习〕 b 若将上式中的集合 A 改为{a, ,1},B 改为{a2,a+b,0},其他条件不改变,怎样求 a2 015+b2 015 的值. a b [解析] 方法一:∵{a, ,1}={a2,a+b,0}, a

b 又∵a≠0,1≠0,∴ =0,∴b=0, a ∴{a,0,1}={a2,a,0},∴a2=1,即 a=± 1, 又当 a=1 时,A={1,0,1}不满足集合中元素的互异性,舍去,∴a=-1,即集合 A={-1,0,1}, 此时 a=-1,b=0, 故 a2 015+b2 015=(-1)2 015+02 015=-1+0=-1. b 方法二:∵{a, ,1}={a2,a+b,0}, a

?a+a+1=a +?a+b?+0 ∴? b · 1=a ?a+b?· 0 ?a· a
2 2

b

解得 a=± 1,b=0,

由集合中元素的互异性知 a≠1, ∴a=-1,b=0. ∴a2 015+b2 015=(-1)2 015+02 015=-1+0=-1. 学科核心素养 Xue ke he xin su yang 数学抽象能力

数学抽象是指舍去事物的一切物理属性, 得到数学研究对象的思维过程. 主要包括: 从数量与数量关系、 图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系,从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并且用 数学符号或者数学术语予以表征. 数学抽象是数学的基本思想, 是形成理性思维的重要基础, 反映了数学的本质特征, 贯穿在数学的产生、 发展、应用的过程中.数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统. 在数学抽象核心素养的形成过程中, 积累从具体到抽象的活动经验. 学生能更好地理解数学概念、 命题、 方法和体系,能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质,能逐渐养成一般性思考问题的习惯, 能在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题. 本节课从周围大量实例中抽象出集合的概念,领悟集合的本质属性是学习的首要任务,在此基础上,明 确集合元素的属性及集合的表示方法. 典题 6 选择恰当方法表示所在正奇数组成的集合. [解析] 描述法:{x|x=2n-1,n∈N*}.列举法{1,3,5,7,…,2n-1,…}. 『规律方法』 用列举法表示无限集时,一是列出的前几项体现的规律,要和一般项统一起来,二是要 加省略号. 课堂达标验收 Ke tang da biao yan shou 1.下列各组对象,能构成集合的有 ( C )

①对环境污染不太大的塑料; ②中国古典文学中的四大名著; ③所有的正方形; ④方程 x(x2-2x-3)=0 的所有实数根. A.① [解析] B.①② C.②③④ D.①②③④

语句①“污染不太大”没有明确的标准;②中四大名著指的是《水浒传》 、 《三国演义》 、 《西游

记》 、 《红楼梦》 ;③④中的对象也都满足确定性、互异性、无序性. 2.已知集合 A={x∈N|- 3≤x≤ 3},则必有 ( B ) A.-1∈A B.0∈A C. 3∈A D.2∈A

[解析] 集合 A 中元素有两个特征:x∈N 且- 3≤x≤ 3,观察四个选项,只有 B 正确. 3.下列各组集合中,表示同一集合的是 ( B ) A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={3,2},N={2,3} C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} D.M={3,2},N={(3,2)} [解析] A 项中 M={(3,2)}中的元素是(3,2),N={(2,3)}中的元素是(2,3),所以这是两个不同的集合;B 项中 M={3,2}中的元素是 3,2, N={2,3}中的元素是 2,3, 由集合中元素的无序性可知, 这是两个相同的集合; C 项中集合 M 中的代表元素是(x,y),是直线 x+y=1 上的点,而集合 N 中的代表元素是 y,是直线 x+y=1 上点的纵坐标,因此是两个不同的集合;D 项中两集合 M 的元素分别是 3、2,而 N 中含有一个元素(3,2), 因此它们是两个不同的集合. 4.由实数 x,-x,|x|, x2,- x3,所组成的集合最多含有元素的个数为 ( A A.2 [解析]
3 3

)

B.3

C.4

D.5

x2=|x|,- x3=-x,集合中的元素最多含有两个.

5.用适当的方法表示下列集合. (1)由大于-3 且小于 11 的偶数组成的集合可表示为__{-2,0,2,4,6,8,10}__; (2)不等式 3x-6≤0 的解集可表示为__{x|x≤2}__; (3)方程 x(x2+2x-3)=0 的解集可表示为__{-3,0,1}__; (4)函数 y=x2-x-1 图象上的点组成的集合可表示为__{(x,y)|y=x2-x-1}__.

A 级 基础巩固 一、选择题

1.在“①高一数学中的难题;②所有的正三角形;③方程 x2-2=0 的实数解”中,能够构成集合的是 ( C ) B.③ C.②③ D.①②③

A.② [解析]

高一数学中的难题的标准不确定,因而构不成集合,而正三角形标准明确,能构成集合,方程

x2-2=0 的解也是确定的,能构成集合,故选 C. 2.用列举法表示集合{x|x2-2x+1=0}为 ( B ) A.{1,1} B.{1} C.{x=1} D.{x2-2x+1=0}

[解析] ∵x2-2x+1=0,∴x=1.故集合为单元素集合.故选 B. 3.已知集合 A={x|x≤10},a= 2+ 3,则 a 与集合 A 的关系是 ( A A.a∈A B.a?A C.a=A )

D.{a}∈A

[解析] 由于 2+ 3<10,所以 a∈A.
?3x+y=2 ? 4.方程组? 的解集是 ( D ) ? ?2x-3y=27 ?x=3 ? A.? ?y=-7 ?

B.{x,y|x=3 且 y=-7} C.{3,-7} D.{(x,y)|x=3 且 y=-7}

? ? ?3x+y=2 ?x=3 [解析] 解方程组? 得? , ?2x-3y=27 ? ? ?y=-7
用描述法表示为{(x,y)|x=3 且 y=-7},用列举法表示为{(3,-7)},故选 D. 5.已知集合 S={a,b,c}中的三个元素是△ABC 的三边长,那么△ABC 一定不是 ( D ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形

[解析] 由集合中元素的互异性知 a,b,c 互不相等,故选 D. 二、填空题 6.用符号∈与?填空: (1)0__?__N*; 3__?__Z; 0__∈__N;(-1)0__∈__N*; 4 3+2__?__Q; __∈__Q. 3 (2)3__∈__{2,3};3__?__{(2,3)}; (2,3)__∈__{(2,3)};(3,2)__?__{(2,3)}.

(3)若 a2=3,则 a__∈__R,若 a2=-1,则 a__?__R. [解析] (1)只要熟记常用数集的记号所对应的含义就很容易辨别.(2)中 3 是集合{2,3}的元素;但整数 3 不是点集{(2,3)}的元素;同样(2,3)是集合{(2,3)}的元素;因为坐标顺序不同,(3,2)不是集合{(2,3)}的元素.(3) 平方等于 3 的数是± 3,当然是实数,而平方等于-1 的实数是不存在的. b ? ? 7.设 a,b∈R,集合{1,a+b,a}=?0,a,b?,则 b-a=__2__.
? ?

b [解析] 显然 a≠0,则 a+b=0,a=-b, =-1,所以 a=-1,b=1,b-a=2. a 三、解答题 8.用适当的方法表示下列集合,并指出它们是有限集还是无限集. 导学号 69174028 (1)不超过 10 的非负质数的集合; (2)大于 10 的所有自然数的集合. [解析] (1)不超过 10 的非负质数有 2,3,5,7,用列举法表示为{2,3,5,7},是有限集. (2)大于 10 的所有自然数有无限个,故可用描述法表示为{x|x>10,x∈N},是无限集. B 级 素养提升 一、选择题 1.下列集合中,不同于另外三个集合的是 ( B A.{x|x=1} C.{1} B.{x|x2=1} D.{y|(y-1)2=0} )

[解析] {x|x2=1}={-1,1},另外三个集合都是{1},选 B. 2.下列六种表示法:①{x=-1,y=2};②{(x,y)|x=-1,y=2};③{-1,2};④(-1,2);⑤{(-1,2)}; ⑥{(x,y)|x=-1 或 y=2}.
? ?2x+y=0, 能表示方程组? 的解集的是 ( C ?x-y+3=0 ?

) D.②⑤⑥

A.①②③④⑤⑥

B.②③④⑤

C.②⑤

?2x+y=0, ?x=-1, ? ? [解析] 方程组? 的解是? 故选 C. ? ? ?x-y+3=0 ?y=2.
3.已知集合 A 是由 0,m,m2-3m+2 三个元素组成的集合,且 2∈A,则实数 m 的值为 ( B ) A.2 B.3 C.0 或 3 D.0 或 2 或 3

[解析] 因为 2∈A,所以 m=2 或 m2-3m+2=2,解得 m=0 或 m=2 或 m=3.又集合中的元素要满足互 异性,对 m 的所有取值进行一一检验可得 m=3,故选 B.

x y z |xyz| 4. 已知 x, y, z 为非零实数, 代数式 + + + 的值所组成的集合是 M, 则下列判断正确的是 ( D ) |x| |y| |z| xyz A.0?M B.2∈M C.-4?M D.4∈M

x x [解析] 当 x>0 时, =1,当 x<0 时, =-1, |x| |x| 故当 x,y,z 全为正时,原式=4; 当 x,y,z 两正一负时,xyz<0,原式=0; 当 x,y,z 两负一正时,xyz>0,原式=0; 当 x,y,z 全为负时,xyz<0,原式=-4,故 M 的元素有 4,0,-4,∴4∈M.故选 D. 二、填空题 5. 已知 P={x|2<x<k, x∈N, k∈R}, 若集合 P 中恰有 3 个元素, 则实数 k 的取值范围是__{k|5<k≤6}__. [解析] x 只能取 3,4,5,故 5<k≤6. 3 6.用列举法写出集合{ ∈Z|x∈Z}=__{-3,-1,1,3}__. 3-x 3 [解析] ∵ ∈Z,x∈Z, 3-x ∴3-x 为 3 的因数. ∴3-x=± 1,或 3-x=± 3. 3 3 ∴ =± 3,或 =± 1. 3-x 3-x ∴-3,-1,1,3 满足题意. C 级 能力拔高 1.设 A,B 为两个实数集,定义集合 A+B={x|x1+x2,x1∈A,x2∈B},若 A={1,2,3},B={2,3},则集 合 A+B 中元素的个数为 ( B ) A.3 B.4 C.5 D.6

[解析] 当 x1=1 时,x1+x2=1+2=3 或 x1+x2=1+3=4;当 x1=2 时,x1+x2=2+2=4 或 x1+x2=2 +3=5;当 x1=3 时,x1+x2=3+2=5 或 x1+x2=3+3=6.∴A+B={3,4,5,6},共 4 个元素. 2.已知集合 A={x|ax2-3x+2=0}. (1)若 A 是单元素集合,求集合 A; (2)若 A 中至少有一个元素,求 a 的取值范围. [分析] 集合 A 是方程 ax2-3x+2=0 的解集, 故可将求集合中元素个数问题转化为方程根的个数问题. (1) 集合 A 为单元素集合,说明方程有唯一根或两个相等的实数根.要注意方程 ax2-3x+2=0 可能不是一元二 次方程.(2)至少有一个元素,说明方程有一根或两根.

2 [解析] (1)因为集合 A 是方程 ax2-3x+2=0 的解集,则当 a=0 时,A={ },符合题意; 3 当 a≠0 时,方程 ax2-3x+2=0 应有两个相等的实数根, 9 4 则 Δ=9-8a=0,解得 a= ,此时 A={ },符合题意. 8 3 2 9 4 综上所述,当 a=0 时,A={ },当 a= 时,A={ }. 3 8 3 2 (2)由(1)可知,当 a=0 时,A={ }符合题意; 3 当 a≠0 时,要使方程 ax2-3x+2=0 有实数根, 9 则 Δ=9-8a≥0,解得 a≤ 且 a≠0. 8 9 综上所述,若集合 A 中至少有一个元素,则 a≤ . 8 [点评] “a=0”这种情况容易被忽视,如“方程 ax2+2x+1=0”有两种情况:一是“a=0”,即它是 一元一次方程;二是“a≠0”,即它是一元二次方程,只有在这种情况下,才能用判别式“Δ”来解决. 3.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中,则称该数集为“可倒数集”. (1)判断集合 A={-1,1,2}是否为可倒数集; (2)试写出一个含 3 个元素的可倒数集. 1 [解析] (1)由于 2 的倒数为 不在集合 A 中,故集合 A 不是可倒数集. 2 1 1 (2)若 a∈A,则必有 ∈A,现已知集合 A 中含有 3 个元素,故必有一个元素有 a= ,即 a=± 1,故可以取集合 a a 1 1 1 A={1,2, }或{-1,2, }或{1,3, }等 2 2 3



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