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2019年高考数学一轮复习: 第2章 函数、导数及其应用 第8节 函数与方程学案 理 北师大版

第八节 一元二次方程根的存在性与根的个数. 函数与方程 [考纲传真] (教师用书独具)结合二次函数的图像, 了解函数的零点与方程根的联系, 判断 (对应学生用书第 27 页) [基础知识填充] 1.函数的零点 (1)定义:函数 y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点. (2)函数零点与方程根的关系:方程 f(x)=0 有实根?函数 y=f(x)的图像与 x 轴有 交点?函数 y=f(x)有零点. (3)零点存在性定理 若函数 y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线,并且在区间端点的函数值符 号相反,即 f(a)·f(b)<0,则在区间(a,b)内,函数 y=f(x)至少有一个零点,即 相应方程 f(x)=0 在区间(a,b)内至少有一个实数解. (4)二分法:对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数 y=f(x),通过 不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点所似值的方法叫作二分法. 2.二次函数 y=ax +bx+c(a>0)的图像与零点的关系 Δ =b -4ac 二次函数 y=ax + 2 2 2 Δ >0 Δ =0 Δ <0 bx+c (a>0)的图像 与 x 轴的交点 零点个数 [知识拓展] 有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数,则 f(x)至多有一个零点. (2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. (3)连续不断的函数图像通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号. [基本能力自测] 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图像与 x 轴的交点.( ) (x1,0),(x2,0) 2 (x1,0) 1 无交点 0 (2) 函数 y = f(x) 在区间(a , b) 内有零点 ( 函数图像连续不断 ) ,则 f(a)·f(b) < 0.( ) (3)若函数 f(x)在(a,b)上单调且 f(a)·f(b)<0,则函数 f(x)在[a,b]上有且只 有一个零点.( ) ) (4)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.( (5)二次函数 y=ax +bx+c 在 b -4ac<0 时没有零点.( [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 2 2.函数 f(x)=ln x- 的零点所在的区间是( (5)√ ) 2 2 ) x A.(1,2) B.(2,3) D.(4,+∞) ?1 ? C.? ,1?和(3,4) ?e ? B 2 [易知 f(x)为增函数,由 f(2)=ln 2-1<0,f(3)=ln 3- >0,得 f(2)·f(3)< 3 0.故选 B.] 3.下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( A.y=cos x C.y=ln x A ) B.y=sin x D.y=x +1 2 2 [由于 y=sin x 是奇函数; y=ln x 是非奇非偶函数, y=x +1 是偶函数但没有零点, 只有 y=cos x 是偶函数又有零点.] 4.(教材改编)函数 f(x)=e +3x 的零点个数是( A.0 B B.1 C.2 D.3 x ) 1 [∵f(-1)= -3<0,f(0)=1>0, e ∴f(x)在(-1,0)内有零点, 又 f(x)为增函数,∴函数 f(x)有且只有一个零点.] 5. 函数 f(x)=ax+1-2a 在区间(-1,1)上存在一个零点, 则实数 a 的取值范围是________. ?1,1? [∵函数 f(x)的图像为直线, ?3 ? ? ? 由题意可得 f(-1)·f(1)<0, 1 ∴(-3a+1)·(1-a)<0,解得 <a<1, 3 ?1 ? ∴实数 a 的取值范围是? ,1?.] ?3 ? (对应学生用书第 28 页) 判断函数零点所在区间 x-2 ?1? (1)已知函数 f(x)=ln x-? ? 的零点为 x0,则 x0 所在的区间是( ?2? ) A.(0,1) C.(2,3) B.(1,2) D.(3,4) (2)(2018·北京东城区综合练习(二))已知函数 f(x)=ln x+2x-6 的零点在 ?k,k+1?(k∈Z)内,那么 k=________. ?2 ? 2 ? ? (1)C x-2 ?1? (2)5 [(1)∵f(x)=ln x-? ? 在(0,+∞)上是增函数, ?2? -1 ?1? 又 f(1)=ln 1-? ? =ln 1-2<0, ?2? f(2)=ln 2-? ? <0, 2 f(3)=ln 3-? ? >0, 2 ∴x0∈(2,3),故选 C. 1 ?5? (2)∵f′(x)= +2>0, x∈(0, +∞), ∴f(x)在 x∈(0, +∞)上单调递增, 且 f? ? x ?2? 5 ?5 ? =ln -1<0,f(3)=ln 3>0,∴f(x)的零点在? ,3?内,则整数 k=5.] 2 ?2 ? [规律方法] 判断函数零点所在区间的方法 解方程,当对应方程易解时,可通过解方程,看方程是否有根落在给定区间上来判断. 利用零点存在性定理进行判断. 数形结合画出函数图像,通过观察图像与 x 轴在给定区间内是否有交点来判断. [跟踪训练] (1)设 f(x)=ln x+x-2,则函数 f(x)的零点所在的区间为( A.(0,1) C.(2,3) 2 ?1? ? ? ?1? ? ? 0 1 ) B.(1,2) D.(3,4) (2)函数 f(x)=x -3x-18 在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零 点. (1)B (2)存在 [(1)函数 f(x)的零点所在的区间可转化为函数 g(x)=ln x,h(x)=- x+2 图像交点的横坐标所在的取值范围.作图如下: 可知 f(x)的零点所


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