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2011年高考数学高考模拟试题


2011 年高考数学高考模拟试题 河北正定中学 杨春辉

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的) 1.已知集合 S ? {x | log 2 ( x ? 1) ? 0}, T ? {x | A. (0,2) B. (-1,2)

2? x ? 0}, 则 S ? T 等于 2? x
D. (2,+∞)

C. (-1,+∞)

2.复数 z1 ? 2 ? i, z2 ? 1 ? i ,那么复数 z1 ? z2 在复平面上对应的点所在的象限是 A.第一象限 3.在 ? x 2 ? A. 55 B.第二象限
8

C.第三象限

D.第四象限 )

? ?

1? ? 的展开式中,含 x 的项的系数是( x?
C. 56 D. ? 56

B. ? 55

?x ? y ? 2 ? 0 ? 4.若实数 x, y 满足 ? x ? 4 则 z ? y ? x 的最小值为 ?y ? 5 ?
A.0 B. ?6 C.8 D.1

5.在等差数列 {an } 中,有 a6 ? a7 ? a8 ? 12 ,则此数列的前 13 项之和为 A.24 B.39 C.52 D.104

6.已知 m 、 n 是两条不重合的直线, ? 、 ? 、 ? 是三个两两不重合的平面,则下列四个命题中真命题是 A.若 m ∥ ? , n ∥ ? ,则 m ∥ n B.若 m ∥ ? , m ∥ n ,则 n ∥ ? C.若 ? ∥ ? , ? ∩ ? = m , ? ∩ ? = n ,则 m ∥ n D.若 m ? ? , n ? ? , m ∥ n ,则 ? ∥ ? 7.已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x 在 x ?

?
4

时取最小值,则函数 y ? f (

3? ? x) 是 4

A.偶函数且图像关于点 (? ,0) 对称 C.奇函数且图像关于点 ( ? , 0) 对称
1 1

B.偶函数且图像关于点 ( ? , 0) 对称 D.奇函数且图像关于点 (? ,0) 对称

3 2

3 2

8.设 a ? log 2 3, b ? 2 2 , c ? 55 ,则 A. b ? a ? c B. c ? b ? a C. a ? b ? c D. a ? c ? b

9.将 5 名同学分配到 A、B、C 三个宿舍中,每个宿舍至少安排 1 名学生,那么不同的分配方案有 A.76 B.100 C.132 D.150
x 10.函数 f ( x) ?| 2 ?1| ,若实数 a , b 满足 a ? b ,并且 f (a) ? f (b) ,则 2
1? a

? 2b 的取值范围是

A. (1, ??) 11. 过双曲线

B. [1, ??)

C. (2 2 ? 2, ??)

D. [2 2 ? 2, ??)

x2 y 2 ? ? 1(b ? a ? 0) 的左焦点作直线 FE 与圆 x2 ? y 2 ? a2 相切于点 E ,与双曲线的右支交于点 P , a 2 b2 ??? ? 1 ??? ? ??? ? 若 OE ? (OF ? OP ) ,则双曲线的离心率为 2 1? 5 5 A. B. C. 5 D. 2 5 2 2
12.四面体 PABC 中,AC ? BC,AC= 3 ,BC=1, ?PAB 是正三角形,且平面 PAB ? 平面 ABC,则四面体 PABC 的外接球的表面积为 A.

4? 3

B.

16 ? 3

C. 4?

D. 16?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) . 13.设向量 a ? (sin ? ,2) 与向量 b ? (cos ? ,1) 共线,则 tan 2? ? 14.不等式 x ? | 2 x ? 1|? a 的解集为 ? ,则实数 a 的取值范围是
2

?

?

. .

15.已知不平行于 x 轴的直线 y ? kx ? b(b ? 0) 与抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 交于 A 、 B 两点,点 A 、 B 到 y 轴的 距离的差等于 2 k ,则抛物线的焦点坐标为 .

16.已知 f ( x) 是定义在 R 上的函数,且满足 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) f ( x) ? f ( x) ? 1 , f (1) ?

1 1 , f (2) ? ,则 2 4

f (2011) ?
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) . 17. (本题满分 10 分) 在 ?ABC 中, C ? 120? ,求

1 1 ? 的最小值. tan A tan B

18. (本题满分 12 分) 在一块倾斜放置的矩形木块上钉着一个形如“等腰三角形” 有空隙作为通道,自上而下第 1 行 2 个铁钉之间有 1 个空隙,第 空隙??第 5 行 6 个铁钉之间有 5 个空隙 (如图) . 某人将一个玻 滚动,玻璃球碰到第 2 行居中的铁钉后以相等的概率滚入第 2 行 玻璃球按类似方式继续往下滚动,落入第 5 行的某一个空隙后, 槽.玻璃球落入不同球槽得到的分数 ? 如图所示. (Ⅰ)求 E? ; (Ⅱ)若此人进行 4 次相同试验,求至少 3 次获得 4 分的概率.

的五行铁钉,钉子之间留 2 行 3 个铁钉之间有 2 个 璃球从第 1 行的空隙向下 的左空隙或右空隙,以后 掉入木板下方相应的球

19. (本题满分 12 分) 四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是矩形, 侧面 PAB 是正 PAB⊥平面 ABCD,PD⊥AC,E 是棱 PA 的中点. (I)求证:PC//平面 EBD;

三角形,平面

(II)求二面角 E-BD-A 的大小.

20. (本题满分 12 分)
2 ax 已知函数 f ( x) ? x e , x ? R, 其中 e 为自然对数的底数, a ? R .

(Ⅰ)设 a ? ?1, x ?[?1,1] ,求函数 y ? f ( x) 的最值;

(Ⅱ)若对于任意的 a ? 0 ,都有 f ( x) ? f ( x) ?
'

x 2 ? ax ? a 2 ? 1 ax e 成立,求 x 的取值范围. a

21. (本题满分 12 分) 过椭圆 C:

y2 x2 ? ?? 1 (a ? b ? 0) 上一点 P,作圆 O: x 2 ? y 2 ? b 2 的两条切线 PA、PB,切点为 A、B,直 a2 b2

线 AB 与 x 轴、 y 轴分别相交于 M、N 两点. (I)设 P ( x0 , y0 ) ,且 x0 ? y0 ? 0 ,求直线 AB 的方程.

(II)若椭圆 C 的短轴长为 8,且

a2 b2 25 ,求此椭圆的方程. ? ? 2 2 16 | OM | | ON |

(III)试问椭圆 C 上是否存在满足 PA ? PB 的点 P,说明理由.

22. (本题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, an ? 2an?1 ? n ? 2(n ? 2). (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)若数列 {bn } 中 b2 ? 4 ,前 n 项和为 Sn ,且 4
bn 1 1 5 证明: (1 ? ) 2 ? . bn 3

Sn ?n

? (an ? n)bn (n ? N*).

参考答案: 一、DADBC, CDBDA,CB 二、13. ?

4 1 1 ;14. (??, ) ;15. (0, ) 3 2 2

16.

1 3

三、17.解:? C ? 120?,? A ? B ? 60?, B ? 60? ? A.

1 1 sin A cos B ? cos A sin B sin( A ? B) 3 ? ? ? ? tan A tan B sin A sin B sin A sin B 2sin A sin(60? ? A)
? 3 2 3 2 3 ? ? . sin A( 3 cos A ? sin A) 3 sin 2 A ? cos 2 A ? 1 2sin(2 A ? 30?) ? 1

由题意, 0? ? A ? 60? ,则 30? ? 2 A ? 30? ? 150? , 所以当 2 A ? 30? ? 90? ,即 A ? 30? 时,

1 1 ? 有最小值 2 3 tan A tan B
1 的概率落入铁钉 2

18.解: (Ⅰ)从第 1 行开始,玻璃球从一个空隙向下滚动,碰到此空隙下方的一个铁钉后以 左边的空隙,同样以

1 的概率落入铁钉右边的空隙.玻璃球继续往下滚动时,总有落入铁钉左边和右边空隙的两 2 种结果.到最后落入某一个球槽内,一共进行了 4 次独立重复试验,设 4 次独立重复试验中落入左边空隙的次数 1 为η ,则 ? ? B(4, ) . 2 1 0 1 4 1 4 1 4 1 0 , P(? ? 6) ? P(? ? 0, 或? ? 4) ? P(? ? 0) ? P(? ? 4) ? C0 4 ( ) ( ) + C4 ( ) ( ) ? 2 2 2 2 8 11 1 3 1 3 1 3 1 1 , P(? ? 4) ? P(? ? 1, 或? ? 3) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) ? C1 4 ( ) ( ) + C4 ( ) ( ) ? 2 2 2 2 2 1 2 1 2 6 3 P(? ? 2) ? P(? ? 2) ? C2 ? . 4( ) ( ) ? 2 2 16 8 1 1 3 则 E? ? 6 ? ? 4 ? ? 2 ? ? 3.5 . 8 2 8 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,此人一次试验获得 4 分的概率 P ? ,他进行 4 次相同试验可以看着他进行了 4 次独立 2 重复试验, 1 3 11 5 4 1 4 则至少 3 次获得 4 分的概率 P ? C3 . 4 ( ) ( ) + C4 ( ) ? 2 2 2 16 19.解: (I)证明:在矩形 ABCD 中,设 AC、BD 交点为 O,则 O 是 AC 中点.又 E 是 PA 中点,所以 EO 是△ PAC 的中位线. 所以 PC//EO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 分 又 EO? 平面 EBD,PC ? 平面 EBD.所以 PC//平面 EBD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 (II) 取 AB 中点 H,则由 PA=PB,得 PH⊥AB,所以 PH⊥平面 ABCD. 以 H 为原点,建立空间直角坐标系

H- xyz (如图) .设 AB=2 m, AD= n ,则

A(m,0,0), B(?m, 0, 0), C( ? m,n,0), D(m, n, 0), P(0, 0, 3m), E (

m 3m , 0, ). 2 2

所以 PD ? (m, n, ? 3m) , AC ? (?2m, n,0) , BE ? (

??? ?

??? ?

??? ?

3m 3m , 0, ) 2 2

由 PD⊥AC,得 PD ? AC ? 0 , 即 ?2m ? n ? 0 , n ?
2 2

??? ? ??? ?

2m .

所以, BD ? (2m, 2 m,0) 设

??? ?

? ? ( x1, y1, z1 )

? ?







EBD











? ? ??? ? ? ? ??? ? ? 3m 3m ? ? ? ? BE ? ? BE ?0 x1 ? 0 ? y1 ? z1 ? 0 ? ? ? ? ? z ? ? 3x1 ?? 2 ?? 1 2 ? ??? ? ? ?? ? ??? ? ?? ? ? ? ? 2mx ? 2 my ? 0 ? z ? 0 ?? ? BD ?? ? BD ? 0 ? y1 ? ? 2 x1 ? 1 1 1 ? ? 不妨取 x1 ? 1 ,则得到平面 EBD 的一个法向量 ? ? (1, ? 2, ? 3) .
由于 HP ? (0,0, 3m) 是平面 ABD 的法向量,故 ? ? (0,0, ?1) 是平面 ABD 的一个法向量. 设 ? ? (1, ? 2, ? 3) 与 ? ? (0,0, ?1) 夹角 ? , ? 的大小与二面角 E-BD-A 大小相等.

??? ?

? ?

? ?

? ?

? ?? 3 2 ? ?? ?? , ? ? 45? . cos ? ? ? ? 2 |? | ?| ? | 6

? ? ??

所以求二面角 E-BD-A 的大小为 45 ? . 20.解: (Ⅰ)当 a ? ?1 时, f ( x) ? x2 ? e? x , f ?( x) ? ? x ? ( x ? 2) ? e? x . 当 x 在 [?1,1] 上变化时, f ?( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x
y ? f ?( x)

?1

(?1, 0)


0

(0,1)


1

0
0

y ? f ( x)

e

?

?

1 e

∴ x ?[?1,1] 时, f ( x)max ? f (?1) ? e , f ( x)min ? f (0) ? 0 . (Ⅱ)∵ f ( x) ? x2 ? eax , f ?( x) ? (2 x ? ax2 )eax , ∴原不等式等价于: x ? e
2 ax

? (2 x ? ax 2 ) ? eax ?

x 2 ? ax ? a 2 ? 1 ax ?e , a

即 (a ?

1 1 x 2 ? 3x ) ? ( x 2 ? 1) ? x 2 ? 3 x , 亦即 a ? ? 2 . a a x ?1

∴对于任意的 a ? 0 ,原不等式恒成立,等价于 a ?

1 x 2 ? 3x ? 2 对 a ? 0 恒成立, a x ?1

∵对于任意的 a ? 0 时, a ?

1 1 . ? 2 a ? ? 2 (当且仅当 a ? 1 时取等号) a a

∴只需

x 2 ? 3x ? 2 ,即 x2 ? 3x ? 2 ? 0 ,解之得 x ? ?2 或 x ? ?1 . 2 x ?1

因此, x 的取值范围是 (??, ?2] ? [?1, ??) . 21.解: (1)以 O,P 为直径的两个端点,

构造圆的方程 x( x ? x0 ) ? y( y ? y0 ? 0) (1)及 x 2 ? y 2 ? b 2 两式相减得 AB 方程为 x0 x ? y0 y ? b 2 (2)令 x ? 0, y ?

(2)

b0 16 ? y0 y0
?| OM |? 16 16 , | ON |? | x0 | | y0 |
2 2

2

令 y ? 0,

x?

16 x0

?

a2 b2 25 ? ? 2 2 16 | OM | | ON |
2

? a 2 x0 ? b 2 y0 ? 25?16

2 y0 x 2 2 又 P 点在椭圆上,? 2 ? 02 ? 1 ? a b ? 25? 16 a b

? b ? 4 , ? a 2 ? 25

? 椭圆方程为

y2 x2 ? ?1 25 16

(3)若 PA ? PB ,由切线定理|PA|=|PB|,知四边形必是正方形,

? | PO |? 2 b

要使 P 点存在,下列方程必有解

? x 2 ? y 2 ? 2b 2 b 2 (a 2 ? 2b 2 ) ? 2 2 2 ? x ? ?0 ?y x a2 ? b2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a

? a ? b ? a ? 2 b 时,存在点 P;若 a ? 2 b ,这样的点 P 不存在。
22.解: (I)解法一、? an ? 2an?1 ? n ? 2(n ? 2) ????????①

an?1 ? 2an ? n ? 1 ????????????② ②-①得 an?1 ? an ? 2an ? 2an?1 ? 1 ? an?1 ? an ? 1 ? 2(an ? an?1 ? 1) ?{an ? an?1 ? 1}为公比为 2,首项为 2 的等比数列.

? an ? an?1 ? 2 n?1 ? 1, (n ? 2) 递推叠加得 ? an ? 2 n ? n, (n ? 1) 解法二、? an ? 2an?1 ? n ? 2(n ? 2) ????????① 设 an ? xn ? y ? 2(an?1 ? x(n ? 1) ? y) 即 an ? 2an?1 ? xn ? y ? 2 x 与①式比较系数
得:x=1,y=0

? an ? n ? 2(an?1 ? n ? 1) ∴数列{ an ? n }是以首项 a1+1,公比为 2 的等比数列,即 an ? n ? 2 ? 2 n?1 ? 2 n ? an ? 2 n ? n, (n ? 1) S ?n b (II)? 4 n ? (an ? n) n ? 4 Sn ?n ? 2nbn ? 2S n ? 2n ? nbn ??????????????② 由②可得:? 2S n?1 ? 2(n ? 1) ? (n ? 1)bn?1 ??????③ ③-②,得 2(bn?1 ? 1) ? (n ? 1)bn?1 ? nbn 即 (n ? 1)bn?1 ? nbn ? 2 ? 0 ????????????④ 又由④可得 nbn?2 ? (n ? 1)bn?1 ? 2 ? 0 ??????⑤ ⑤-④得 nbn?2 ? 2nbn?1 ? nbn ? 0 即 bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0 ?bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn (n ? N*) ?{bn }是等差数列. ? b1 ? 2, b2 ? 4,? bn ? 2n

1 bn 1 0 1 1 2 1 2 r 1 r n 1 n (1 ? ) 2 ? (1 ? ) n ? Cn ? Cn ? Cn ( ) ? ? ? Cn ( ) ? ? ? Cn ( ) bn 2n 2n 2n 2n 2n
r ? Cn (

1

1 r 1 C4 1 n(n ? 1) ? (n ? r ? 1) 1 1 ) ? r ? n ? r ? ? r ? r r 2n 2 n 2 n ? r! 2 2 ? 2 ??? 2 ?1 (r ? 1,2, ? n) 1 1 1 1 1 2 1 2 r n 1 n ? Cn ( ) ? ? ? Cn ( ) r ? ? ? Cn ( ) ? 1 ? ? 3 ? ? ? 2 n ?1 2n 2n 2n 2n 2 2 2

?

1 2
2 r ?1

0 1 ? Cn ? Cn

2 1 5 ? 1 ? (1 ? n ) ? 3 4 3

? (1 ?

1 n 5 ) ? 2n 3

即(1 ?

bn 1 1 5 )2 ? bn 3


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