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湖南省浏阳一中2013届高三第二次月考数学(文)试题


浏阳一中 2013 届高三第二次月考数学(文)试题

一、选择题(本大题共 9 小题,每小题 5 分,满分 45 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合 A={x|sinx<0,0≤x≤2π },B={x|cosx>0, 0≤x≤2π },则 A∩B= A. (0,

?

2 3? C. (? , ) 2

)

,? ) 2 3? D. ( ,2? ) 2
B. (

?

2.复数 Z 为复数 1 ? i 的共轭复数,则 (1 ? i) Z = A. 2i 3.条件 A: ? ? “ B. ? 2i C.2

?

D.?2

4

”是结论 B: a “n t

? ? 1”的

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.执行如图的程序框图,则输出的 ? 是 A. ?4 B. ?2 C. 0 D. ?2 或 0 5.正四棱锥的底面边长为 6,侧棱长为 5,则下面是该棱锥的侧视图的是

6.经过抛物线 y ? 4 x 焦点且渐近线方程为 x ? y ? 0 的双曲线方程是
2

A. x ? y ? 4
2 2

B. x ? y ? 2
2 2

C. x ? y ? 1
2 2

D. x ? y ? ?1
2 2

7.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |?

?
2

) 的部分图象

y
1

? 如图示,则将 y ? f ( x) 的图象向右平移 个单位后,得到的 6
图象解析式为 A.y= sin 2x B.y= sin(2 x ?

11? 12

O

? 6

x
?
6

?

6 2 8.若对任意正数 x ,均有 a ? 1 ? x ,则实数 a 的取值范围是
A. [-1,1] B.(-1,1) C. ? ? 1 ? x , 1 ? x ?

)

C.y= sin(2 x ?

2? ) 3

D.y= sin(2 x ?

)

?

?

D. (? 1 ? x , 1 ? x )

9.某三角形的三边长分别是 2、3、4,则该三角形的面积是 A.

3 15 4

B.

3 4

C.

3 15 2

D.

15 2

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分)
第 1 页 共 10 页

10.右图是姚明在六场篮球比赛中所得分数的茎叶图,则他在这六场比赛 中所得分的极差是 ;中位数是 。 11.在直角坐标系 xoy 中, 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐 标系,则圆 ? ? 2 ? cos ? ? 3 ? 0 标准方程是__________.
2

12.在△ABC 中,∠C 为直角, AB =(x,0), AC =(-1,y),则动点 P(x,y)的轨迹方程是_____. 13.对于函数 f(x),在使 f(x)≥M 成立的所有常数 M 中,我们把 M 的最大值称为 f(x)的"下 确界",则函数 f ( x) ? 1 ? 4 x ?

??? ?

????

1 5 , x ? (??, ) 的"下确界"等于_________. 5 ? 4x 4
2 x

14.设集合 A={x| y ? lg x },B={x| x ? 2 },求,则 A∩B=______. 15.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩 上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如图2中的 实心点个数1,5,12,22,?,被称为五角形数,其中第1个五角形数记作 a1 ? 1 ,第2 个 五 角 形 数 记 作 a2 ? 5 , 第 3 个 五 角 形 数 记 作 a3 ? 12 , 第 4 个 五 角 形 数 记 作

a4 ? 22 ,??,若按此规律继续下去,则 a5 ?

,若 an ? 145 ,则 n ?



三、解答题(本大题6个小题,共75分)
16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2cos 2

x ? 3 sin x . 2

(1)求函数 f(x)的最小正周期和值域; (2)若 ? 为第二象限角,且 f (? ?

?

1 cos 2? 的值. ) ? ,求 3 3 1 ? cos 2? ? sin 2?

17. (本小题满分12分) 某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生, 将他们的期中考试数学成绩 (满分 100 分, 成绩均为不低于 40 分的整数) 分成六段: [40,50), [50,60),? , [90,100],后得到如图 4 的频率分布 直方图. ⑴ 求图中实数 a 的值; ⑵ 若该校高一年级共有学生 640 人, 试估 计该校高一年级期中考试数学成绩不低于 60 分 的人数;

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⑶ 若从数学成绩在[40,50)与 [90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生,求这 两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率.

18. (本小题满分12分) 如图 5 所示,在三棱锥 P-ABC 中, AB ? BC ? 6 ,平面 PAC⊥平面 ABC, PD ? AC 于点 D , AD=1,CD=3,PD=2. ⑴ 求三棱锥 P—ABC 的体积; ⑵ 证明△PBC 为直角三角形.

19. (本小题满分 12 分) 已知二次函数 f(x)的最小值为 ?4, 且关于 x 的不等式 f(x) ≤0 的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R}. ⑴ 求函数 f(x)的解析式; ⑵ 求函数 g ( x) ?

f ? x? x

? 4 ln x 的零点个数.

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln x 的图象是曲线 C,点 An (an , f (an ))(n ? N ) 是曲线 C 上的一系列
*

点, 曲线 C 在点 A n 处的切线与 y 轴交于点 Bn (0, bn ) ,若数列 {bn } 是公差为 2 的等差数 列,且 f (a1 ) ? 3. ⑴ 分别求出数列 {an } 与数列 {bn } 的通项公式; ⑵ 设 O 为坐标原点, S n 表示 ?OAn Bn 的面积,求数列 {S n } 的前 n 项和 Tn .
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21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ?

1 2 ax ? x , a ?R. 2

⑴ 求函数 f(x)的单调区间; ⑵ 是否存在实数 a ,使得函数 f(x)的极值大于 0 ?若存在,求 a 的取值范围;若不存在, 说明理由.

第 4 页 共 10 页

数学(文科)参考答案
一、选择题:本题主要考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 45 分。 二、填空题:本题主要考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 30 分。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。

17. (本小题满分12分) (1)解:由于图中所有小矩形的面积之和等于 1, 所以 10 ? (0.005 ? 0.01 ? 0.02 ?a ? 0.025 ? 0.01) ? 1 .解得 a ? 0.03 . (2)解:根据频率分布直方图,成绩不低于 60 分的频率为 1 ? 10 ? (0.005 ? 0.01) ? 0.85 . 由于该校高一年级共有学生 640 人, 利用样本估计总体的思想, 可估计该校高一年级数 学成绩不低于 60 分的人数约为 640 ? 0.85 ? 544 人. (3)解:成绩在 ? 40,50 ? 分数段内的人数为 40 ? 0.05 ? 2 人,分别记为 A , B .??6 分 成绩在 ?90,100? 分数段内的人数为 40 ? 0.1 ? 4 人,分别记为 C , D , E , F . 7 分 若从数学成绩在 ? 40,50 ? 与 ?90,100? 两个分数段内的学生中随机选取两名学生, 则所有 的基本事件有: ? A, B ? , ? A, C ? ,。。 ? D, F ? , ? E , F ? 共 15 种.?9 分 。。 如果两名学生的数学成绩都在 ? 40,50 ? 分数段内或都在 ?90,100? 分数段内, 那么这两名 学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于 10.如果一个成绩在 ? 40,50 ? 分数段内,另一

第 5 页 共 10 页

个成绩在 ?90,100? 分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于 10. 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10”为事件 M ,则事件 M 包含的基 本事件有:

? A, B ? , ? C , D ? , ? C , E ? , ? C , F ? , ? D, E ? , ? D, F ? , ? E, F ? 共 7 种.
7 .? 15

所以所求概率为 P ? M ? ? 18. (本小题满分12分)

(2)证法 1:因为 PD ? AC ,所以△ PCD 为直角三角形. 因为 PD ? 2 , CD ? 3 , 所以 PC ?

PD 2 ? CD 2 ? 22 ? 32 ? 13 .??7 分

连接 BD ,在 Rt △ BDE 中, 因为 ?BED ? 90o , BE ? 所以 BD ?

2 , DE ? 1 ,

BE 2 ? DE 2 ?

? 2?

2

? 12 ? 3 .????9 分

由(1)知 PD ? 平面 ABC ,又 BD ? 平面 ABC , 所以 PD ? BD . 在 Rt △ PBD 中,因为 ?PDB ? 90o , PD ? 2 , BD ? 3 , 所以 PB ?

PD 2 ? BD 2 ? 22 ?

? 3?

2

? 7 .?

在 ?PBC 中,因为 BC ?

6 , PB ? 7 , PC ? 13 ,

所以 BC 2 ? PB2 ? PC 2 .所以 ?PBC 为直角三角形. 证法 2:连接 BD ,在 Rt △ BDE 中,因为 ?BED ? 90o , BE ? 所以 BD ?

2 , DE ? 1 ,

BE 2 ? DE 2 ?

? 2?

2

? 12 ? 3 .???7分

P

在△ BCD 中, CD ? 3 , BC ?

6 , BD ? 3 ,

第 6 页 共 10 页

A

E D B

C

所以 BC 2 ? BD2 ? CD2 ,所以 BC ? BD .????9分 由(1)知 PD ? 平面 ABC , 因为 BC ? 平面 ABC , 所以 BC ? PD . 因为 BD ? PD ? D ,所以 BC ? 平面 PBD . 因为 PB ? 平面 PBD ,所以 BC ? PB .所以 ?PBC 为直角三角形. 19. (本小题满分12分) 解:1) f(x) 是二次函数, 且关于 x 的不等式 f(x)≤0 的解集为 x ?1 ? x ? 3, x ? R , ( ?

?

?

? f ? x ? ? a( x ? 1)( x ? 3) ? ax 2 ? 2ax ? 3a , 且 a ? 0 . ···························3 分 ··························
因 a ? 0, f ? x ? ? a ?( x ? 1) ? 4 ? ? ?4 ,且 f ?1? ? ?4a ,? f ( x)min ? ?4a ? ?4, a ? 1. 5 分 ? ?
2

故函数 f ? x ? 的解析式为 f ? x ? ? x ? 2 x ? 3.
2

(2)

? g ( x) ?

x2 ? 2 x ? 3 3 ? 4ln x ? x ? ? 4ln x ? 2 ( x ? 0) x x
x, g ?( x), g ( x) 的取值变化情况如下:
(1, 3)
?
单调减少

,

? g ?( x) ? 1 ?

3 4 ( x ? 1)( x ? 3) . ? ? x2 x x2

x
g ?( x) g ( x)

(0, 1)

1

3

(3, ??)

?
单调增加

0
极大值

0
极小值

?
单调增加

当 0 ? x ? 3 时, g ? x ? ? g ?1? ? ?4 ? 0 ; 又g e

? ??e
5

5

?

3 ? 20 ? 2 ? 25 ? 1 ? 22 ? 9 ? 0 . 5 e
5

故函数 g ( x) 只有 1 个零点,且零点 x0 ? (3,e ). 20. (本小题满分 13 分)

第 7 页 共 10 页

(2)因 Sn=S△OAB=

| an | ? | bn | 1 ? ? 2n ? e2 n?1 ? ne2 n?1 2 2
9 ? e2Tn ? e 5? 2e 7 3e ? ? ? ne ? n ?2 3

?Tn ? e3 ? 2e5 ? 3e7 ? ? ? ne2 n ?1
2 3 5 7

两式相减得? (1 ? e )Tn ? e ? e ? e ? ? ? e

2 n ?1

1 ? e2 n ? ne2 n?3 = e3 ( ) ? ne2 n ?3 1 ? e2



ne2 n ?5 ? (n ? 1)e2 n ?3 ? e3 1 ? e2

所以 Tn ?

ne2 n ?5 ? (n ? 1)e2 n ?3 ? e3 (1 ? e2 ) 2

21. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查函数和方程、导数、函数的极值等知识, 考查函数与方程、分类与整合、 化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力) (1) 解:函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0, ?? ? . f ? ? x ? ? ① 当 a ? 0 时, f ? ? x ? ?

1 ax 2 ? x ? 1 ? ax ? 1 ? ? . x x

1? x ' ,∵ x ? 0, ∴ f ? x ? ? 0 x

∴ 函数 f ? x ? 单调递增区间为 ? 0, ?? ? . ② 当 a ? 0 时,令 f ? ? x ? ? 0 得 ?

ax 2 ? x ? 1 ? 0 , ∵x>0∴ ax 2 ? x ? 1 ? 0 . ∴△=1+4a. x

(ⅰ)当 ? ? 0 ,即 a ? ?

1 时,得 ax 2 ? x ? 1 ? 0 ,故 f ? ? x ? ? 0 , 4

∴ 函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0, ?? ? . (ⅱ)当 ? ? 0 ,即 a ? ?

1 时,方程 ax 2 ? x ? 1 ? 0 的两个实根分别为 4

x1 ?

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a , x2 ? . 2a 2a
第 8 页 共 10 页

若?

1 ? a ? 0 ,则 x1 ? 0, x2 ? 0 ,此时,当 x ? ? 0, ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0 . 4

∴函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0, ?? ? , 若 a ? 0 ,则 x1 ? 0, x2 ? 0 , 此时,当 x ? ? 0, x2 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,当 x ? ? x2 , ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0, ∴函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0,

? ? ?

? 1 ? 1 ? 4a ? 1 ? 1 ? 4a ? , ?? ? . 单调递减区间为 ? ?, ? ? ? 2a 2a ? ? ? ? 1 ? 1 ? 4a ? ? ,单调递减区间 ? ? 2a ? ?

综上所述,当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0,

为?

? 1 ? 1 ? 4a ? , ?? ? ; ? ? 2a ? ?

当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0, ?? ? ,无单调递减区间.

轴x?

1 ? 0 ,则只需 ? (1) ? 0 ,即 a ?1 ?1 ? 0 解得 a ? 2 ,而 a ? 0 , 2a

故实数 a 的取值范围为 ? 0, 2 ? .

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