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2018版高考数学大一轮复习第六章数列6.1数列的概念与简单表示法试题理


第六章 数列 6.1 数列的概念与简单表示法试题 理 北师大版

1.数列的定义 按一定次序排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项. 2.数列的分类 分类原则 按项数分类 无穷数列 按项与项间 的大小关系 分类 递增数列 递减数列 常数列 项数无限 类型 有穷数列 满足条件 项数有限

an+1__>_an an+1__<_an an+1=an
其中 n∈N+

3.数列的表示法 数列有三种表示法,它们分别是列表法、图像法和解析法. 4.数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项 an 与 n 之间的函数关系可以用一个式子来表示成 an=f(n),那么这个 公式叫作这个数列的通项公式.

【知识拓展】 1.若数列{an}的前 n 项和为 Sn,通项公式为 an, 则 an=?
? ?S1, ?Sn-Sn-1, ?

n=1, n≥2.
? ?an≥an-1, ?an≥an+1. ?

2.在数列{an}中,若 an 最大,则?
?an≤an-1, ? ? ?an≤an+1.

若 an 最小,则?

1

3.数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数,当自变量依 次从小到大取值时所对应的一列函数值,就是数列.

【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有数列的第 n 项都能使用公式表达.( × )

(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.( √ ) (3)1,1,1,1,?,不能构成一个数列.( × ) (4)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列.( × ) (5)如果数列{an}的前 n 项和为 Sn,则对任意 n∈N+,都有 an+1=Sn+1-Sn.( √ )

1.把 1,3,6,10,15,21,?这些数叫作三角形数,这是因为用这些数目的点可以排成一个正 三角形(如图所示).

则第 7 个三角形数是( A.27 C.29 答案 B

) B.28 D.30

解析 由图可知,第 7 个三角形数是 1+2+3+4+5+6+7=28. 1 1 1 1 2.已知数列 , , ,?, ,?,下列各数中是此数列中的项的是( 1×2 2×3 3×4 n?n+1? A. 1 35 B. 1 42 1 C. 48 1 D. 54 )

答案 B ?-1? 3.(教材改编)在数列{an}中,a1=1,an=1+ (n≥2),则 a5 等于(
n

an-1

)

A. C.

3 2 8 5

B. D.

5 3 2 3
2

答案 D ?-1? ?-1? 1 ?-1? ?-1? 2 解析 a2=1+ =2,a3=1+ = ,a4=1+ =3,a5=1+ = . a1 a2 2 a3 a4 3 4.数列{an}中,an=-n +11n,则此数列最大项的值是________. 答案 30 11 2 121 2 解析 an=-n +11n=-(n- ) + , 2 4 ∵n∈N+,∴当 n=5 或 n=6 时,an 取最大值 30. 5.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n +1,则 an=________.
?2,n=1, ? 答案 ? ? ?2n-1,n≥2
2 2 2 3 4 5

解析 当 n=1 时,a1=S1=2,当 n≥2 时,

an=Sn-Sn-1=n2+1-[(n-1)2+1]=2n-1,
? ?2,n=1, 故 an=? ?2n-1,n≥2. ?

题型一 由数列的前几项求数列的通项公式 例 1 (1)(2016·太原模拟)数列 1,3,6,10,?的一个通项公式是( A.an=n -(n-1) C.an=
2

)

B.an=n -1 D.an=

2

n?n+1?
2

n?n-1?
2

3 7 9 (2)数列{an}的前 4 项是 ,1, , ,则这个数列的一个通项公式是 an=________. 2 10 17 2n+1 答案 (1)C (2) 2 n +1 解析 (1)观察数列 1,3,6,10,?可以发现 1=1, 3=1+2, 6=1+2+3, 10=1+2+3+4,

3

? 第 n 项为 1+2+3+4+?+n= ∴an=

n?n+1?
2

.

n?n+1?
2

.

2×1+1 2×2+1 2×3+1 2×4+1 2n+1 (2)数列{an}的前 4 项可变形为 2 , 2 , 2 , 2 ,故 an= 2 . 1 +1 2 +1 3 +1 4 +1 n +1 思维升华 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略 (1)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想 (联想常见的数列)等方法. (2)具体策略:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③拆项后的特征;④各项 的符号特征和绝对值特征;⑤化异为同,对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破或寻找 分子、分母之间的关系;⑥对于符号交替出现的情况,可用(-1) 或(-1) 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式. (1)-1,7,-13,19,?; (2)0.8,0.88,0.888,?; 1 1 5 13 29 61 (3) , ,- , ,- , ,?. 2 4 8 16 32 64 解 (1)数列中各项的符号可通过(-1) 表示,从第 2 项起, 每一项的绝对值总比它的前一项 的绝对值大 6,故通项公式为 an=(-1) (6n-5). 1 ? 8? 1 ? 8? 1? 8? (2)数列变为 ?1- ?, ?1- 2?, ?1- 3?,?, 10 ? 9? 10? 9? 10 ? 9? 1? 8? 故 an= ?1- n?. 10 ? 9? (3)各项的分母分别为 2 2 2 2 ,?,易看出第 2,3,4 项的绝对值的分子分别比分母小 3. 2-3 因此把第 1 项变为- , 2 2 -3 2 -3 2 -3 2 -3 原数列化为- 1 , 2 ,- 3 , 4 ,?, 2 2 2 2 故 an=(-1)
n
1 2 3 4 1, 2, 3, 4

k

k+1

,k∈N+处理.

n

n

2 -3 n . 2

n

题型二 由 an 与 Sn 的关系求通项公式 例 2 2 1 (1)(2016·南昌模拟 ) 若数列{an} 的前 n 项和 Sn = an + ,则 {an} 的通项公式 an = 3 3

________. 答案 (-2)
n-1

4

2 1 2 1 解析 由 Sn= an+ ,得当 n≥2 时,Sn-1= an-1+ ,两式相减,整理得 an=-2an-1,又当 n 3 3 3 3 2 1 n =1 时,S1=a1= a1+ ,∴a1=1,∴{an}是首项为 1,公比为-2 的等比数列,故 an=(-2) 3 3
-1

.

(2)已知下列数列{an}的前 n 项和 Sn,求{an}的通项公式. ①Sn=2n -3n;②Sn=3 +b. 解 ①a1=S1=2-3=-1, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 =(2n -3n)-[2(n-1) -3(n-1)]=4n-5, 由于 a1 也适合此等式, ∴an=4n-5. ②a1=S1=3+b, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3 +b)-(3 =2·3
n-1 n n-1
2 2 2

n

+b)

.

当 b=-1 时,a1 适合此等式; 当 b≠-1 时,a1 不适合此等式. ∴当 b=-1 时,an=2·3
n-1



? ?3+b,n=1, 当 b≠-1 时,an=? n-1 ?2·3 ,n≥2. ?

思维升华 已知 Sn,求 an 的步骤 (1)当 n=1 时,a1=S1; (2)当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1;(3)对 n=1 时的情况进行检验,若适合 n≥2 的通项则可以合 并;若不适合则写成分段函数形式. (1) 已 知 数 列 {an} 的 前 n 项 和 Sn = 3n - 2n + 1 , 则 其 通 项 公 式 为 ________________. (2)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=2an+1,则 Sn 等于( A.2
n-1
2

)

3 n-1 B.( ) 2 D. 1 2
n-1

3 n C.( ) 2

5

?2,n=1, ? 答案 (1)an=? ? ?6n-5,n≥2

(2)B
2

解析 (1)当 n=1 时,a1=S1=3×1 -2×1+1=2; 当 n≥2 时,

an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]
=6n-5,显然当 n=1 时,不满足上式.
? ?2,n=1, 故数列的通项公式为 an=? ?6n-5,n≥2. ?

1 (2)由 an+1=Sn+1-Sn,得 Sn=Sn+1-Sn, 2 3 即 Sn+1= Sn(n≥1),又 S1=a1=1, 2 3 所以数列{Sn}是首项为 1,公比为 的等比数列, 2 3 n-1 所以 Sn=( ) ,故选 B. 2 题型三 由数列的递推关系求通项公式 例 3 根据下列条件,确定数列{an}的通项公式. 1 (1)a1=2,an+1=an+ln(1+ );

n

(2)a1=1,an+1=2 an; (3)a1=1,an+1=3an+2. 1 解 (1)∵an+1=an+ln(1+ ),

n

n

∴an-an-1=ln(1+

1

n-1

)=ln

n (n≥2), n-1

∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1 =ln

n-1 3 +ln +?+ln +ln 2+2 n-1 n-2 2 n n-1 3 · ·?· ·2) n-1 n-2 2

n

=2+ln(

=2+ln n(n≥2). 又 a1=2 适合上式,故 an=2+ln n(n∈N+). (2)∵an+1=2 an,∴ ∴an=
n

an n-1 =2 (n≥2), an-1

an an-1 a2 · ·?· ·a1 an-1 an-2 a1
6

=2

n-1

·2

n-2

·?·2·1=2

1+2+3+?+(n-1)

=2

n ( n ?1) 2

.

又 a1=1 适合上式,故 an= 2 (3)∵an+1=3an+2, ∴an+1+1=3(an+1), 又 a1=1,∴a1+1=2,

n ( n ?1) 2

.

故数列{an+1}是首项为 2,公比为 3 的等比数列, ∴an+1=2·3
n-1

,故 an=2·3

n-1

-1.

思维升华 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 (1)当出现 an=an-1+m 时,构造等差数列;(2)当出现 an=xan-1+y 时,构造等比数列;(3) 当出现 an=an-1+f(n)时,用累加法求解;(4)当出现 (1)已知数列{an}满足 a1=1,an=

an =f(n)时,用累乘法求解. an-1

n-1 ·an-1(n≥2 且 n∈N+),则 an=________. n
)

(2)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-1(n∈N+),则 a5 等于( A.-16 B.16 C.31 D.32

1 答案 (1) (2)B

n

解析 (1)∵an= ∴an-1=

n-1 an-1 (n≥2), n

n-2 1 an-2,?,a2= a1. n-1 2

以上(n-1)个式子相乘得 1 2 n-1 a1 1 an=a1· · ·?· = = . 2 3 n n n 1 当 n=1 时也满足此等式,∴an= .

n

(2)当 n=1 时,S1=2a1-1,∴a1=1. 当 n≥2 时,Sn-1=2an-1-1, ∴an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,∴an=2an-1. ∴{an}是等比数列且 a1=1,q=2, 故 a5=a1×q =2 =16. 题型四 数列的性质 命题点 1 数列的单调性
4 4

7

例 4 已知 an= A.递减数列 C.常数列 答案 B 解析 an=1-

n-1 ,那么数列{an}是( n+1

)

B.递增数列 D.不确定

2

n+1

,将 an 看作关于 n 的函数,n∈N+,易知{an}是递增数列.

命题点 2 数列的周期性 例 5 数列{an}满足 an+1= 答案 1 2 1 ,a8=2,则 a1=_________________. 1-an

1 解析 ∵an+1= , 1-an 1 1 1-an-1 ∴an+1= = = 1-an 1 1-an-1-1 1- 1-an-1 = 1-an-1 1 =1- -an-1 an-1 1 =1-(1-an-2)=an-2,n≥3, 1 1-an-2

=1-

∴周期 T=(n+1)-(n-2)=3.∴a8=a3×2+2=a2=2. 而 a2= 1 1 ,∴a1= . 1-a1 2

命题点 3 数列的最值 例 6 数列{an}的通项 an= A.3 10 答案 C 90 解析 令 f(x)=x+ (x>0),运用基本不等式得 f(x)≥2 90,当且仅当 x=3 10时等号成 B.19

n ,则数列{an}中的最大项是( n2+90
1 C. 19 D. 10 60

)

x

立.因为 an=

1 1 1 1 ,所以 ≤ ,由于 n∈N+,不难发现当 n=9 或 n=10 时,an= 90 90 2 90 19 n+ n+

n

n

最大. 思维升华 (1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法 ①用作差比较法,根据 an+1-an 的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列.

8

②用作商比较法,根据

an+1 (an>0 或 an<0)与 1 的大小关系进行判断. an

③结合相应函数的图像直观判断. (2)解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值. (3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解. 1 ? ?2a ,0≤a ≤2, =? 1 ? ?2a -1,2<a <1,
n n n n

(1)(2016·哈尔滨模拟)数列{an}满足 an+1

a1= ,

3 5

则数列的第 2 015 项为________. (2)设 an=-3n +15n-18,则数列{an}中的最大项的值是( A. 16 3 B. 13 3
2

)

C.4 2 答案 (1) (2)D 5

D.0

3 1 解析 (1)由已知可得,a2=2× -1= , 5 5

a3=2× = , a4=2× = , a5=2× -1= ,
∴{an}为周期数列且 T=4, 2 ∴a2 015=a503×4+3=a3= . 5 4 5 3 5 2 5 4 5

1 5

2 5

? 5?2 3 (2)∵an=-3?n- ? + ,由二次函数性质,得当 n=2 或 3 时,an 最大,最大值为 0. ? 2? 4

12.解决数列问题的函数思想 10 n 典例 (1)数列{an}的通项公式是 an=(n+1)·( ) ,则此数列的最大项是第________项. 11 (2)若 an=n +kn+4 且对于 n∈N+,都有 an+1>an 成立,则实数 k 的取值范围是__________. 思想方法指导 (1)可以将数列看成定义域为正整数集上的函数;(2)数列的最值可以根据单
9
2

调性进行分析. 解析 (1)∵an+1-an 10 n+1 10 n =(n+2)( ) -(n+1)( ) 11 11 10 n 9-n =( ) × , 11 11 当 n<9 时,an+1-an>0,即 an+1>an; 当 n=9 时,an+1-an=0,即 an+1=an; 当 n>9 时,an+1-an<0,即 an+1<an, ∴该数列中有最大项,且最大项为第 9、10 项. (2)由 an+1>an 知该数列是一个递增数列, 又通项公式 an=n +kn+4, ∴(n+1) +k(n+1)+4>n +kn+4,(n+1) +k(n+1)+4>n +kn+4, 即 k>-1-2n,又 n∈N+,所以 k>-3. 答案 (1)9 或 10 (2)(-3,+∞)
2 2 2 2 2

2 4 6 8 1.数列 ,- , ,- ,?的第 10 项是( 3 5 7 9 16 A.- 17 20 C.- 21 答案 C 18 B.- 19 22 D.- 23

)

解析 所给数列呈现分数形式,且正负相间,求通项公式时,我们可以把每一部分进行分解: 符号、分母、分子.很容易归纳出数列{an}的通项公式 an=(-1) 2.已知数列的通项公式为 an=n -8n+15,则( A.3 不是数列{an}中的项 B.3 只是数列{an}中的第 2 项 C.3 只是数列{an}中的第 6 项 D.3 是数列{an}中的第 2 项和第 6 项 答案 D
10
2

n+1

2n 20 · ,故 a10=- . 2n+1 21

)

解析 令 an=3,即 n -8n+15=3,整理得 n -8n+12=0,解得 n=2 或 n=6. 3.已知 a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N+),则数列{an}的通项公式是( A.2n-1 C.n
2

2

2

)

B.( D.n

n+1 n-1 ) n

答案 D 解析 ∵an=n(an+1-an),∴ ∴an= =

an+1 n+1 = , an n

an an-1 an-2 a3 a2 · · ·?· · ·a1 an-1 an-2 an-3 a2 a1

n-1 n-2 3 2 · · ·?· · ·1=n. n-1 n-2 n-3 2 1 an-1 (n≥3 且 n∈N+),则 a2 018 等于( an-2
)

n

4.若数列{an}满足 a1=2,a2=3,an= A.3 C. 1 2

B.2 D. 2 3

答案 A

a2 3 a3 1 解析 由已知 a3= = ,a4= = , a1 2 a2 2 a4 1 a5 2 a5= = ,a6= = , a3 3 a4 3 a6 a7 a7= =2,a8= =3, a5 a6
∴数列{an}具有周期性,T=6, ∴a2 018=a336×6+2=a2=3. 1 5.数列{an}满足 an+an+1= (n∈N+),a2=2,若 Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 S21 为( 2 A.5 C. 9 2 B. D. 7 2 13 2 )

答案 B 1 解析 ∵an+an+1= ,a2=2, 2 3 ? ?- ,n为奇数, ∴an=? 2 ? ?2,n为偶数.

11

7 ? 3? ∴S21=11×?- ?+10×2= .故选 B. 2 ? 2? 6. (2016·开封一模)已知函数 y=f(x)的定义域为 R.当 x<0 时, f(x)>1, 且对任意的实数 x,

y∈R,等式 f(x)f(y)=f(x+y)恒成立.若数列{an}满足 a1=f(0),且 f(an+1)= f?-2-an?
(n∈N+),则 a2 015 的值为( A.4 029 C.2 249 答案 A 1 x 1 解析 根据题意,不妨设 f(x)=( ) ,则 a1=f(0)=1,∵f(an+1)= ,∴an+1= 2 f?-2-an? ) B.3 029 D.2 209

1

an+2,∴数列{an}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,∴an=2n-1,
∴a2 015=4 029. 7.数列{an}中,已知 a1=1,a2=2,an+1=an+an+2(n∈N+),则 a7=________. 答案 1 解析 由已知 an+1=an+an+2,a1=1,a2=2, 能够计算出 a3=1,a4=-1,a5=-2,a6=-1,a7=1. 8.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=2an-n,则 an=________. 答案 2 -1 解析 当 n=1 时,S1=a1=2a1-1,得 a1=1,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n -1), 即 an=2an-1+1,∴an+1=2(an-1+1), ∴数列{an+1}是首项为 a1+1=2,公比为 2 的等比数列,∴an+1=2·2 1. 6 n 9 . 已 知 数 列 {an} 的 通 项 公 式 an = (n + 2)·( ) , 则 数 列 {an} 的 项 取 最 大 值 时 , n = 7 ____________. 答案 4 或 5 解析 假设第 n 项为最大项,则?
? ?an≥an-1, ?an≥an+1, ?
n-1 n

=2 ,∴an=2 -

n

n

12

6 6 ?n+2?·? ? ≥?n+1?·? ? ? ? 7 7 即? 6 6 ?n+2?·? ? ≥?n+3?·? ? ? ? 7 7
n n

n-1

, ,

n+1

解得?

? ?n≤5, ?n≥4, ?

即 4≤n≤5,

又 n∈N+,所以 n=4 或 n=5, 6 故数列{an}中 a4 与 a5 均为最大项,且 a4=a5= 4. 7 10 . 已 知 数 列 {an} 满 足 a1 = 2 , an + 1 = 1+an (n∈N + ) , 则 该 数 列 的 前 2 019 项 的 乘 积 1-an
5

a1·a2·a3·?·a2 019=________.
答案 3 1+a1 1+a2 1 1+a3 1 1+ a4 解析 由题意可得,a2= =-3,a3= =- ,a4= = ,a5= =2=a1, 1-a1 1-a2 2 1-a3 3 1- a4 ∴数列{an}是以 4 为周期的数列,而 2 019=4×504+3,a1a2a3a4=1, ∴前 2 019 项的乘积为 1 ·a1a2a3=3. 11.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn. (1)若 Sn=(-1)
n n+1
504

·n,求 a5+a6 及 an;

(2)若 Sn=3 +2n+1,求 an. 解 (1)因为 a5+a6=S6-S4 =(-6)-(-4)=-2, 当 n=1 时,a1=S1=1, 当 n≥2 时,

an=Sn-Sn-1=(-1)n+1·n-(-1)n·(n-1)
=(-1) =(-1)
n+1

·[n+(n-1)] ·(2n-1),

n+1

又 a1 也适合此式, 所以 an=(-1)
n+1

·(2n-1).

(2)因为当 n=1 时,a1=S1=6; 当 n≥2 时,

an=Sn-Sn-1=(3n+2n+1)-[3n-1+2(n-1)+1]

13

=2×3

n-1

+2,

由于 a1 不适合此式,
?6,n=1, ? 所以 an=? n-1 ?2×3 +2,n≥2. ?

1 2 1 12.已知 Sn 为正项数列{an}的前 n 项和,且满足 Sn= an+ an(n∈N+). 2 2 (1)求 a1,a2,a3,a4 的值; (2)求数列{an}的通项公式. 1 2 1 解 (1)由 Sn= an+ an (n∈N+)可得 2 2

a1= a2 1+ a1,解得 a1=1, S2=a1+a2= a2 2+ a2,解得 a2=2,
同理,a3=3,a4=4. 1 2 1 2

1 2

1 2

an 1 2 (2)Sn= + an,① 2 2
当 n≥2 时,Sn-1=

an-1 1 2 + an-1,②
2 2

①-②得(an-an-1-1)(an+an-1)=0. 由于 an+an-1≠0, 所以 an-an-1=1, 又由(1)知 a1=1, 故数列{an}为首项为 1,公差为 1 的等差数列, 故 an=n. 13.已知数列{an}中,an=1+ 1 (n∈N+,a∈R 且 a≠0). a+2?n-1?

(1)若 a=-7,求数列{an}中的最大项和最小项的值; (2)若对任意的 n∈N+,都有 an≤a6 成立,求 a 的取值范围. 解 (1)∵an=1+ 1

a+2?n-1?

(n∈N+,a∈R 且 a≠0),

1 又 a=-7,∴an=1+ (n∈N+). 2n-9 结合函数 f(x)=1+ 1 的单调性, 2x-9

可知 1>a1>a2>a3>a4,

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a5>a6>a7>?>an>1(n∈N+).
∴数列{an}中的最大项为 a5=2,最小项为 a4=0. 1 2 1 (2)an=1+ =1+ , a+2?n-1? 2-a n- 2 已知对任意的 n∈N+,都有 an≤a6 成立, 1 2 结合函数 f(x)=1+ 的单调性, 2-a x- 2 2-a 可知 5< <6,即-10<a<-8. 2

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