9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> >>

解答题前三题训练教师卷


解答题前三题训练(一)
16、如图是两个独立的转盘 ( A)、 ) ,在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为 60 、 、 。 120 180 (B 用这两个转盘进行玩游戏,规则是:同时转动两个转盘待指针停下(当两个转盘中任意一个指针 恰好落在分界线时,则这次转动无效,重新开始) ,记转盘
? ? ?

( A) 指针所对的区域数为 x ,转盘 ( B) 指针所对的区域为

1 3 2 2 1 (B)

3

y , x、y ?{1, 2,3} ,设 x ? y 的值为 ? ,每一次游戏得到
奖励分为 ?

(A)

⑴求 x ? 2 且 y ? 1的概率;⑵某人进行了 12 次游戏,求他 平均可以得到的奖励分(注:这是一个几何概率题,几何概率的基本思想是把事件与几何区域对 应,利用几何区域的度量来计算事件发生的概率,即事件 A 的概率 ? A的面积 )
全面积

17、本小题满分 12 分) ( 在△OAB 的边 OA、 上分别有一点 P、 OB Q,已知 | OP | : | PA | =1:2, | OQ | :

| QB | =3:2,连结 AQ、BP,设它们交于点 R,若 OA =a, OB =b.

(Ⅰ)用 a 与 b 表示 OR ; (Ⅱ)过 R 作 RH⊥AB,垂足为 H,若| a|=1, | b|=2, a 与 b 的夹角

? 2? | BH | ? ? [ , ], 求 的范围. 3 3 | BA |
18、 (本小题满分 12 分)如图,斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,已知侧面 BB1C1C 与底面 ABC 垂直且

∠ BCA =90° , ∠ B1BC ? 60? , BC ? BB1 =2 , 若 二 面 角
A ? B1 B ? C 为 30°.
(Ⅰ)证明 AC ? 平面BB1C1C ; C (Ⅱ)求 AB1 与平面 BB1C1C 所成角的正切值; A
第 1 页 共 38 页

B

B1

C1 A1

(Ⅲ) 在平面 AA1 B1 B 内找一点 P, 使三棱锥 P ? BB1C 为正三棱锥, 并求 P 到平面 BB1C 距离. 16. 解解:⑴由几何概率模型可知: P( x ? 1) ?

1 1 1 , P( x ? 2) ? , P( x ? 3) ? ; 6 3 2
(2 分)

1 1 1 P( y ? 1) ? , P( y ? 2) ? , P( y ? 3) ? 3 2 6 1 2 则 P( x ? 2) ? P( x ? 1) ? , P( y ? 1) ? P( y ? 2) ? p( y ? 3) ? , 6 3 1 所以 P( x ? 2, y ? 1) ? P( x ? 2)?P( y ? 1) ? 9
⑵由条件可知 ? 的取值为: 2、 4、 6 ,则 ? 的分布列为: 3、 5、

(6 分)

?
P

2
1 18

3
7 36

3
13 36

4
11 36

5
1 12
(10 分)

他平均一次得到的奖励分即为 ? 的期望值:

E? ? 2 ?

1 7 13 11 1 25 ? 3? ? 4 ? ? 5? ? 6 ? ? 18 36 36 36 12 6
(12 分)

所以给他玩 12 次, 平均可以得到 12?E? ? 50 分 17. 解: (1)由 OA =a,点 P 在边 OA 上且 | OP | : | PA | =1:2,

1 1 2 (a- OP ), ∴ OP ? a. 同理可得 OQ ? b. ??2 分 2 3 5 设 AR ? ? AQ, BR ? ? BP(?, ? ? R) , 3 3 则 OR ? OA ? AR ? OA ? ? AQ =a+ ?( b-a)=(1- ? )a+ ? b, 5 5 1 1 OR ? OB ? BR ? OB ? ? BP =b+ ?( a-b)= ? a+(1- ? )b. ??4 分 3 3 1 ? ?1 ? ? ? 3 ? 5 1 ? ∵向量 a 与 b 不共线, ∴ ? 解得? ? , ? ? 6 2 ?3 ? ? 1 ? ? ?5 ? 1 1 ∴ OR ? a+ b. ??????5 分 2 6 | BH | ? ? ,则 BH ? ? BA ? ? (a-b), (2)设 | BA |
可得 OP ?
第 2 页 共 38 页

∴ RH ? BH ? BR ? BH ? (OR ? OB) ? ? (a-b)- (

1 1 a+ b)+b 6 2

1 1 = ( ? ? ) a+( ? ? ) b. ??????6 分 6 2 1 1 ∵ RH ? BA , ∴ RH ? BA ? 0 ,即[ ( ? ? ) a+( ? ? ) b]·(a-b)=0 6 2 1 2 1 2 (? ? ) a +( ? ? ) b2+ ( ? 2? ) a·b=0????? ?8 分 6 2 3 又∵|a|=1, |b|=2, a·b=|a||b| cos ? ? 2 cos ? , 1 1 2 ∴ ( ? ? ) ? 4(? ? ) ? ( ? 2?)(2 cos ?) ? 0 6 2 3 1 13 ? 8 cos ? 1 3 ∴?? ? ? ( ? 2) .??????10 分 6 5 ? 4 cos ? 6 5 ? 4 cos ? 1 1 ? 2? ∵ ? ? [ , ] , ∴ cos ? ? [? , ] , ∴5-4 cos ? ?[3 , 7] , 2 2 3 3
[来源:学科网]

| BH | 17 1 1 3 1 3 17 1 ∴ ( ? 2) ? ? ? ( ? 2), 即 ? ? ? .故 的取值范围是 [ , ] .?12 分 42 2 6 7 6 3 42 2 | BA |
18. 解: (1) 面 BB1C1C ? 面 ABC , 因为面 BB1C1C ? 面 BB1C1C = BC ,AC ? BC , 所以 AC ? 面 BB1C1C . (2)取 BB1 中点 E ,连接 CE, AE ,在 ?CBB1 中, BB1 ? CB ? 2, ?CBB1 ? 60
0

? ?CBB1 是正三角形,? CE ? BB1 ,又 AC ? 面 BB1C1C 且 BB1 ? 面 BB1C1C , ? BB1 ? AE ,即 ?CEA 即为二面角 A ? B1 B ? C 的平面角为 30°,

? AC ? 面 BB1C1C ,? AC ? CE ,在 Rt?ECA 中,? CE ? 3,? AC ? CE ? tan 30 0 ? 1 , 又 AC ? 面 BB1C1C ,? ?CB1 A 即 AB1 与面 BB1C1C 所成的线面角, AC 1 ? 在 Rt?B1CA 中, tan ?CB1 A ? CB1 2 CP 2 1 ? ,则因为 CE 是 ?B1 BC 的中线,? P 是 ?B1 BC 的重 (3)在 CE 上取点 P1 ,使 1 P1 E 1 心,在 ?ECA 中,过 P1 作 P P // CA 交 AE 于 P ,? AC ? 面 BB1C1C , P P // CA 1 1 PP 1 ? PP1 ? 面 CBB1 ,即 P 点在平面 CBB1 上的射影是 ?BCB1 的中心,该点即为所求,且 1 ? , AC 3 1 ? PP ? . 1 3
[来源:Z。xx。k.Com]

解答题前三题训练(二)
16. (本小题满分 12 分) 设 向 量 a =(sin(

? ? ? ? ― x), cos( ― x)), b =(Msin( +x), 8sin( +x))(M>0) , 函 数 4 4 4 4
第 3 页 共 38 页

f ( x) ?

a ?b ( a ? b) 2 ? 2b ? ( a ? b) ? b
2

, 且 f(x)的最大值为 12. 现将 y=f(x)的图象先按向量 c 平移, 再作

伸缩变换,使变换后的图象与 y=sinx 的图象重合.请写出当| c |最小时向量 c 的坐标,并写出随后 的伸缩变换过程. 17. (本小题满分 12 分) 旅游公司为 3 个旅游团提供 4 条旅游线路,每个旅游团任选其中一条。 (Ⅰ)求 3 个旅游团选择 3 条不同的线路的概率; (Ⅱ)求恰有 2 条线路没有被选择的概率; (Ⅲ)求选择甲线路的旅游团数的数学期望。 18. (本小题满分 12 分) 在直角梯形 P1DCB 中,P1D∥BC,CD⊥P1D,且 P1D=6,CD= 6 ,A 是线段 P1D 的中点, 沿 AB 将平面 P1AB 折起到平面 PAB 的位置,使二面角 P―CD―B 成 45°角,设 F 是线段 PD 的 中点, (Ⅰ)当 AB 上的点 E 在何处时,AF∥平面 PCE; (Ⅱ)对(Ⅰ)中的 E 点,求直线 FC 与平面 PCE 所成角的大小. P P1 A D A E 16.f(x)= F D

B

C

a ?b ( a ? b ? b) 2

?

a?b a
2

? a ?b

=

C B 1 Mcos2x+4sin2x+4?????(6 分) 2

1 由题设 ( M ) 2 ? 4 2 ? 4 ? 12 (M>0),得 M=8 3 ????????????(7 分) 2
∴f(x)=4 3 cos2x+4sin2x+4=8sin(2x+

? ? )+4∴ c =( , ―4)????(10 分) 3 6

得 y=8sin2x 的图象将 y=8sin2x 的图象上每点的横坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再将 图象上每点的纵坐标缩小到原来的

1 (横坐标不变) ,所得图象便与 y=sinx 的图象重合?(12 分) 8
3 A4 3

17. (Ⅰ)3 个旅游团选择 3 条不同线路的概率为:P1=

3 ? ??(2 分) 8 4

第 4 页 共 38 页

(Ⅱ)恰有两条线路没有被选择的概率为:P2=

2 2 2 C 4 ? C3 ? A2

4

3

?

9 ??(5 分) 16 3 3 27 ;P(ξ ? 4 3 64

(Ⅲ)设选择甲线路的旅游团数为ξ ,则ξ =0,1,2,3,且:P(ξ =0)=
1 C3 ? 32 3 C1 ? 3 9 C3 27 1 , P(ξ =2)= 3 3 ? ; P(ξ =3)= 3 ? ??(9 分) 64 64 64 4 4

=1)=

43

?

∴ξ 的分布列为:

ξ P

0

1

2

3

27 64

27 64

9 64

1 64

27 27 9 1 3 ? 1? ? 2? ? 3? ? ????????????(12 分) 64 64 64 64 4 18.解法一: (Ⅰ)当点 E 为线段 AB 中点时,AF∥平面 PCE????????????(2 分) 1 1 ∥ ∴四边形 AEGF 取线段 PC 中点 G, 连结 EG, FG, FG ∥ CD, AE ∥ CD, 则 又 ∴FG AE, = = = 2 2 为平行四边形,∴AF∥EG???????????????????(5 分) 又 AF ? 平面 PCE,EG ? 平面 PCE,∴AF∥平面 PCE??????????(6 分) (Ⅱ)由已知,BA⊥PA,BA⊥AD,∴BA⊥平面 PAD,又 CD∥BA,∴CD⊥平面 PAD,∴CD ⊥AF,又 PA=AD,F 为 PD 中点,∴AF⊥PD,∴AF⊥平面 PCD,又由(Ⅰ)知,EG∥AF,∴EG ⊥平面 PCD,又 EG ? 平面 PCE,∴平面 PCE⊥平面 PCD,作 FH P ⊥PC 于 H,则 FH⊥平面 PCE,∴∠FCH 为直线 FC 与平面 PCE 所 成的角??????????????(9 分) F 由 CD⊥平面 PAD 知,CD⊥AD,CD⊥PD,∴∠PDA 为二面角 P―CD―B 的平面角, 即∠PDA=45°, ∴△PAD 为等腰直角三角形, D A 又 PA=AD=3 , ∴ PD=3 2 , 在 Rt △ PCD 中 , E FH CD C PC= PD 2 ? CD 2 = 18 ? 6 ? 24 , sin ∠ CPD= ,∴ B ? PF PC 3 6? 2 42 CD ? PF 3 2 2 FH= , FC= FD 2 ? CD 2 ? , ∴ 在 Rt △ FCH 中 , sin ∠ ? ? 2 PC 4 24
∴期望 Eξ = 0 ?

3 2 FH 4 21 21 FCH= ,∴直线 FC 与平面 PCE 所成角大小为 arcsin ??(12 分) ? ? 14 FC 14 42 2 注:也可设 F 点到平面 PCE 的距离为 h.
第 5 页 共 38 页

由(Ⅰ)AF∥平面 PCE,∴F 点到平面 PCE 的距离等于 A 点到平面 PCE 的距离,可证 PA⊥

1 1 3 2 ·h·S△PCE= ·PA·S△ACE,可得 h= ,设直线 FC 4 3 3 h 21 21 与平面 PCE 所成角为θ ,则 sinθ = ,∴θ =arcsin . ? FC 14 14 解法二: (Ⅰ)当 E 点为线段 AB 中点时,AF∥平面 PCE????????????(2 分) 1 1 取线段 PC 中点 G,连结 EG,∵ AF = AD + DF = BC + DP = BC + ( DC ? CP )= 2 2 1 ∴AF∥EG, EG ? 平面 PCE, ? 平面 PCE, 又 AF BC + AB + CG = EB + BC + CG = EC + CG = EG , 2 ∴AF∥平面 PCE????????????????????????(6 分) (Ⅱ)由已知,BA⊥PA,BA⊥AD,∴BA⊥平面 PAD,又 CD∥BA,∴CD⊥平面 PAD,∴CD ⊥AD,CD⊥PD,∴∠PDA 为二面角 P―CD―B 的平面角,即∠PDA=45°,又 PA=AD,∴△PAD 为等腰直角三角形,∴PA⊥AD,∴PA⊥平面 ABCD??????????(8 分)
平面 ABCD,∴VF―PCE=VA―PCE=VP―ACE,∴ 以 A 为原点,AB、AD、AP 分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立直角坐标系,则 A(0, 0, 0), E( C( 6 , 3, 0), P(0, 0, 3), F(0,

6 , 0, 0), 2

3 3 , ), n =(x, y, z)为平面 PCE 的一个法向量, n ? PE ,n ? EC , 设 则 2 2 6 6 6 6 又 PE =( , 0, 3), EC =( , 3, 0), n ? PE =(x, y, z)· ∴ ( , 0, ―3)= x―3z=0,n ? EC =(x, y , 2 2 2 2 6 6 z)·( , 3, 0)= x+3y=0,令 x= 6 ,则 y=―1, z=1,∴ n =( 6 , ―1, 1)???????(10 分) 2 2 3 3 又 CF =( ― 6 , ― , ) , 设 直 线 FC 与 平 面 PCE 所 成 角 为 θ , 则 sin θ 2 2 3 3 | ( 6 ,?1,1) ? (? 6 ,? , ) | | n ? CF | 21 2 2 =|cos< n, CF >|= ??(12 分) ? ? 14 3 2 3 2 | n | ? | CF | 2 2 ( 6 ) ? 1 ? 1 ? (? 6 ) ? (? ) ? ( ) 2 2

解答题前三题训练(三)
? ? 16. (本小题满分 12 分)已知定义在区间 [? , ? ] 上的函数 y=f(x)的图象关于直线 x ? 对称,当 2 4
x?

?
4

? ? 时,函数 f(x)=sinx. (Ⅰ)求 f (? ) , f (? ) 的值; (Ⅱ)求 y=f(x)的函数表达式; 2 4

(Ⅲ)如果关于 x 的方程 f(x)=a 有解,那么将方程在 a 取某一确定值时所求得的所有 解的和记为 Ma,求 Ma 的所有可能取值及相对应的 a 的取值范围. 17. (本小题满分 12 分) 某公园有甲、乙两个相邻景点,原拟定甲景点内有 2 个 A 班的同学和 2 个 B 班的同学;乙景 点内有 2 个 A 班同学和 3 个 B 班同学,后由于某种原因甲乙两景点各有一个同学交换景点观光.
第 6 页 共 38 页

(Ⅰ)求甲景点恰有 2 个 A 班同学的概率; (Ⅱ)求甲景点 A 班同学数 ? 的分布列及期望. C

B C1

B1

18. (本小题满分 12 分) A A1 如图,斜三棱柱 ABC—A1B1C1,已知侧面 BB1C1C 与底面 ABC 垂直,且 ?BCA ? 90? , ?B1BC ? 60? ,BC=BB1=2,若二面角 A-B1B-C 为 30? . (Ⅰ)求证:AC⊥平面 BB1C1C; (Ⅱ)求 AB1 与平面 BB1C1C 所成角的正切值; (Ⅲ)在平面 AA1B1B 内找一点 P,使三棱锥 P-BB1C 为正三棱锥,并求点 P 到平面 BB1C 的距离. ? 16.解: (Ⅰ) f (? ) ? f (? ) ? sin ? ? 0 2

? 3 3 2 ???????????????(4 分) f (? ) ? f ( ? ) ? sin ? ? 4 4 4 2
(Ⅱ)当 ?

?
2

?x?

?
4

时, f ( x) ? f (

?
2

? x) ? sin( ? x) ? cos x 2

?

f(x)=

sin x, x ? [ , ? ) 4 cos x, x ? [?

?

? ?

??????????????????(8 分)

, ) 2 4

(Ⅲ)作函数 f(x)的图象(如图) ,显然,若 f(x)=a 有解,则 a ?[0,1] ①0? a ? ②a ? ③
2 ? ,f(x)=a 有解,Ma= 2 2

y 1

2 3 ,f(x)=a 有三解,Ma= ? 2 4

2 ? a ? 1 ,f(x)=a 有四解,Ma= ? 2

?

?
2

o

? 4

π

x

? ④ a ? 1 ,f(x)=a 有两解,Ma= ?? (12 分) 2
17.解: (Ⅰ)甲乙两景点各有一个同学交换后,甲景点恰有 2 个班同学有下面几种情况: ① 互 换 的 是 A 班 同 学 , 此 时 甲 景 点 恰 好 有 2 个 A 班 同 学 的 事 件 记 为 A1 , 则 :

P( A1 ) ?

1 1 C 2 ? C2 1 ? ???????????????????????????(2 分) 1 1 C4 ? C5 5

② 互 换 的 是 B 班 同 学 , 此 时 甲 景 点 恰 有 2 个 A 班 同 学 的 事 件 记 为 A2 , 则 :

P( A2 ) ?

1 1 C 2 ? C3 3 ? ?????????????????????????(2 分) 1 1 C 4 ? C 5 10

故甲景点恰有 2 个 A 班同学的概率 P ? P( A1 ) ? P( A2 ) ?

1 3 1 (5 分) ? ? 5 10 2

第 7 页 共 38 页

(Ⅱ)设甲景点内 A 班同学数为 ? , 则:

P (? ? 1) ?

1 1 C2 ? C3 3 C1 ? C1 1 1 ? ; P(? ? 2) ? ; P(? ? 3) ? 2 2 ? (9 分) 1 1 1 1 C4 ? C5 10 C4 ? C5 5 2

因而 ? 的分布列为:

?
P

1

2

3

3 10

1 2

1 5

∴ E? =

1 1 19 3 × 1+ × 2+ × 3= ???????????????????(12 分) 10 2 5 10

18.解: (Ⅰ)∵面 BB1C1C⊥面 ABC,交线为 BC,AC⊥BC,∴AC⊥面 BB1C1C ?????????????????????????????(4 分) (Ⅱ)连 B1C,由(1)知 AC⊥平面 BB1C1C, ∴∠CB1A 就是 AB1 与平面 BB1C1C 所成的角, 取 BB1 中点 E,连 CE,AE, 在△CBB1 中,BB1=BC=2,∠B1BC= 60? ,∴△CBB1 是正三角形,∴CE⊥BB1 又 AC⊥平面 BB1C1C,∴AE⊥BB1, ∴∠CEA 为二面角 A-BB1-C 的平面角,∠CEA= 30? ??????(6 分) 在 Rt△CEA 中, AC ? CE ? tan30? ? 1 ∴在 Rt△AB1C 中, tan ?AB1C ? (Ⅲ)在 CE 上取点 P1,使
AC 1 ? ??????????? (8 分) CB1 2

CP 1 ? 2 ,则 P1 为△B1BC 的重心即中心 PE 1

作 P1P∥AC 交 AE 于 P∵AC⊥平面 BB1C1C,∴PP1⊥面 BB1C1C, 即 P 在平面 B1C1C 上的射影是△BCB1 中心∴P-BB1C 为正三棱锥,且
? PP ? 1 PP 1 1 ? AC 3

1 1 ,即 P 到平面 BB1C 的距离为 ?????????? (12 分) 3 3

解答题前三题训练(四)
16 . 已 知 ?A, ?B, ?C 为 ?ABC 的 三 个 内 角 , 且 f ( A, B) ? sin 2 A ? cos 2 B ? 3 sin 2 A
2 2

? c o s B ? (Ⅰ)若 ?ABC 为正三角形,求 f ( A, B) 的值; 2 2
(Ⅱ)当 A ? B ?

?
2

时,求 f ( A, B) 的取值范围.

17.袋中有大小相同的三个球,编号分别为 1、2 和 3,从袋中每次取出一个球,若取到的球的编 号为偶数,则把该球编号加 1(如:取到球的编号为 2,改为 3)后放回袋中继续取球;若取到球
第 8 页 共 38 页

的编号为奇数,则取球停止,用 ? 表示所有被取球的编号之和. (Ⅰ)求 ? 的概率分布; (Ⅱ)求 ? 的数学期望与方差. 18 . 如 图 , 已 知 正 四 棱 柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的 底 面 边 长 为 4 , Q 为 BB1 的 中 点 ,

P ? D D M 1A 1B ? ? , N 1,

1

C,1 D 1 A?M, 1

1

D. ? N 3

D

D

C

(Ⅰ)当 P 为 DD1 的中点时,求二面角 M ? PN ? D1 的大小;

A P

B
Q
D1

(Ⅱ)在 DD1 上是否存在点 P ,使 QD1 ? PMN 面?若存在, 求出点 P 的位置;若不存在,说明理由; (Ⅲ)若 P 为 DD1 的中点,求三棱锥 Q ? PMN 的体积.
2 ? 2 ? ?

N
C1 B1

A1 M
?

16.解: (Ⅰ) f ( A, B) ? sin 120 ? cos 120 ? 3 sin120 ? cos120 ? 2 ? 2 . (Ⅱ) B ?

?
2

? A, f ( A, B) ? sin 2 2 A ? cos 2 (? ? 2 A) ? 3 sin 2 A ? cos ? ? 2 A ? 2

? sin 2 2 A ? cos2 2 A ? 3 sin 2 A ? cos 2 A ? 2 ? cos 2 A ? 3 sin 2 A ? 3

? ? ? ? 4? ? 1 ? 2cos(2 A ? ) ? 3 ,? 0 ? A ? ,? ? 2 A ? ? ,??1 ? cos(2 A ? ) ? , 3 2 3 3 3 3 2
??2 ? 2cos(2 A ? ) ? 1,?1 ? f ( A, B) ? 4 . 3 1 ;在 ? ? 3 时,表示第一次取 3 1 1 1 4 到 2 号球,第二次取到 1 号球,或第一次取到 3 号球, P(? ? 3) ? ? ? ? ;在 ? ? 5 时,表 3 3 3 9 1 2 2 示第一次取到 2 号球,第二次取到 3 号球, P(? ? 5) ? ? ? . 3 3 9
17.解: (Ⅰ)在 ? ? 1 时,表示第一次取到的 1 号球, P(? ? 1) ?

?

? 的概率分布为
?
P
(Ⅱ) E? ? 1? ? 3 ? 1 3 5

1 3

4 9

2 9

1 3

4 2 25 1 4 2 8 2 , E? ? 1? ? 9 ? ? 25 ? ? 9 ? 5? ? 9 9 9 3 9 9 9
第 9 页 共 38 页

8 25 176 D? ? E? 2 ? ( E? )2 ? 9 ? ( )2 ? 9 9 81
18.解: (Ⅰ)以 A1 D1 为 x 轴,以 D1C1 为 y 轴, DD1 为 z 轴, 为原点建立如图所示空间直角坐标系, 则 D1 (0, 0, 0), A1 (4, 0, 0), P(0, 0,3), M (4,1, 0), N (0,3, 0) , ? D1 A1 ? (4, 0, 0),

?????

????? ???? ???? ? PN ? (0,3, ?3) , PM ? (4,1, ?3) ,显然 D1 A1 是面 PD1 N 的法向量。设面 PMN 的法向量为

? ???? ? ????? ? ? ?n ? PM ? 0 0 ?4 x ? y ?3z ? ? n ? ( x, y , z ) , 则由 ? ? ???? , ? 得 设 ? y? z ? 2 , x 不妨设 n ? (1, 2, 2) , D1 A1 0 ?3 y ?3 z ? ?n ? PN ? 0 ? ????? ? ? D1 A ? n 1 1 与 n 所成的角为 ? ,则 cos ? ? ?????1 ? ? ,?? ? arccos ,所以二面角 M ? PN ? D1 的大小 3 D1 A1 ? n 3
???? ? ???? ? ???? ???? ? ? 1 MN ? (?4, 2, 0), QD1 ? (?4, ?4, ?3),? QD1 ? MN ? (?4, ?4, ?3) ? (?4, 2, 0) ? 8 ? 0 ( arccos 。 Ⅱ) 3 ???? ? 所以 QD1 与 不垂直,所以不存在点 P 使 面 PMN 。
(Ⅲ)? P(0,0,3),? PM ? 42 ? 12 ? (?3) 2 ? 26, PN ? 18 ,

???? ?

??? ?

???? ???? ? ???? ???? ? PM ? PN 2 3 ? cos ? PM , PN ?? ???? ???? ? , ? sin ?MPN ? , | PM | ? | PN | 13 13
??? ? ? 1 ???? ???? PM ? PN ? sin ?MPN ? 9 ,又 PQ ? (4, 4, 0) ,由(Ⅰ)取平面的法向量 2 ? ??? ? n ? PQ ? 1 n ? (1, 2, 2) ,则 到平面 PMN 的距离为 h ? ? ? 4 ,?VQ ? PMN ? ? S?PMN ? h ? 12 3 n

S? PMN ?

解答题前三题训练(五)
16.( 本 大 题 满 分 12 分 ) 已 知 △ABC 是 锐 角 三 角 形 , 其 三 个 内 角 为 A 、 B 、 C . 已 知 向 量 p ? (2 ? 2 si nA, c o sA ? si nA) , q ? (sin A ? cos A,1 ? sin A) , 若 p 与 q 是 共 线 向 量 , 求 函 数
C ? 3B 的最大值. y ? 2 s i n2 B ? c o s 2

第 10 页 共 38 页

17.(本大题满分 12 分)如图,一辆车要通过某十字路口,直行时前方刚好由绿灯转为红灯, 该车前面已有 4 辆车依次在同一车道上排队等候(该车道只可以直行或左转行驶).已知每辆车直
2 1 ,左转行驶的概率为 .该路口红绿灯转换间隔均为 1 分钟.假设该车道上一辆直 3 3 行的车驶出停车线需要 10 秒,一辆左转行驶的车驶出停车线需要 20 秒.求: (1)前面 4 辆车恰有 2 辆左转行驶的概率为多少? (2)该车在第一次绿灯亮起的 1 分钟内能通过该十字路口 的概率(汽车驶出停车线就算通过路口); (3)假设每次由红灯转为绿灯的瞬间,所有排队等候的车 辆都同时向前行驶,求该车在这十字路口停车等候的时间的数 ....

行的概率为

学期望. 18. (本大题满分 13 分)如图,边长为 2 的等边△PCD 所在 的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面,BC ? 2 2 ,M 为 BC 的中点. (1)证明:AM⊥PM;(2)求二面角 P-AM-D 的大小; (3)求点 D 到平面 AMP 的距离. 16.解:∵p 与 q 是共线向量 ∴(2-2sin A)(1+sin A)-(cos A+sin A)(sin A-cos A)=0 整理得: 3 ? 4 sin 2 A ? 0 ,∴ sin A ? ∵△ABC 为锐角三角形,∴A=60°
y ? 2 sin 2 B ? cos
? 1 ? cos 2B ? 3 2

停车线 P

D 2分 A 4 分B 6分 M

C

C ? 3B ? 2 sin 2 B ? cos(2B ? 60?) 2

1 3 cos 2B ? sin 2 B ? 1 ? sin(2 B ? 30?) 当 B=60°时取函数取最大值 2. 12 分 2 2

1 8 2 2 17.(1)解: C 4 ( ) 2 ( ) 2 ? 3 3 27

4分

(2)解:该车在第一次绿灯亮起的 1 分钟内能通过该十字路口,则前 4 辆车最多只能有 1 辆左
1 16 4 2 3 2 转行驶,其概率为 C 4 ( ) 4 ? C 4 ( ) 3 ( ) ? 8 分(3)解:设该车在十字路口停车等候时间为 t, 3 3 3 27

若前 4 辆车最多只有 1 辆左转行驶,则可在绿灯亮时通过路口,t=1;若前 4 辆车有 2 辆以 上左转行驶,则必须再等 1 分钟且可在绿灯第 2 次亮时通过路口 故 t=1,3t=1 时,其概率为 列为 时间 t(min) 概率 P 1
16 27
第 11 页 共 38 页

16 16 11 ,t=3 时,其概率为 1 ? ∴停车等候时间 t 的分布 ? 27 27 27

3
11 27

停车时间的数学期望为 1 ?

16 11 49 ? 3? ? min 27 27 27

12 分

18.(1)证:以 D 点为原点,分别以直线 DA、DC 为 x 轴、y 轴,建立的空间直角坐标系 D-xyz, 则 D(0,0,0),P(0,1, 3 ),C(0,2,0),A( 2 2 ,0,0),M( 2 ,2,0) 2 分 ∴ PM ? ( 2 ,1, ? 3 ), AM ? ( ? 2 ,2,0)
1 ? 2 0 ∴ PM ? AM ? ( 2 , , 3 ) ? (? 2 , , ) ? 0

4分

即 PM ? AM ,∴AM⊥PM. (2)解:设 n=(x,y,z),且 n⊥平面 PAM,则
?n ? PM ? 0 ?( x ,y , ) ? ( 2 , , 3 ) ? 0 z 1 ? ? ? ,即 ? ? ?( x ,y , ) ? (? 2 , , ) ? 0 z 2 0 ?n ? AM ? 0 ? ?

6分

? 2x ? y ? 3z ? 0 ? ∴? ?? 2 x ? 2 y ? 0 ?

?

?z ? 3 y ? ? ?x ? 2 y ?

1 令 y=1,得 y ? 1 ,得 n ? ( 2 , , 3 )

8分

取 p=(0,0,1),显然 p⊥平面 ABCD
p ∴ cos ? n, ?? n?p ? | n || p | 3 6 ? 2 2

结合图形可知,二面角 P-AM-D 为 45°; 10 分

(3)解:设点 D 到平面 PAM 的距离为 d,由(2)可知 n ? ( 2 , , 3 ) 与平面 PAM 垂直,则 1
d? | DA ? n | 2 6 ? |n| 3

即点 D 到平面 PAM 的距离为

2 6 . 3

12 分

解答题前三题训练(六)
?? 3 ? 16.已知 tan ? x ? ? ? 4? 4 ?
sin 2 x ? 2sin 2 x ( ? x ? ).(Ⅰ)求 cos x 的值; (Ⅱ)求 的值. cos 2 x 4 2

?

?

17.三棱锥 P-ABC 中,PC、AC、BC 两两垂直,BC=PC=1,AC=2,E、F、G 分别是 AB、AC、 P AP 的中点. (Ⅰ)证明平面 GFE∥平面 PCB; (Ⅱ)求二面角 B-AP-C 的大小; (Ⅲ)求直线 PF 与平面 PAB 所成角的大小. G 18.甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球,已知甲袋中共有 m 个球,乙袋中共有 2 m 个球, C 2 从甲袋中摸出 1 个球为红球的概率为 ,从乙袋中摸出 1 个球为红球的概率为 P2 . B 5 F (Ⅰ)若 m =10,求甲袋中红球的个数; E A 1 (Ⅱ)若将甲、乙两袋中的球装在一起后,从中摸出 1 个红球的概率是 ,求 P2 的值;

3

(Ⅲ)设 P2 =

1 ,若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球,每次摸出 1 个球,并且从甲袋中摸 1 5
第 12 页 共 38 页

次,从乙袋中摸 2 次. 设 x 表示摸出红球的总次数,求 x 的分布列和数学期望. 16.解: (Ⅰ)因为 tan( x ?

?

3 tan x ? 1 3 ) ? , 所以 ? , 则 tan x ? 7 . 4 4 1 ? tan x 4
2 . 10

???4 分



?
4

?x?

?
2

,所以 cos x ?

?????????????6 分

(Ⅱ)方法 1:由(Ⅰ)得 cos x ?

2 ? ? ,又 ? x ? , 10 4 2
???????8 分

所以 sin x ? 又

7 2 7 , sin 2 x = 2sin x cos x = . 10 25

p p p 24 . < x < ,所以 < 2 x < p , cos 2 x = 4 2 2 25

???????10 分



sin 2 x - 2sin 2 x sin 2 x - (1- cos 2 x) sin 2 x + cos 2 x - 1 7 = = .??????12 分 = cos 2 x cos 2 x cos 2 x 4
2 s i n x - 2 s ixn 2 2sin x(cos x ? sin x) = cos x 2 (cos x ? sin x)(cos x ? sin x)

方法 2:

????10 分

=

2sin x 2 tan x 7 = = . cos x ? sin x 1 ? tan x 4

?????????????12 分

16.方法 1: (Ⅰ)证明:因为 E、F、G 分别是 AB、AC、AP 的中点, 所以 EF∥BC,GF∥CP. ???????????????????1 分 因为 EF、GF ? 平面 PCB, 所以 EF∥平面 PCB,GF∥平面 PCB. 又 EF∩GF= F,所以平面 GFE∥平面 PCB.??3 分 (Ⅱ)解:过点 C 在平面 PAC 内作 CH⊥PA,垂足为 H. P 连结 HB.因为 BC⊥PC,BC⊥AC,且 PC∩AC=C, H 所以 BC⊥平面 PAC. 所以 HB⊥PA. G 所以∠BHC 是二面角 B-AP-C 的平面角. ???6 分 依条件容易求出 CH=

2 . 5
A

C B F E

5 5 1 所以 tan∠BHC= = .所以∠BHC=arctan . 2 2 2 5
第 13 页 共 38 页

所以二面角 B-AP-C 的大小是 arctan

5 . 2

?????????????8 分

(Ⅲ)解法 1:如图,设 PB 的中点为 K,连结 KC,AK, 因为△PCB 为等腰直角三角形,所以 KC⊥PB. 又 AC⊥PC,AC⊥BC,且 PC∩BC=C, 所以 AC⊥平面 PCB.所以 AK⊥PB. 因为 AK∩KC=K,所以 PB⊥平面 AKC. 又 PB ? 平面 PAB,所以平面 AKC⊥平面 PAB. 在平面 AKC 内,过点 F 作 FM⊥AK,垂足为 M. 因为平面 AKC⊥平面 PAB,所以 FM⊥平面 PAB. 连结 PM,所以∠MPF 是直线 PF 与平面 PAB 所成的角.

P

k G C M F E ????????11 分 A B

1 2 1 容易求出 PF= 2 ,FM= .所以 sin∠MPF= 3 = . 3 2 6
所以∠MPF=arcsin P 2 2 .即直线 PF 与平面 PAB 所成的角的大小是 arcsin .??12 分 6 6 G C B E

(Ⅲ)解法 2:连结 FB, 因为 PC⊥BC,PC⊥AC,且 BC∩AC=C, 所以 PC⊥平面 ABC. 即 PC 是三棱锥 P-ABF 的高.

1 1 F 依条件知 VP-ABF= × PC× × ( AF× BC) 3 2 A 1 1 1 = × ( × 1)= . 1× 1× 3 2 6 1 又 VF-PAB= × S△PAB (其中 h 是点 F 到平面 PAB 的距离) h× 3
=

3 1 1 1 3 1 1 1 1 × ( × 2× h× )= × h× = h,所以由 = h 解得 h= . ???11 分 3 2 2 2 6 2 3 z 2 3
P

设 PF 与平面 PAB 所成的角为 ? ,

1 2 h 又 PF= 2 ,所以 sin ? = = 3 = . PF 2 6

G C B E A x y

2 2 所以 ? =arcsin .即直线 AC 与平面 PAB 所成角大小是 arcsin . 6 6 F
第 14 页 共 38 页

方法 2:依条件建立如图所示空间直角坐标系 C-xyz. 所以 A(2,0,0),B(0,1,0), P(0,0,1) (Ⅰ)略???????3 分 (Ⅱ)解:显然 CB =(0,1,0)是平面 PAC 的一个法向量. 设 n=(x,y,z)是平面 PAB 的一个法向量, 因为 AP =(-2,0,1), AB =(-2,1,0), 所以由 n· AB AP =0,n· =0 解得 n=(1,2,2).

??? ?

??? ?

??? ?

??????????6 分

??? ? CB n 2 · 设二面角 B-AP-C 的大小为 ? ,所以 cos ? = ??? ? = . CB n 3
所以二面角 B-AP-C 的大小为 arccos

5 2 2 . ( arccos = arctan ) 2 3 3

????8 分

(Ⅲ)解:设 PF 与平面 PAB 所成的角为 ? , 由(Ⅱ)知平面 PAB 的一个法向量 n=(1,2,2).

??? ? ??? ? 2 ? FP n · 又 FP =(-1,0, 1),所以 cos( - ? )= ??? .???11 分 ? = 6 2 FP n
所以 sin ? =

2 2 .所以 ? =arcsin . 6 6 2 . ???????????12 分 6

即直线 AC 与平面 PAB 所成角的大小是 arcsin

17.解: (Ⅰ)设甲袋中红球的个数为 x ,依题意得 x =10× =4.

2 5

??????3 分

2 m + 2mP2 3 1 (Ⅱ)由已知得: 5 . ??????????7 分 = ,解得 P2 = 10 3m 3 3 4 4 48 2 4 4 3 1 1 4 56 (Ⅲ) P(? ? 0) ? ? ? ? , P(? ? 1) ? ? ? ? ? C2 ? ? ? , 5 5 5 125 5 5 5 5 5 5 125
2 1 4 3 ?1? 19 2 ?1? 2 1 P (? ? 2) ? ? C2 ? ? ? ? ? ? ? , P (? ? 3) ? ? ? ? ? . 5 5 5 5 ? 5 ? 125 5 ? 5 ? 125
所以 ? 的分布列为
2 2

第 15 页 共 38 页

?
P

0

1

2

3

48 125

56 125

19 125

2 125

所以 E? ? 0×

48 56 19 2 4 +1× +2× +3× = .??????????12 分 125 125 125 125 5

解答题前三题训练(七)
16. (本题满分 12 分)在 ?ABC 中, AC ? 2, BC ? 1, cosC ? (Ⅰ)求 AB 的值; (Ⅱ)求 sin(2A+C)的值. 17.(本小题满分 12 分)如图,已知矩形 ABCD,PA⊥平面 AC 于点 A, M、N 分别是 AB、PC 的中点. (Ⅰ)求证:MN⊥AB; (Ⅱ)若平面 PDC 与平面 ABCD 所成的二面角为 ? ,能否确定 ? , 使得直线 MN 是异面直线 AB 与 PC 的公垂线?若能确定,求 出 ? 的值;若不能确定,说明理由. 18.(本小题满分 12 分)A、B 是治疗手足口病的两种药,用若干试验 组进行对比试验。每个试验组由 4 只小白鼠组成,其中 2 只服用 A, 另 2 只服用 B, 然后观察疗效。 若在一个试验组中, 服用 A 有效的小白鼠的只数比服用 B 有效的多, 就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用 A 有效的概率为 (Ⅰ)求一个试验组为甲类组的概率; (Ⅱ)观察 3 个试验组,用 ? 表示这 3 个试验组中甲类组的个数,求 ? 的分布列和数学期望。 16.解: (1)由余弦定量,AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC

3 . 4

2 1 ,服用 B 有效的概率为 。 3 2

? 4 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1?
(2)由 cos C ?

3 ? 2 ? AB ? 2 4

4分

3 7 ,0 ? C ? ? ,? sin C ? 1 ? cos2 C ? 4 4 ? sin A ? BC sin C 14 5 2 ? ?c o s ? A AB 8 8
且 cos 2 A ? 1 ? 2 sin A ?
2

由正弦定理:

AB BC ? sin C sin A

8分

由倍角公式知, sin 2 A ? 2 sin A cos A ?

5 17 16

9 16

10 分

第 16 页 共 38 页

? sin(2 A ? C ) ? sin 2 A cosC ? cos 2 A sin C ?

3 7 8

12 分

17.证明: (1)取 CD 的中点 K,连 MK、NK,∵AM=BM,DK=CK, ∴MK=AD,且 MK∥AD. ∵AB⊥AD,∴AB⊥MK. ∵PA⊥平面 ABCD,AB⊥AD, ∴PD⊥AB. ∵PN=CN,DK=CK, ∴NK∥PD.∴AB⊥NK,又 MK∩NK=K, ∴AB⊥平面 MNK, ∴AB⊥MN. 5分 (2)解:由(1)得 MN⊥AB,故 MN 为 AB 和 PC 的公垂线当且仅当 MN⊥PC. ∵PN=CN,∴MN⊥PC ? PM=CM ? BC ? BM ? PA ? AM ① ∵AM=BM,∴① ? PA=BC. ② ∵BC=AD, ∴② ? PA=AD. 又∵PA⊥平面 ABCD,AD⊥CD,∴PD⊥CD. ∴∠ADP 为二面角 A—CD—P 的平面角. 8
2 2 2 2

分 从而 PA=AD ? △PAD 为等腰直角三角形 ? ∠ADP= ∴存在θ =

? 使 MN 为 AB 与 PC 的公垂线. 4

? , 4
12 分

18.解: (I)每个实验组中,服用 A、B 两种药物有效的小白鼠分别有 m 只、n 只。则一个试 验组为有效组的可能情况有以下几种:

1 ? 1? ?2? 1 ? ? ? C2 ? ? ? 1 ? ? 2 ? 2? ⑴ m = 2,n = 1 其概率为 ? 3 ?
?2? ? 1? ? ? ? ?1 ? ? 2? ⑵ m = 2,n = 0,其概率为 ? 3 ? ?
1 2
2 2

2

2 ? 2? ? 1? C ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? 3 ? 3? ? 2? ⑶ m = 1,n = 0,其概率为 4 1 4 1 2 1 4 ? ? 2 ? ? ? 2? ? ? 4 9 4 9 4 9 (II)分布列如下: ? ~B(3, ) 合计: 9 4

2

9

E? =

4 3

解答题前三题训练(八)
16. (本小题满分 12 分)已知空间向量

1 ? a ? (sin ? ,?1, cos? ), b ? (1,2 cos? ,1), a ? b ? ,? ? (0, ) 5 2
(1) n 2? 及 sin ? , cos? 的值; 求s (2) 设函数 f ( x) ? 5 cos(2 x ? ? ) ? cos 2 x( x ? R), 求f ( x) i 的最小正周期及 f (x) 取得最大值时 x 的值。 17. (本题满分 12 分)如图,P—ABCD 是正四棱锥,ABCD—A1B1C1D1 是正方体,其中 AB=2, PA= 6 。
第 17 页 共 38 页

(1)求证:PA⊥B1D1; (2)求平面 PAD 与平面 BDD1B1 所成锐二 面角的余弦值。 18. (本小题满分 12 分)某工厂组织工人参加上岗测试,每位测试者最多有三次机会,一旦某次 测试通过,便可上岗工作,不再参加以后的测试;否则就一直测试到第三次为止。设每位工人每 次测试通过的概率依次为 0.2,0.5,0.5. (1)若有 4 位工人参加这次测试,求恰有 2 人通过测试的概率; (2) 求工人甲在这次上岗测试中参加考试次数 ? 的分布列及 E ? . 16.解: (1)∵ a ? b ?

1 1 ∴ sin ? ? cos? ? ①????????2 分 5 5 1 24 ∴ 1 ? 2 sin ? cos? ? ∴ sin 2? ? ②????????4 分 25 25 4 3 联立①,②解得: sin ? ? , cos? ? ????????6 分 5 5
(2) f ( x) ? 5 cos(2 x ? ? ) ? cos 2 x ? 5 cos 2x cos? ? 5 sin 2x sin? ? cos 2x

? 3 cos 2x ? 4 sin 2x ? cos 2x ? 4(sin 2 x ? cos 2 x) ? 4 2 sin(2 x ?
∴ f ( x)的最小正周期T ? ? . ????????11 分

?
4

) ??10 分

当 2x ?

?
4

? 2k? ?

?
2

时, f ( x) max ? 4 2 , 此时 x ? k? ?

?
8

, (k ? Z ) ???12 分

17.解:以 D1 为原点,D1A1 所在直线为 x 轴,D1C1 所在直线为 y 轴,D1D 所在直线为 z 轴建立空间 直角坐标系,则 D1(0,0,0) 1(2,0,0) 1(2,2,0) 1(0,2,0) ,A ,B ,C ,D(0,0,2) , A(2,0,2) ,B(2,2,2) ,C(0,2,2)P(1,1,4)??????2 分 (1)∵ AP ? (?1,1,2), D1 B1 ? (2,2,0) ∴ AP ? D1 B1 ? ?2 ? 2 ? 0 ? 0 ∴PA⊥B1D1。??4 分 (2)平面 BDD1B1 的法向量为 AC ? (2,2,0) ????????6 分

DA ? (2,0,0), DP ? (1,1,2). 设平面 PAD 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,则 n⊥ DA, n ? DP
∴?

?2 x ? 0 ?x ? 0 取n ? (0,?2,1) ??????????10 分 ∴? ? x ? y ? 2 z ? 0 ? y ? ?2 z

第 18 页 共 38 页

设所求锐二面角为 ? ,则 cos? ?

| n ? AC | | n | ? | AC |
? ?

?

|0?4?0| 2 2? 5

?

10 . ?????12 分 5

18. (1)每位工人通过测试的概率为 1 ? ?1 ?

1 ?? 1 ?? 1 ? 4 ??1 ? ??1 ? ? ? .????2 分 5 ?? 2 ?? 2 ? 5

1 . ????4 分 5 1 96 2 4 4 位工人中恰有 2 人通过测试的概率为 P = C 4 ( ) 2 ? ( ) 2 = 。????6 分 5 5 625
每位工人不能通过测试的概率为 (2) ? 的 取 值 为 1 、 2 、 3. P?? ? 1? ?

1 , 5

? 1? 1 2 P?? ? 2? ? ?1 ? ? ? ? ? 5? 2 5

,

? 1 ?? 1 ? 2 P?? ? 3? ? ?1 ? ??1 ? ? ? .??8 分 ? 5 ?? 2 ? 5
故工人甲在这次上岗测试参加考试次数 g 的分布列?10 分

? E? ? 1 ?

1 2 2 11 ? 2 ? ? 3 ? ? .????12 分 5 5 5 5
1 2 3

?
P

1 5

2 5

2 5

解答题前三题训练(九)
16. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (sin A, cos A), n ? (cos B, sin B) , m ?n ? sin 2C 且 A B,C 分别为△ABC 的三 , 边 a,b,c 所对的角. (Ⅰ)求角 C 的大小;

??

?

?? ?

CB (Ⅱ)若 sinA, sinC, sinB 成等比数列, 且 CA? ? 18 , 求 c 的值.
17. (本小题满分 12 分) 一个口袋中装有 n 个红球( n ? 5 且 n ? N )和 5 个白球,一次摸奖从中摸两个球,两个球颜色不同 则为中奖. (Ⅰ)试用 n 表示一次摸奖中奖的概率 p ; (Ⅱ)若 n ? 5 ,求三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率;
第 19 页 共 38 页

??? ??? ? ?

(Ⅲ)记三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为 P .当 n 取多少时, P 最大? 18. (本小题满分 12 分) 在正三角形 ABC 中,E、F、P 分别是 AB、AC、BC 边上的点,满足 1). 将△AEF 沿 EF 折起到 ?A1 EF 的位置, 使二面角 A1-EF-B 成直二面角, 连结 A1B、 1P A (如图 2) (Ⅰ)求证:A1E⊥平面 BEP; (Ⅱ)求直线 A1E 与平面 A1BP 所成角的大小; (Ⅲ)求二面角 B-A1P-F 的大小(用反三角函数表示).
E

AE CF CP 1 ? ? ? (如图 EB FA PB 2

A

A1


B P

F

E F
C

B 图 2





?? ? 图 ?? ? 16. (解: (1) ∵ m ? (sin A, cos A), n ? (cos B, sin B) , m ?n ? sin 2C , 1
∴sinAcosB+cosAsinB=sin2C 即 sinC=sin2C ∴ cosC= ??????2 分

1 2 C?

5分

又 C 为三角形的内角,



?
3
∴ sin2C=sinAsinB

??????6 分 ?????7 分 ???? 10 分 ?????? 12 分
2

(Ⅱ) ∵sinA,sinC,sinB 成等比数列, ∴ c ? ab
2

CB 又, CA? ? 18 ∴ abcosC ? 18
故 c =36
2

??? ??? ? ?

∴ ab ? 36

∴ c =6

17. (Ⅰ)一次摸奖从 n ? 5 个球中任选两个,有 C n ? 5 种, 它们等可能,其中两球不同色有 Cn C5 种,………………………2 分 一次摸奖中奖的概率 p ?
1 1

10n .………………………4 分 (n ? 5)(n ? 4)

(Ⅱ)若 n ? 5 ,一次摸奖中奖的概率 p ?

5 ,………………………6 分 9

三次摸奖是独立重复试验,三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率是
1 P3 (1) ? C3 ? p ? (1 ? p)2 ?

80 . ………………………8 分 243
第 20 页 共 38 页

(Ⅲ)设每次摸奖中奖的概率为 p ,则三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为
1 P ? P3 (1) ? C3 ? p ? (1 ? p)2 ? 3 p3 ? 6 p 2 ? 3 p , 0 ? p ? 1 , ……………………10 分

1 1 P ' ? 9 p 2 ? 12 p ? 3 ? 3( p ? 1)(3 p ? 1) ,知在 (0, ) 上 P 为增函数,在 ( ,1) 上 P 为减函数, 3 3
当p?

10n 1 1 时 P 取得最大值.又 p ? ? ,解得 n ? 20 .…………12 分 (n ? 5)(n ? 4) 3 3

答:当 n ? 20 时,三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率最大. 18.解 不妨设正三角形 ABC 的边长为 3,则 (1)在图 1 中,取 BE 中点 D ,连结 DF ,

A E C F C P1 ? ? ? ,∴ AF ? AD ? 2 而 ?A ? 600 ,即△ EB F A P B2 又∵ AE ? ED ? 1, ∴ EF ? AD
则∵ ∴在图 2 中有 A1 E ? EF , BE ? EF , ∴ ?A 1 EB 为二面角 A 1? EF ? B 的平面角 ∵二面角 A 1? EF ? B 为直二面角, ∴ A1E ? BE 又∵ BE ? EF ? E , ∴ A1 E ⊥平面 BEF ,即 A1 E ⊥平面 BEP .

A D F是正三角形

(2)由(1)问可知 A1E⊥平面 BEP,BE⊥EF,建立如图的坐标系,则E(0,0,0) 1(0, ,A 0,1)B(2,0,0) ,F(0,0, 3 ).在图1中,不难得到EF//DP 且EF=DP;DE// FP 且DE=FP 故点P的坐标P(1, 3 ,0) ∴ A1 B ? (2, 0, ?1) , BP ? (?1, 3, 0) , EA 1 ? (0, 0,1)

???? ?

??? ?

???? ?

???? ?? ? ? ? A1 B ? n 1 ? 2 x ? z ? 0 ?? ? ? 不妨设平面 A1BP 的法向量 n 1 ? ( x, y, z ) ,则 ? ??? ?? ? ? ? BP ? n 1 ? x ? 3 y ? 0 ? ?? ???? ? ? ?? ? ?? ???? ? ? n 1 ? EA 1 6 3 ? ????? ? ? ? 令 y ? 3 得 n 1 ? (3, 3, 6) ∴ cos ? n 1 , EA 1 ?? ?? 2 | n 1 | ? | EA 1 | 1? 4 3
故直线 A1E 与平面 A1BP 所成角的大小为

(3)由(2)问可知平面 A1BP 的法向量 n 1 ? (3, 3, 6) , A1 F ? (0, 3, ?1) , FP ? (1, 0, 0)
第 21 页 共 38 页

?? ?

? . 3

???? ?

??? ?

???? ?? ? ? ? A1 F ? n 2 ? 3 y ? z ? 0 ?? ? ? 设平面 AEP 的法向量 n 2 ? ( x, y, z ) ,则 ? ??? ?? ? ? BP ? n 1 ? x ? 0 ? ? ?? ??? ? ?? ??? ? ?? ? n1 ? n 2 21 7 ? ?? ? ? ? 令 y ? 3 得 n 2 ? (0, 3,3) 故 cos ? n 1 , n 2 ?? ?? | n1 | ? | n 2 | 4 3 ? 2 3 8
显然二面角 B-A1P-F 为钝角 故二面角 B-A1P-F 为 ? ? arccos

7 . 8

解答题前三题训练(十)
16. (12 分)在 ?ABC 中, | AB |? 4, | AC |? 2, AD ? (1)证明: AB, AD ? AD, AC

1 2 AB ? AC . 3 3
6 ,求 | BC | 的值.

; (2)若 | AD |?

17. (12 分)某空调器厂为了规范其生产的空调器的市场营销,在一个地区指定一家总经销商,规 定经总销商之间不得“串货” (即一个地区的总经销商不得向其他地区销售该品牌空调器) .经空 调器厂和各地区总经销商联合市场调查,预计今年的七月份(销售旺季) ,市场将需求售价为 1800 元/台的 P 型空调器 200 万台,但该厂的生产能力只有 150 万台.为了获得足够的资金组织生产, 该空调器厂规定,每年的销售旺季前预付货款的总经销商在旺季将获得供货优待.以东部地区为 例,今年的 7 月份市场将需求 P 型空调器 10 万台,如果东部地区的总经销商在 2 月 1 日将 10 万 台 P 型空调器的货款全部付清,空调器厂按 1500 元/台的价格收取货款,并在 7 月 1 日保证供货; 每推迟一个月打入货款,每台空调器的价格将增加 6 元,并且供货量将减少 2%.已知银行的月利 率为 0.5%. (1)就 P 型空调器的进货单价而言,总经销商在 2 月 1 日和 7 月 1 日打入货款,哪个划算? (2)就东部地区经销 P 型空调器而言,总经销商在 2 月 1 日和 7 月 1 日打入货款,哪个划算? (3)东部地区的小王 7 月 1 日用分期付款的方式购买了 1 台 P 型空调器,如果采用每月“等额还 款”的方式从 7 月 1 日开始分 6 次付清,小王每一次的付款额约是多少? (以下数据仅供参考: 1.0054=1.020151, 1.0055=1.025251, 1.0056=1.030378, 0.985=0.903921, 0.986=0.885842,0.987=0.868126) 18. (12 分)在正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,侧棱是底面边长的 2 倍,P 是侧棱 CC1 上的任一 点. (1)求证:不论 P 在侧棱 CC1 上何位置,总有 BD⊥AP; (2)若 CC1=3C1P,求平面 AB1P 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值; (3) P 点在侧棱 CC1 上何处时, 在平面 B1AC 上的射影是∠B1AC 当 AP 的平分线.

16.解:(1)设 ?BAC ? ? ,则

第 22 页 共 38 页

16 16 ? cos? 3 cos ? AB, AD ?? = 3 , | AB || AD | 4 | AD |

AB ? AD

8 8 cos? ? 3, cos ? AD, AC ?? ?3 | AD || AC | 2 | AD | AD ? AC

? cos ? AB, AD ?? cos ? AD, AC ? ,
又 ? AB, AD ?? [0, ? ], ? AD, AC ?? [0, ? ] ,

?? AB, AD ??? AD, AC ? . ??????6 分
2 2 1 2 1 4 4 (2)?| AD | 2 ? ( AB ? AC ) 2 ? AB ? AB ? AC ? AC 3 3 9 9 9

= 16 ? 4 ? 4 ? 2 cos? ? 16 ? 6 ,? cos? ? 11 , ??????9 分 9 9 9 16

? BC ?| AB | 2 ? | AC | 2 ? 2 | AB || AC | cos? ? 16 ? 4 ? 2 ? 4 ? 2 ?

2

11 ? 9, ?| BC |? 3. ?12 分 16

17.解: (1)2 月 1 日打入货款,P 型空调器的进货单价为 1500 元;7 月 1 日打入货款,P 型空调 器的进货单价为 1500+5×6=1530(元) . 5 由于 1500×(1+0.5%) =1500×1.025251≈1537.88>1530, 所以,就 P 型空调器的进货单价而言,经销商在 7 月 1 日打入货款划算.???3 分 (2)2 月 1 日打入货款, 东部地区经销 P 型空调器的利润是 100000×(1800-1537.88)=26212000 元) ( ; 5 7 月 1 日打入货款,东部地区经销 P 型空调器的台数是 100000×(1-2%) =90392.1≈90392, 利润为 90392×(1800-1530)=24405840(元) . 由于 24405840<26212000,所以,就东部地区经销 P 型空调器而言,在 2 月 1 日打入货款最 划算.????6 分 (3)设小王每个月的还款数额为 x 元, 则(1+1.005+1.0052+1.0053+1.0054)x=(1800-x)×1.0055, 1-1.0056 即 x=1800×1.0055, 1-1.005 0.005×1800×1.0055 0.005×1800×1.025251 解得 x= = =303.75(元). 1.0056-1 1.030378-1 答:小王每一次的付款额约是 303.75 元.????12 分

19.解: (1)由题意可知,不论 P 点在棱 CC1 上的任何位置,AP 在底面 ABCD 内射影都是 AC, ? BD ? AC , ? BD ? AP. ??????2 分
(2)延长 B1P 和 BC,设 B1P∩BC=M,连结 AM,则 AM=平面 AB1P∩平面 ABCD. 过 B 作 BQ ⊥AM 于 Q,连结 B1Q,由于 BQ 是 B1Q 在底面 ABCD 内的射影,所以 B1Q⊥AM, 故∠B1QB 就是所求二面角的平面角,依题意,知 CM=2B1C1,从而 BM=3BC.
第 23 页 共 38 页

所以 AM ?
BC ? 3BC 10 BC ?

AB 2 ? BM 2 ? BC 2 ? 9 BC 2 ? 10 BC . 在 Rt?ABM中, BQ ? AB ? BM ?
AM

3BC 10

, 在Rt ?B1 BQ 中,

B B 2 BC 2 10 ,? tan ?B1QB tan ?B1QB ? 1 ? ? BQ 3BC 3 10

?

2 10 . 3

?1 ? tan 2 ?B1QB ?

1 得 cos ?B1QB
2

1?

40 1 ? . 2 9 cos ?B1QB

? c o s B1QB ? ?

3 为所求. ??????8 分 7
2 2 2

(3)设 CP=a,BC=m,则 BB1=2m,C1P=2m-a,从而 B1 P ? m ? (2m ? a) ,

AB12 ? m 2 ? 4m 2 ? 5m 2 , AC ? 2m.
AP 2 ? AB12 ? B1 P 2 在 Rt?ACP中, cos ?APC ? AC .在?PAB1中, cos PAB1 ? AP 2 AP ? AB1

依题意,得 ?PAC ? ?PAB1 .

?

AC AP 2 ? AB12 ? B1 P 2 . ? AP 2 AP ? AB1

? AP 2 ? AB12 ? B1 P 2 ? 2 AC ? AB1 .
即 a ? 2m ? 5m ? [m ? (2m ? a) ] ? 2 2m ? 5m.
2 2 2 2 2

?a ?

10 ? 1 10 ? 1 10 ? 1 m? ? BB1 . 故 P 距 C 点的距离是侧棱的 . ?????12 分 2 4 4

另解:如图,建立空间直角坐标系. 设 CP ? a, CC1 ? 6,? B1 (0,3,6), C (? 3,3,0), P(?3,3, a).

? AB1 ? (0,3,6), AC ? (?3,3,0), AP ? (?3,3, a).
? cos ? AB1 , AP ?? cos ? AC , AP ?? 9 ? 6a 3 ? 6 ? (?3) ? 3 ? a
2 2 2 2 2

?

3 ? 2a 5(18 ? a 2 )

,

18 18(18 ? a 2 )

.

第 24 页 共 38 页

依题意,得 cos ? AB1 , AP ?? cos ? AC, AP ?, 即 3 ? 2a ? 3 10 , 亦即a ?

3( 10 ? 1) 10 ? 1 10 ? 1 ? ?6 ? CC1 . 2 4 4

故 P 距 C 点的距离是侧棱的

10 ? 1 . 4

解答题前三题训练(十一)
16. 已知锐角 ?ABC 的三内角 A、B、C 的对边分别是 a, b, c, 且(b ? c ? a ) tan A ?
2 2 2

3bc.

(1)求角 A 的大小; (2)求 sin(A ? 10?) ? [1 ? 3 tan(A ? 10?)] 的值。 17. 如图,在 Rt△AOB 中, ?OAB ?

π ,斜边 AB ? 4 . Rt△AOC 可以通过 Rt△AOB 以直线 6

AO 为轴旋转得到,且二面角 B ? AO ? C 是直二面角.动点 D 的斜边 AB 上.
(1)求证:平面 COD ? 平面 AOB ; (2) D 为 AB 的中点时, 当 求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小; (3)求 CD 与平面 AOB 所成角的最大值. 18. 某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行 5 次统一测试, 学生如果通过其中 2 次测试即可获得足够学分升上大学继续学习, 不用参加其余的测试, 而每个学生最多也只能参加 5 次测试. 假设 某学生每次通过测试的概率都是

A

D

O

B

C 1 ,每次测试通过与否互相独立. 3

规定:若前 4 次都没有通过测试,则第 5 次不能参加测试. (Ⅰ) 求该学生考上大学的概率. (Ⅱ) 如果考上大学或参加完 5 次测试就结束,记该生参加测试的次数为ξ ,求变量ξ 的分布列 及数学期望 Eξ 。 16. 解: (1)由已知条件及余弦定理得 tan A ?

3bc sin A 3 ,? ? , 2bc cos A cos A 2 cos A
……………………6 分

∴ sin A ?

3 ? ? .∵ A ? (0, ) , 故A ? . 2 2 3
第 25 页 共 38 页

(2) sin(A ? 10?)[1 ? 3 tan(A ? 10?)] ? sin 70?(1 ? 3
?

sin 50? ) cos50?
….12 分

2 sin 20 ? cos 20 ? cos 50 ? ? 3 sin 50 ? sin(30 ? ? 50 ) = sin70 =2sin70 ==- =-1 cos 50 ? cos 50 ? sin 40 ?
?

17.解: (I)由题意, CO ? AO , BO ? AO ,??BOC 是二面角 B ? AO ? C 的平面角, 又?二面角 B ? AO ? C 是直二面角,?CO ? BO ,又? AO ? BO ? O ,

?CO ? 平面 AOB ,又 CO ? 平面 COD .?平面 COD ? 平面 AOB . --------4 分 (II)作 DE ? OB ,垂足为 E ,连结 CE ,则 DE ∥ AO , - -------------------------5 分 ??CDE 是异面直线 AO 与 CD 所成的角. 1 2 2 在 Rt△COE 中 , C O? B O 2 , OE ? BO ? 1 , ? CE ? CO ? OE ? 5 . 又 ? 2
D E?
CE 5 15 1 ? ? . A O 3 .?在 Rt△CDE 中, tan CDE ? ? DE 3 2 3
----------7 分

?异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为 arctan

15 . 3

----------------------8 分

( III ) 由 ( I ) 知 , CO ? 平 面 A O B, ??CDO 是 CD 与 平 面 A O B所 成 的 角 , 且

t a nCDO ?

OC 2 .当 OD 最小时, ?CDO 最大??????10 分 ? OD OD
2 3 OA ? OB , ? 3 , tan ?CDO ? 3 AB
2 3 .3
-----------------12

这时, OD ? AB ,垂足为 D , OD ?

?CD 与平面 AOB 所成角的最大值为 arctan

18. 解 :( Ⅰ ) 记 “ 该 生 考 上 大 学 ” 的 事 件 为 事 件 A , 其 对 立 事 件 为 A , 则

2 2 64 16 1 1 2 1 1 2 P( A) ? C 4 ( )( ) 3 ( ) ? ( ) 4 ? ? ? . 3 3 3 3 243 81 2 4 3
∴ P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ?

112 131 ? . ??6 分 243 243
2

( Ⅱ ) 该 生 参 加 测 试 次 数 ξ 的 可 能 取 值 为 2 , 3 , 4 , 5. P(? ? 2) ? ? 1 ? ? 1 , ? ? 9 ? 3?

4 1 1 2 1 P(? ? 3) ? C2 . . . ? 3 3 3 27



1 ?2? 1 2 4 16 28 P(? ? 4) ? C ? ? ? ? ? ? ( )4 ? ? ? 3 ?3? 3 3 27 81 81
1 3

2



第 26 页 共 38 页

32 1 ?1? ? 2? P(? ? 5) ? C4 ? ? ? ? ? ? ? . 故ξ 的分布列为: 3 ? ? 3 ? 81 ?
1 4 28 32 326 E? ? 2 ? ? 3 ? ? 4? ? 5? ? . ??12 分 9 27 81 81 81

3

解答题前三题训练(十二)
16. (本题满分 12 分)已知

(Ⅰ)

的解析表达式; (Ⅱ)若

角是一个三角形的最小内角,试求函数

的值域.

17. (本题满分 12 分)国庆前夕,我国具有自主知识产权的“人甲型 H1N1 流感病毒核酸检测试 剂盒” (简称试剂盒)在上海进行批量生产,这种“试剂盒”不仅成本低操作简单,而且可以 准确诊断出“甲流感”病情,为甲型 H1N1 流感疫情的防控再添一道安全屏障.某医院在得 到“试剂盒”的第一时间,特别选择了知道诊断结论的 5 位发热病人(其中“甲流感”患者 只占少数) ,对病情做了一次验证性检测.已知如果任意抽检 2 人,恰有 1 位是“甲流感”患

2 . (1)求出这 5 位发热病人中“甲流感”患者的人数 ; 5 (2)若用“试剂盒”逐个检测这 5 位发热病人,直到能确定“甲流感”患者为止,设 ξ 表示 检测次数,求 ξ 的分布列及数学期望 Eξ. 18. (本题满分 12 分)如图,多面体 ABCDS 中,面 ABCD 为矩形,
者的概率为 , (I)求证:CD ;(II)求 AD 与 SB 所成角的余弦值;

(III)求二面角 A—SB—D 的余弦值.

16.解析: (1)由

,得

, …2 分







第 27 页 共 38 页

于是



,∴

,即

…7 分

(2)∵

角是一个三角形的最小内角,∴0<



,

,……………9 分



,则



(当且仅当

时取=),………11 分

故函数

的值域为

.………………………………12 分

17.解: (1)设有 x 人患“甲流感” ,则由题意有

1 C1 ? C5 ? x 2 x ? , ?????3 分 2 5 C5

解得 x=1 或 x=4(舍) . ∴ 这 5 位发热病人中有 1 人患“甲流感” .?????????????5 分 (2) ? =1,2,3,4,则 P(? ? 1) ?

A1 1 1 1 ? , P(? ? 2) ? 4 ? , 1 2 A5 5 A5 5

P (? ? 3) ?

2 A3 ? A4 2 A4 1 ? , P(? ? 4) ? 4 4 4 ? . 3 5 A5 5 A5

∴ ? 的分布列为 ξ P 1 2 3 4

1 1 1 2 5 5 5 5 ?????????????? ??????????????????10 分 1 1 1 2 ∴ E? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 2.8 . ??????????????12 分 5 5 5 5
18.解析: (I) 是矩形, --------------1 分



-------------2 分
第 28 页 共 38 页

---3 分

CD

-------------4 分

(II)由

,及(I)结论可知 DA、DC、DS 两两互相垂直,

建立如图所示的空间直角坐标系

AD 与 SB 所成的角的余弦为

--8 分

(III)

设面 SBD 的一个法向量为

--------------9 分

第 29 页 共 38 页

CD 是 CS 在面 ABCD 内的射影,且

--------------6 分

--------------8 分

从而 SB 与 AD 的成的角的余弦为

(III)

面 ABCD.

BD 为面 SDB 与面 ABCD 的交线.

SDB

于 F,连接 EF,

从而得:

为二面角 A—SB—D 的平面角

--------------10 分

在矩形 ABCD 中,对角线

中,

第 30 页 共 38 页

所以所求的二面角的余弦为

--------------12 分

解答题前三题训练(十三)
16.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, ?A、?B、?C 的对边的边长分别为 a、b、c 且 a、b、c 成等比数列. (1)求角 B 的取值范围;
教育博客

(2)若关于 B 的不等式 cos 2B ? 4 sin(? ? B ) cos(? ? B ) ? m ? 0 恒成立 ,求 m 的取值范围. 4 2 4 2
教育博客

17.(本小题满分 12 分) 某汽车驾驶学校在学员结业前 ,对学员的驾驶技术进行 4 次考核,规定:按顺序考核,一旦 考核合格就不必参加以后的考核, 否则还需参加下次考核。若学员小李独立参加每次考核合格的 1 1 概率依次组成一个公差为 的等差数列, 他参加第一次考核合格的概率不超过 ,且他直到第二 2 8 9 次考核才合格的概率为 。 32 (1)求小李第一次参加考核就合格的概率 p1 ; P (2)求小李参加考核的次数 ? 的分布列和数学期望。
教育博客 教育博客 教育博客 教育博客 教育博客

18.(本小题满分 12 分) 如图所示,四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形,
教育博客

C D

?ADC ? ?DCB ? 90? , AD ? 1 , BC ? 3 , PC ? CD ? 2 ,

PC ? 底面 ABCD , E 为 AB 的中点. (1)求证:平面 PDE ? 平面 PAC ; (2)求直线 PC 与平面 PDE 所成的角; (3)求点 B 到平面 PDE 的距离.
教育博客 教育博客 教育博客

A

E

B

教育博客

16.解:1)? b ? ac
2

? cos B ?

a 2 ? c 2 ? b 2 2ac ? b 2 2ac ? ac 1 ? ? ? 2ac 2ac 2ac 2

当且仅当 a ? b ? c 时, cos B ? 2) cos 2 B ? 4 sin(

?
4

?

B ? B ) cos( ? ) ? m 2 4 2

1 2

故0 ? B ?

?
3

???5 分

教育博客

教育博 客

= cos 2 B ? 2 sin(

?

1 3 ? B) ? m ? 2(cos B ? )2 ? m ? ??8 分 2 2 2
第 31 页 共 38 页

教育博客

1 3 3 ? 2(cos B ? )2 ? m ? ? ? m ? , m ? 1) 2 2 2 3 3 故原不等式恒成立,即 m ? ? 0 得 m ? 2 2 3 ? m 的取值范围为 ( , ??) .?12 分 2 1 9 1 5 17.解:1)根据题意,得 (1 ? p1 )( p1 ? ) ? ,解得 p1 ? 或 p1 ? . 8 32 4 8 1 1 1 ∵ p1 ? ,∴ p1 ? ,即小李第一次参加考核就合格的概率为 ???(6 分) 2 4 4 1 3 1 5 2)由⑴的结论知,小李四次考核每次合格的概率依次为 , , , , 4 8 2 8
教育博 客 教育博客 教育博客

1 ? ? cos B ? 1 2

教育博客

∴ P (? ?1) ? , P(? ?2)?

1 9 1 3 1 15 , P(? ?3)?(1? )?(1? )? ? ??????(8 分) 4 32 4 8 2 64 1 3 1 15 ?????????????(10 分) P(? ?4)?(1? )?(1? )?(1? )1? ? 4 8 2 64

教育博客

1 9 15 15 157 ∴小李参加测试的次数 ? 的数学期望为 E? ?1? ?2? ?3? ?4? ? ???(12 分) 4 32 64 64 64 18.(Ⅰ)设 AC 与 DE 交点为 G ,延长 DE 交 CB 的延长线于点 F ,

则 ?DAE ? ?FBE ,∴ BF ? AD ? 1 ,∴ CF ? 4 ,∴ tan ?F ? 又∵ tan ?ACD ?

DC 1 ? , CF 2

P
教育博客

AD 1 ? ,∴ ?F ? ?ACD , DC 2
?

教育博客

又∵ ?ACD ? ?ACF ? 90 ,∴ ?F ? ?ACF ? 90 ,
?

H
教育博客

C

∴ ?CGF ? 90 ,∴ AC ? DE
?

D 又∵ PC ? 底面 ABCD ,∴ PC ? DE ,∴ DE ? 平面 PAC , ∵ DE ? 平面 PDE ,∴平面 PDE ? 平面 PAC ???(4 分) A E (Ⅱ)连结 PG ,过点 C 作 CH ? PG 于 H 点, 则由(Ⅰ)知平面 PDE ? 平面 PAC , 且 PG 是交线,根据面面垂直的性质, 得 CH ? 平面 PDE ,从而 ?CPH 即 ?CPG 为直线 PC 与平面 PDE 所成的角.
教育博客 教育博客

B F

在 Rt ?DCA 中, CG ?

22 4 5 CD 2 ? ? , 5 AC 22 ? 12

教育博客

4 5 2 5 2 5 CG ? 5 ? 在 Rt ?PCG 中, tan ?CPG ? . 所以有 ?CPG ? arctan , 5 2 5 PC
教育博客

教育博客

第 32 页 共 38 页

即直线 PC 与平面 PDE 所成的角为 arctan (Ⅲ)由于 BF ?

2 5 ?????????????(8 分) 5

教育博客

1 1 CF ,所以可知点 B 到平面 PDE 的距离等于点 C 到平面 PDE 的距离的 , 4 4
4 5 4 5 ? ? , PC 2 ? CG 2 4 5 2 3 22 ? ( ) 5 PC ? CG 2?

1 即 CH . 在 Rt ?PCG 中, CH ? 4

教育博客

从而点 B 到平面 PDE 的距离等于

1 ??????????????????(12 分) 3

解答题前三题训练(十四)
16. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中, A、 C 所对的边分别是 a、 c, 角 B、 b、 已知 cosA= , tan c=9. (1)求 tanB 的值; (2)求△ ABC 的面积.
教育博客 教育博客

3 5

B B 26 +cot = , 5 2 2

17. (本小题满分 12 分) 如图, 四棱锥 P—ABCD 中, 底面 ABCD 是直角梯形, AB//CD, ∠DAB=60°, AB=AD=2CD, 侧面 PAD⊥底面 ABCD,且△ PAD 为等腰直角三角形,∠APD=90°,M 为 AP 的中点. (1)求证:AD⊥PB; (2)求二面角 A—BC—P 的正切值.
教育博客 教育博客 教育博客

18. (本小题满分 12 分) 某校调查了高三年级 1000 位同学的家庭月平均收入情况,得到家庭月平均收入频率分布 直方图如图, (1)某企业准备给该校高三同学发放助学金, 发放规定如下:家庭收入在 4000 元以下的
教育博客 教育博客 教育博客

每位同学得助学金 2000 元,家庭收入在 ?4000 ,6000 ? (元)间的每位同学得助学金 1500 元,家庭收入在 ?6000 ,8000 ?(元)间的每位同学得助学金 1000 元,家庭收入 在 ?8000 ,10000 ? (元) 间的同学不发助学金, , 记该年级某位同学所得助学金为 ? 元, 写出 ? 的分布列,并计算该企业发放这个年级的助学金约需要的资金;
第 33 页 共 38 页
教育博客

(2)记该年级某班同桌两位同学所得助学金之差的绝对值为 ? 元,求 P(? ? 500 ).

B B ? cos2 5 1 26 2 2 ? ,得 sin B ? . ? B B B B 13 5 sin cos sin cos 2 2 2 2 4 12 5 3 ? cos A ? ,?sin A ? ? sin B ,? B 为锐角,? cos B ? , ? tan B ? . ??6 分 5 5 13 12 4 12 3 5 63 (2)由 sin C ? sin(A ? B) ? sin A ? cos A sin B ? ? ? ? ? , 5 13 5 13 65 a c 52 又?c ? 9 ,? ,得 a ? , ? sin A sin C 7 1 1 52 5 90 ? S ?ABC ? ac sin B ? ? ? 9 ? ? . ????????12 分 2 2 7 13 7 17.解法一: (1)取 AD 的中点 G ,连结 PG、GB、BD P ? PA ? PD , ? PG ? AD .………2 分 ? AB ? AD ,且 ?DAB ? 60? , ??ABD 是正三角形, BG ? AD .………4 分 ? AD ? 平面 PGB .? AD ? PB .………6 分 C D (2)取 BC 的中点 E ,联结 PE、GE . F G ∵四边形 ABCD 是直角梯形且 AB // CD , A B ? GE // AB , GE ? BC . ? BC ? 平面 PEG , ? BC ? PE , ??PEG 是二面角 A ? BC ? P 的平面角.……………………………9 分 设 DC ? a ,则 AB ? AD ? 2a . z ? G 、E 分别为 AD . BC 中点, P AB ? CD a ? 2a 3 ? GE ? ? ? a .………10 分 2 2 2 ? G 是等腰直角三角形 PAD 斜边的中点, M C 1 ? PG ? AD ? a . D 2 B B 16.解: (1)由 tan ? cot ? 2 2 sin 2
教育博客 教育博客 教育博客 教育博客 教育博客 教育博客

教育

G
第 34 页 共 38 页

A

B

x

y

? tan ?PEG ?
教育博客

PG 2 2 ? , ∴二面角 A ? BC ? P 的正切值为 .……………12 分 EG 3 3
教育博客 教育博客

教育博客

解法二: (1) 同解法 1 (2) ∵侧面 PAD ? 底面 ABCD ,又? PG ? AD , ? PG ? 底面 ABCD .? PG ? BG .? PG ? AD . ∴直线 AD、GB、GP 两两互相垂直,……………………8 分
教育博客

故可以分别以直线 AD、GB、GP 为 x 轴. y 轴和 z 轴建立如 图所示的空间直角坐标系 G ? xyz . 设 PG ? a , C ( x, y, z ) ,则可求得

P(0, 0, a), A(a, 0, 0), B(0, 3a, 0), D( ?a, 0, 0) ,…………10 分
则 GP ? (0, 0, a), AB ? (?a, 3a, 0), PB ? (0, 3a, ?a) .

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ???? ? AB ? 2DC 且 AB // CD ,? AB ? 2DC ,
即 (?a, 3a,0) ? 2[( x, y, z ) ? (?a,0,0)] .? ( x, y, z ) ? (? a,

3 2

3 a,0) , 2

教育博客

即 C ( ? a,

3 2

3 a,0) .……………………………………………………11 分 2

??? ? ? PG ? 平面 ABCD ,? GP 是平面 ABCD 的法向量,
? ??? ? ? ??? ? n ? GP 3 ? ? cos ? n, GP ?? ? ??? ? . | n | ? | GP | 13
∴二面角 A ? BC ? P 的正切值为 18.解: (1) ? 的分布列是

? ? ? ?? 2 ? t a n?n G P ? ? , 3

.

2 . ………………………………………12 分 3

?
P

2000 0.3

1500 0.3

1000 0.2

0 0.2

???????4 分

E? ? 2000 ? 0.3 ? 1500 ? 0.3 ? 1000 ? 0.2 ? 0 ? 0.2 ? 1250 (元)

教育博客

所以需要资金约为: 1250 ?1000 ? 1250000 (元)…………………………6 分 (2) P ?? ? 1000 ? ? 2 ? 0.2 ? 0.2 ? 2 ? 0.3 ? 0.2 ? 0.2 , …………………8 分
教育博客

第 35 页 共 38 页

P ?? ? 1500 ? ? 2 ? 0.3 ? 0.2 ? 0.12 , P ?? ? 2000 ? ? 2 ? 0.3 ? 0.2 ? 0.12 , ……10 分
教育博

所以 P ?? ? 500 ? ? 0.2 ? 0.12 ? 0.12 ? 0.44 。………………………………12 分

解答题前三题训练(十五)
16 .( 12 分 ) 如 图 , 在 直 三 棱 柱 ABC—A1B1C1 中 ,
?ACB ? 90? , 2 AC ? AA1 ? BC ? 2 .D 在棱 AA1 上
A1 C1

B1

(Ⅰ)若 D 为 AA1 中点,求证:平面 B1CD ? 平面 B1C1D; (Ⅱ)若二面角 B1—DC—C1 的大小为 60° ,求 AD 的长. 17. (12 分)在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 9,sin B ? cos Asin C ,又 ?ABC 的面
??? ???? ?

D C A B

积 等

于 6. (Ⅰ)求 ?ABC 的三边之长; (Ⅱ) P 是 ?ABC(含边界) 设 内一点, 到三边 AB、 、 的距离为 d1 、d 2 和 d 3 , d1 ?d2 ? 3 P BC AB 求 d 的取值范围 18. (12 分)一个口袋中装有大小相同的 n 个红球( n ≥ 5 且 n ? N )和 5 个白球,一次摸奖从中 摸两个球,两个球的颜色不同则为中奖。 (Ⅰ)试用 n 表示一次摸奖中奖的概率 p ; (Ⅱ)记从口袋中三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为 m ,求 m 的最大值? (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,将 5 个白球全部取出后,对剩下的 n 个红球全部作如下标记:记上 i 号 的有 i 个( i ? 1,2,3,4 ) ,其余的红球记上 0 号,现从袋中任取一球。 ? 表示所取球的标号, 求 ? 的分布列、期望和方差。 16.解法一: (Ⅰ)∵ ?A1C1 B1 ? ?ACB ? 90? ,∴ B1C1 ? AC1 , 1 又由直三棱柱性质知 B1C1 ? CC1 ,∴ B1C1 ? 平面 ACC1A1. ∴ B1C1 ? CD ??①??(2 分) 由 D 为中点可知, DC ? DC1 ? 2 ,∴ DC 2 ? DC12 ? CC12 即 CD ? DC1 ??② 由①②可知 CD ? 平面 B1C1D,又 CD ? 平面 B1CD,
A E C1 A1 B1

D C B

故平面 B1CD ? 平面 B1C1D. (Ⅱ)由(1)可知 B1C1 ? 平面 ACC1A1,如图, 在面 ACC1A1 内过 C1 作 C1 E ? CD ,交 CD 或延长线或于 E,连 由三垂线定理可知 ?B1 EC1 为二面角 B1—DC—C1 的平面角, ∴ ?B1 EC1 ? 60 .
?

C1 A1 E

B1

EB1,

D C B

第 36 页 共 38 页

A

由 B1C1=2 知,C1 E ? 面积为 1, ∴ ? x2 ? 1 ?
1 2

2 3 , AD=x, DC ? x 2 ? 1. ∵ ?DC1C1 的 设 则 3
A1

z C1 B1

2 3 ? 1 ,解得 x ? 2 ,即 AD ? 2. 3

解法二: (Ⅰ)如图,以 C 为原点,CA、CB、CC1 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系. 则 C(0,0,0) ,A(1,0,0) 1(0, ,B 2,2) 1(0,0,2) ,C ,D(1,0,1).
???? ? ???? ??? ? 即 C1B ? (0,2,0), DC1 ? (?1,0,1), CD ? (1,0,1)

D C A x B y

由 CD? 1 B ? (1, 0,1)?(0, 2, 0) ? 0 ? 0 ? 0 ? 0 ,得 CD ? C1 B ; C 由 CD?DC1 ? (1,0,1)? ?1,0,1) ? ?1 ? 0 ? 1 ? 0 ,得 CD ? DC1 ; ( 又 DC1 ? C1 B ? C1 ,∴ CD ? 平面 B1C1D.又 CD ? 平面 B1CD,∴平面 B1CD ? 平面 B1C1D. (Ⅱ)设 AD=a,则 D 点坐标为(1,0,a) C ?,1 a )B , D , )( C( 0 2, ,0 2
??? ? ??? ?
1

??? ???? ? ?

??? ???? ?

?



?? ??? ? ?? ?m ? CB1 ? 0 ? x ? az ? 0 ? ?? 设平面 B1CD 的法向量为 m ? ( x, y, z ) . 则由 ? ?? ???? ,令 z= -1, ?2 y ? 2 z ? 0 ?m ? CD ? 0 ?

? ?? m?n 得 m ? (a,1, ?1) ,又平面 C1DC 的法向量为 n ? (0,1, 0) ,则由 cos 60? ? ?? ? ?
| m || n |

?? ?

1 a ?2
2

?

1 , 2

即 a ? 2 ,故 AD ? 2. . 17.解: (Ⅰ)设三角形三内角 A、B、C 对应的三边分别为 a, b, c, ∵ sin B ? cos Asin C ,∴ cos A ? 又由余弦定理有 cos A ?
sin B b ,由正弦定理有 cos A ? , sin C c

b2 ? c 2 ? a 2 b b2 ? c 2 ? a 2 ,∴ ? ,即 a2 ? b2 ? c2 , c 2bc 2bc

所以 ?ABC 为 Rt ?ABC ,且 ?C ? 90? .
??? ???? ??? ???? ? ? ? AB?AC ?| AB || AC | cos A ? 9 又? ? ? 1 ??? ???? ?S?ABC ? | AB || AC | sin A ? 6 2 ?

① ② 令 a=4k, b=3k (k>0)

①÷ ②,得 tan A ? ?
1 2

4 3

a b

则 S?ABC ? ab ? 6 ? k ? 1 ,∴三边长分别为 3,4,5. (Ⅱ)以 C 为坐标原点,射线 CA 为 x 轴正半轴建立直角坐标系,则 A、B 坐标为(3,0)(0,4) , , 直线 AB 方程为 4x ? 3y ? 12 ? 0.
第 37 页 共 38 页

设 P 点坐标为(x, y) ,则由 P 到三边 AB、BC、AB 的距离为 d1, d2 和 d3 可知
d1 ? d2 ? d3 ? x ? y ?
? x ≥ 0, | 4 x ? 3 y ? 12 | x ? 2 y ? 12 ,且 ? y ≥ 0, 故 d1 ? d2 ? d3 ? . ? 5 5 ?4 x ? 3 y ? 12 ≤ 0. ?

令 m ? x ? 2 y ,由线性规划知识可知 0≤m≤8,故 d1+d2+d3 的取值范围是 ? ,4? ?5 ? ? ?
12
2 18.【解】 (Ⅰ)一次摸奖从 n ? 5 个球中任取两个,有 Cn?5 种方法。

1 1 它们是等可能的,其中两个球的颜色不同的方法有 Cn C5 种,

一次摸奖中奖的概率为 p ?

1 1 Cn C5 10n . ? 2 Cn ?5 ? n ? 5 ?? n ? 4 ?

(Ⅱ)设每次摸奖中奖的概率为 p ,三次摸奖中恰有一次中奖的概率是:
1 m ? P3 ?1? ? C3 ? p ? ?1 ? p ? ? 3 p 3 ? 6 p 2 ? 3 p ( 0 ? p ? 1 ). 2

m 对 p 的导数 m? ? 9 p 2 ? 12 p ? 3 ? 3? p ? 1?? 3 p ? 1?
? 1? ?1 ? 因而 m 在 ? 0, ? 上为增函数, m 在 ? ,1? 上为减函数。 ? 3? ?3 ? 10n 1 1 4 ? , n ? 20 时, mmax ? . ∴当 p ? ,即 3 9 ? n ? 5?? n ? 4 ? 3
(Ⅲ)由(Ⅱ)知:记上 0 号的有 10 个红球,从中任取一球,有 20 种取法,它们是等可能的. 故 ? 的分布列是:

?
P

0 1 2

1 1 20

2 1 10

3 3 20

4 1 5

1 1 1 3 1 3 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? . 2 20 10 20 5 2 2 2 2 2 2 3? 1 ? 3? 1 ? 3? 1 ? 3? 3 ? 3 ? 1 11 ? D? ? ? 0 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? 4 ? ? ? ? . 2 ? 2 ? 2 ? 20 ? 2 ? 10 ? 2 ? 20 ? 2? 5 4 ?

第 38 页 共 38 页


赞助商链接

更多相关文章:
高考解答题前三题训练集锦(1991--2003年)
高考解答题前三题训练集锦(1991--2003年) - 解答题专题训练 1、 求函数 y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x 的最小值, 并写出使函数 y 取最小值的 x 的集合. ...
...专题六、语言文字运用综合训练(教师用卷)
语言文字运用综合训练(教师用卷)_语文_高中教育_...⑤①④③⑥②解析:解答此题,可采用两两绑定法。 ...答: 答案:(1)画家坐在三个画架前作画,他的妻子...
三角函数高考题分类训练1-3教师卷
三角函数高考题分类训练1-3教师卷 - 三角函数专题训练(一) 1.已知函数 f ( x) ? sin 2 ? x ? 3 sin ? x sin ? ? x ? (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ...
2014年上海高考数学二模解答题前三题专题(教师版)
2014年上海高考数学二模解答题前三题专题(教师版)_数学_高中教育_教育专区。2014年上海高考数学二模解答题前三题专题(教师版)含详细解答过程 ...
...语文三轮专题体系通关训练填空题押题练E组练习卷(带...
2014届高考语文三轮专题体系通关训练填空题押题练E组练习卷(带解析)F_从业资格...我还记得,放假前我默默地站在她的身边,看她收拾这样那样东西的情景。蔡老师!...
2013广东高考数学文解答题前三题专题训练三角函数
2013广东高考数学文解答题前三题专题训练三角函数 - 七彩教育网 www.7caiedu.cn 教学资源分享平台,无需注册、无需登录即可下载 2013 年广东省高考数学文解答题前...
三年级数学上册试卷讲评教案
五.课堂练习 投影呈现相应的娇正练习,让学生进行...教师谈话:同学们,我们完成了解决问题的单元检测,试卷...(3)纠正错题,展示正确方法。 (三)第三题、第五...
小学科学教师招聘考试真题练习试题卷及参考答案(3)
小学科学教师招聘考试真题练习试题卷及参考答案(3)_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。一、填空题(30 分) 1、 “无心插柳柳成荫” ,插柳就是用 茎 进行...
小学科学教师招聘考试真题练习试题卷及参考答案(3)
小学科学教师招聘考试真题练习试题卷及参考答案(3)_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。小学科学真题卷练习(3)一、填空题(30 分) 1、 “无心插柳柳成荫” ...
人民版高中历史必修三专题六测试题 教师卷
人民版高中历史必修三专题六测试题 教师卷_政史地_高中教育_教育专区。人民版 高中历史 必修三 专题六 《西方人文精神的起源和发展》 ...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图