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高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算教案新人教B版必修1

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3.1.1 实数指数幂及其运算
整体设计 教学分析 在初中, 学生已了解了整数指数幂的概念和运算性质. 从本节开始我们将在回顾平方根 和立方根的基础上,类比出正数的 n 次方根的定义,从而把整数指数推广到分数指数,进而 推广到有理数指数幂, 再推广到无理指数幂, 并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指 数幂. 本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法,如推广的思想 (指数幂运算律的推 广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)等,同时,充分关注与实 际问题的结合,体现数学的应用价值. 根据本节内容的特点, 教学中要注意发挥信息技术的力量, 尽量利用计算器和计算机创 设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持. 三维目标 1.通过与初中所学的知识进行类比,理解分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质. 2.掌握分数指数幂和根式之间的互化,掌握分数指数幂的运算性质.培养学生观察分 析、抽象类比的能力. 3.掌握根式与分数指数幂的互化,渗透“转化”的数学思想.通过运算训练,养成学 生严谨治学、一丝不苟的学习习惯,让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理. 4.能熟练地运用实数指数幂运算性质进行化简、求值,培养学生严谨的思维和科学正 确的计算能力. 重点难点 教学重点: (1)分数指数幂和根式概念的理解. (2)掌握并运用分数指数幂的运算性质. (3)运用实数指数幂性质进行化简、求值. 教学难点: (1)分数指数幂及根式概念的理解. (2)实数指数幂性质的灵活应用. 课时安排 2 课时 教学过程 第 1 课时

导入新课 思路 1.碳 14 测年法. 原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳 14, 并与氧结合成二 氧化碳后进入所有活组织,先为植物吸收,再为动物吸收,只要植物和动物生存着,它们就 会不断地吸收碳 14 在机体内保持一定的水平.而当有机体死亡后,即会停止吸收碳 14,其 组织内的碳 14 便以约 5 730 年的半衰期开始衰变并消失.对于任何含碳物质只要测定剩下 的放射性碳 14 的含量,便可推断其年代(半衰期:经过一定的时间,变为原来的一半).引
1

出本节课题. 思路 2.同学们,我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质,那么整数指数幂是否可 以推广呢?答案是肯定的.这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)整数指数幂的运算性质是什么? (2)观察以下式子,并总结出规律:a>0, 5 10 5 2 5 2 10 ① a = (a ) =a =a ; 5 8 8 4 2 4 ② a = (a ) =a =a ; 2 4 12 4 3 4 3 12 ③ a = (a ) =a =a ; 4 2 10 2 5 2 5 10 ④ a = (a ) =a =a . 2 (3)利用 4 的规律,你能表示下列式子吗? ,m、n∈N+,且 的式子吗?

3 5 5 7 n m 3 5, 7, a, x

(4)你能用方根的意义来解释 (5)你能推广到一般的情形吗?

讨论结果:(1)整数指数幂的运算性质:a =a·a·a·…·a,a =1(a≠0);0 无意义; 1 -n m n m+n m n mn n m mn n n n a = n(a≠0);a ·a =a ;(a ) =a ;(a ) =a ;(ab) =a b .其中 n、m∈N+. a (2)①a 是 a 的 5 次方根;②a 是 a 的 2 次方根;③a 是 a 的 4 次方根;④a 是 a 的 10 8 12 10 5 10 4 12 2 10 8 2 次方根.实质上① a =a ,② a =a ,③ a =a ,④ a =a 结果的 a 的指数是 5 2 4 2 10 8 12 10 2,4,3,5 分别写成了 , , , ,形式上变了,本质没变. 5 2 4 2 根据 4 个式子的最后结果可以总结: 当根式的被开方数的指数能被根指数整除时, 根式 可以写成分数作为指数的形式(分数指数幂形式). 3 3 5 5 5 7 7 n m m 4 3 (3)利用(2)的规律, 5 =5 , 7 =7 , a =a , x =x . 4 3 5 n 3 5 5 7 7 m m 3 (4)5 的四次方根是 5 ,7 的三次方根是 7 ,a 的五次方根是 a ,x 的 n 次方根是 x . 4 3 5 n 结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的. m m n m n m m (5)如果 a>0,那么 a 的 n 次方根可表示为 a =a ,即 a = a (a>0,m,n∈N+,n n n
2 10 4 8 3 12 5 10

n

0

0

2

>1). 综上所述,我们得到正数的正分数指数幂的意义,教师板书: m n m 规定:正数的正分数指数幂的意义是 a = a (a>0,m,n∈N+,n>1). n 提出问题 ①负整数指数幂的意义是怎样规定的? ②你能得出负分数指数幂的意义吗? ③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义? ④综合上述,如何规定分数指数幂的意义? ⑤分数指数幂的意义中,为什么规定 a>0,去掉这个规定会产生什么样的后果? ⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理指数, 那么整数指数幂的运算性质是否也 适用于有理指数幂呢? 1 -n 讨论结果:①负整数指数幂的意义是:a = n(a≠0,n∈N+). a ②既然负整数指数幂的意义是这样规定的, 类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的 负分数指数幂的意义. m 1 1 规定:正数的负分数指数幂的意义是 a- = = (a>0,m、n∈N+,n>1). n m n m a a n ③规定:零的分数指数幂的意义是:零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意 义. ④教师板书分数指数幂的意义.分数指数幂的意义就是: n m 有时我们把正分数指数幂写成根式,即 a = a (a>0,m、n∈N+),正数的正分数指 数幂的意义是 a = a (a>0,m、n∈N+,n>1),正数的负分数指数幂的意义是 a
m

m n

m n

n



m n

1 = m a n

= n

1 a
m

(a>0,m、n∈N+,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.

⑤若没有 a>0 这个条件会怎样呢? 3 6 如 (- 1) 3 = -1=-1, (- 1) 6 =
1 2



2

=1 具有同样意义的两个式子出现了截然

不同的结果, 这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的. 因此在把根式化成分数指数 2 3 2 时,切记要使底数大于零,如无 a>0 的条件,比如式子 a =|a| ,同时负数开奇次方是 3 有意义的,负数开奇次方时,应把负号移到根式的外边,然后再按规定化成分数指数幂,也 就是说, 负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数, 而不是负数, 负数只是出现在指数上. ⑥规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理指数. 有理指数幂的运算性质:对任意的有理数 r,s,均有下面的运算性质: r s r+s (1)a ·a =a (a>0,r,s∈Q),

3

(2)(a ) =a (a>0,r,s∈Q), r r r (3)(a·b) =a b (a>0,b>0,r∈Q). 应用示例 思路 1
2

r s

rs

例 1 求值:(1) 8 3 ;(2) 25

1 - 2

1 -5 16 - ;(3)( ) ;(4) ( ) 4 . 2 81

3

活动:教师引导学生考虑解题的方法,利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式, 1 16 2 4 3, 2 -1 根据题目要求,把底数写成幂的形式,8 写成 2 25 写成 5 , 写成 2 , 写成( ) ,利用 2 81 3 有理数幂的运算性质可以解答,完成后,把自己的答案用投影仪展示出来.
2 2 2 3

解:(1) 8 3 ? (2 3 ) 3 ? 2 (2) 25
- 1 2

3?

? 2 2 ? 4;
1 ? 5-1 ? ; 5
? 32;

? (5 2 )



1 2

?5

1 2?(- ) 2

(3) ( )

1 2

-5

? (2-1 )-5 ? 2-1
3 3

?(-5 )

16 - 2 4?(-4 ) 2 27 (4) ( ) 4 ? ( ) ? ( )-3 ? . 84 3 3 8
点评:本例主要考查指数幂的运算,要按规定来解.在进行指数幂的运算时,要首先考 2 3 2 3 虑转化为指数运算,而不是首先转化为熟悉的根式运算,如 8 = 8 = 64=4. 3 变式训练 3 6 求值:3 3· 3· 3. 1 1 1 1 1 1 3 6 2 解:3 3· 3· 3=3·3 ·3 ·3 =31+ + + =3 =9. 2 3 6 2 3 6

例 2 用分数指数幂的形式表示下列各式的 b. 5 4 5 -5n 3m (1)b =32;(2)b =3 ;(3)b =π (m、n∈N+). 活动:学生观察、思考,根据解题的顺序,先化为根式,把根式化为分数指数幂,再由 幂的运算性质来运算,根式化为分数指数幂时,要由里往外依次进行,把握好运算性质和顺 序,学生讨论交流自己的解题步骤,教师评价学生的解题情况,鼓励学生注意总结. 5 解:(1)b= 32= 325 ; 4 5 (2)b=± 3 =± 3 4 ; (3)b= -5n π =?
3m

1

5



3m 5n

(m,n∈N+).

点评: 利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时, 其顺序是先
4

化为根式,再把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算.对于计算的结果,不强求 统一用什么形式来表示,没有特别要求,就用分数指数幂的形式来表示,但结果不能既有分 数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数. 变式训练 用分数指数幂的形式表示下列各式中的 x. 6 3 2 -3 2 (1)x =5;(2)x =4 ;(3)x =π . 答案:(1)x=± 5 6 ;(2)x= 4 3 ;(3)x= ?
1
2



2 3

思路 2 例 1 计算下列各式: 3 4 (1)( 25- 125)÷ 25;(2) a
2

(a>0). 3
2

a· a

活动: 先由学生观察以上两个式子的特征, 然后分析, 化为同底. 利用分数指数幂计算, 在第(1)小题中,只含有根式,且不是同次根式,比较难计算,但把根式先化为分数指数幂 再计算, 这样就简便多了, 第(2)小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算, 最后写出解答. 解:(1) 原式 ? (25 - 125 ) ? 25 ? (5 -5 ) ? 5
1 3 1 2 1 4 2 3 3 2 1 2

?5

2 1 - 3 2

-5
a
2

3 1 - 2 2

? 5 -5 ? 6 5-5;
a
2

1 6

(2)

= 3
2

a· a

1 2 a ·a 2 3

=a

1 2 2- - 2

5 6 5 = a = a. 3 6

变式训练 求下列各式的值:
4 3 6 (1) 81? 9 3 ;(2)2 3× 1.5× 12. 2

活动:学生观察以上几个式子的特征,既有分数指数幂又有根式,应把根式转化为分数指数 幂后再由运算法则计算,如果根式中根指数不同,也应化成分数指数幂,对(1)应由里往外,
4

81? 9

2 3

? 3 ? (3 ) ,对(2)化为同底的分数指数幂.
4

4

4 3

1 2

5

例 2 计算下列各式的值: 1 3 2 -1 -3 1 7 1 (1)[(a- b ) ·(ab ) ·(b2) ] ; 2 2 3

a ?a (2) ? a-1 1? a

1? a



1 2



1 2



3 2 -3 -4 -1 (3)( a b ) ÷ b a . 活动:先由学生观察以上三个式子的特征,然后交流解题的方法,把根式用分数指数幂 写出,利用指数的运算性质去计算,教师引导学生,强化解题步骤,对(1)先进行积的乘方, 再进行同底数幂的乘法,最后再乘方,或先都乘方,再进行同底数幂的乘法,对(2)把分数 指数化为根式,然后通分化简,对(3)把根式化为分数指数,进行积的乘方,再进行同底数 幂的运算.

变式训练 3 6 比较 5, 11, 123的大小. 活动:学生努力思考,积极交流,教师引导学生解题的思路,由于根指数不同,应化成统一 的根指数,才能进行比较,又因为根指数最大的是 6,所以我们应化为六次根式,然后,只 看被开方数的大小就可以了. 6 3 6 3 6 6 6 6 解:因为 5= 5 = 125, 11= 121,而 125>123>121,所以 125> 123> 121, 6 3 所以 5> 123> 11. 点评:把根指数统一是比较几个根式大小的常用方法.

知能训练 1.(1)下列运算中,正确的是( 2 3 6 A.a ·a =a C.( a-1) =0
0

) B.(-a ) =(-a ) D.(-a ) =-a
2 3 6 2 3 3 2

6

4 4 2n (2)下列各式① (-4) ,② 意义的是( ) A.①② 3 (3)( A.a 4 4 a ) ·(
6 2

-4

2n+1

5 4 4 5 ),③ a ,④ a (各式的 n∈N,a∈R)中,有 C.①②③④ D.①③④

B.①③ 3

a ) 等于(
2

6

2

) C.a
3

B.a

D.a )

4

5 -2 (4)把根式 (a-b) 改写成分数指数幂的形式为( A.(a-b)
2 - 2 - 5 2 -

B.(a-b)
5 -

5 - 2

C.(a 5-b 5)

D.(a 2-b 2) ) D.9a

5 -

2 1 1 1 1 1 5 (5)化简(a3b2)(-3a2b3)÷( a6b6)的结果是( 3

A.6a

B.-a
1 - 3

C.-9a

1 -2 -1 0 2.计算:(1)0.027 3-(- ) +2564-3 +( 2-1) =__________. 7 (2)设 5 =4,5 =2,则 5
x y 2x-y

=__________.
1 1

3.已知 x+y=12,xy=9 且 x<y,求

x 2 -y 2 x ?y
1 2 1 2

的值.

答案:1.(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C 2.(1)19 (2)8

3. 2 2 因为 x+y=12,xy=9,所以(x-y) =(x+y) -4xy=144-36=108=4×27. 又因为 x<y,所以 x-y=-2×3 3=-6 3. 12-6 3 所以原式= =- . 3 -6 3 拓展提升

化简 活动:学生观察式子特点,考虑 x 的指数之间的关系可以得到解题思路,应对原式进行 因式分解,根据本题的特点,注意到:

7

课堂小结 活动:教师:本节课同学们有哪些收获?请把你的学习收获记录在你的笔记本上,同学 们之间相互交流.同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点: n m (1)分数指数幂的意义就是:正数的正分数指数幂的意义是 a n = a (a>0,m、n∈N+, n>1),正数的负分数指数幂的意义是 a
- m n
m

?

1 a
m n

?

1
n

am

(a>0,m、n∈N+,n>1),零的

正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义. (2)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理指数. (3)有理指数幂的运算性质:对任意的有理数 r、s,均有下面的运算性质: r s r+s r s rs r r r ①a ·a =a (a>0,r、s∈Q),②(a ) =a (a>0,r、s∈Q),③(a·b) =a b (a>0, b>0,r∈Q). (4)说明两点: ①分数指数幂的意义是一种规定, 我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性, 其中 没有推出关系. ②整数指数幂的运算性质对任意的有理指数幂也同样适用. 因而分数指数幂与根式可以
m

互化,也可以利用 (a n ) n ? a 作业 课本本节练习 B 2、3.

n?

m n

? a m 来计算.

设计感想 本节课是分数指数幂的意义的引出及应用, 分数指数是指数概念的又一次扩充, 要让学 生反复理解分数指数幂的意义, 教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一 概念的理解,用观察、归纳和类比的方法完成,由于是硬性的规定,没有合理的解释,因此 多安排一些练习,强化训练,巩固知识,要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学 任务. 备课资料 [备选例题]

8

例 1 已知 a ? a

1 2

1 - 2

? 3 ,探究下列各式的值的求法.

点评:对“条件求值”问题,一定要弄清已知与未知的联系,然后采取“整体代换”或 “求值后代换”两种方法求值. 例2 已知 a>0,对于 0≤r≤8,r∈N+,式子( a)
8-r

·(

1 4 a

) 能化为关于 a 的整数指

r

数幂的情形有几种? 活动:学生审题,考虑与本节知识的联系,教师引导解题思路,把根式转化为分数指数 幂后再由运算法则计算,即先把根式转化为分数指数幂,再进行幂的乘方,化为关于 a 的指 数幂的情形,再讨论,及时评价学生的作法.

16-3r 能被 4 整除才行,因此 r=0,4,8 时上式为关于 a 的整数指数幂. 点评:本题中确定整数的指数幂时,可由范围的从小到大依次验证,决定取舍.利用分 数指数幂进行根式运算时,结果可以化为根式形式或保留分数指数幂的形式. (设计者:郝云静) 第 2 课时 导入新课 思路 1.同学们,既然我们把指数从正整数推广到整数,又从整数推广到正分数到负分 数,这样指数就推广到有理数,那么它是否也和数的推广一样,到底有没有无理指数幂呢? 回顾数的扩充过程,自然数到整数,整数到分数(有理数),有理数到实数.并且知道,在有 理数到实数的扩充过程中,增添的数是无理数.对无理指数幂,也是这样扩充而来.既然如 此,我们这节课的主要内容是:教师板书本堂课的课题——无理指数幂. 思路 2.同学们,在初中我们学习了函数的知识,对函数有了一个初步的了解,到了高 中,我们又对函数的概念进行了进一步的学习,有了更深的理解,我们仅仅学了几种简单的 函数,如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等,这些远远不能满足 我们的需要,随着科学的发展,社会的进步,我们还要学习许多函数,其中就有指数函数, 为了学习指数函数的知识,我们必须学习实数指数幂的运算性质,为此,我们必须把指数幂 从有理指数幂扩充到实数指数幂,因此我们本节课学习:无理指数幂.
9

推进新课 新知探究 提出问题 ①我们知道 2=1.414 213 56…,那么 1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…是 2的什 么近似值?而 1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…是 2的什么近似值? ②多媒体显示以下图表:同学们从下面的两个表中,能发现什么样的规律? 2的过剩近似值 1.5 1.42 1.415 1.414 3 1.414 22 1.414 214 1.414 213 6 1.414 213 57 1.414 213 563 … 5 的近似值 11.180 339 89 9.829 635 328 9.750 851 808 9.739 872 62 9.738 618 643 9.738 524 602 9.738 518 332 9.738 517 862 9.738 517 752 …
2

5 的近似值 9.518 269 694 9.672 669 973 9.735 171 039 9.738 305 174 9.738 461 907 9.738 508 928 9.738 516 765 9.738 517 705 9.738 517 736 …

2

2的不足近似值 1.4 1.41 1.414 1.414 2 1.414 21 1.414 213 1.414 213 5 1.414 213 56 1.414 213 562 …

③你能给上述思想起个名字吗? ④一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢?如 5 ,根据你学过的知识,能 作出判断并合理地解释吗? ⑤借助上面的结论你能说出一般性的结论吗? 活动:教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,及时评价学生,学生有 困惑时加以解释,可用多媒体显示辅助内容: 问题①:从近似值的分类来考虑,一方面从大于 2的方向,另一方面从小于 2的方向. 问题②:对图表的观察一方面从上往下看,再一方面从左向右看,注意其关联. 问题③:上述方法实际上是无限接近,最后是逼近. 问题④:对问题给予大胆猜测,从数轴的观点加以解释.
10
2

问题⑤:在③④的基础上,推广到一般的情形,即由特殊到一般. 讨论结果:①1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…,这些数都小于 2,称 2的不足近 似值,而 1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,这些数都大于 2,称 2的过剩近似值. 2 1.5, 1.42, 1.415, 1.414 3, 1.414 22 ②第一个表:从大于 2的方向逼近 2时,5 就从 5 5 5 5 5 ,…,即大 2 2 于 5 的方向逼近 5 . 2 1.4, 1.41, 1.414, 1.414 2, 1.414 21 第二个表:从小于 2的方向逼近 2时,5 就从 5 5 5 5 5 ,…,即小于 2 2 5 的方向逼近 5 . 2 从另一角度来看这个问题,在数轴上近似地表示这些点,数轴上的数字表明一方面 5 1.4, 1.41, 1.414, 1.414 2, 1.414 21 2 2 2 从 5 5 5 5 5 ,…,即小于 5 的方向接近 5 ,而另一方面 5 从 1.5, 1.42, 1.415, 1.414 3, 1.414 22 2 2 5 5 5 5 5 ,…,即大于 5 的方向接近 5 ,可以说从两个方向无限地接近 2 2 2 1.4, 1.41, 1.414, 1.414 2, 1.414 21 5 ,即逼近 5 ,所以 5 是一串有理数指数幂 5 5 5 5 5 ,…和另一串有 1.5, 1.42, 1.415, 1.414 3, 1.414 22 理数指数幂 5 5 5 5 5 ,…,按上述变化规律变化的结果,事实上表示这些数 的点从两个方向向表示 5 的点靠近,但这个点一定在数轴上,由此我们可得到的结论是 2 1.4 1.41 1.414 1.414 2 1.414 21 2 1.414 22 1.414 3 1.415 5 一定是一个实数, 即 5 <5 <5 <5 <5 <…<5 <…<5 <5 <5 1.42 1.5 <5 <5 . 充分表明 5
2 2

1 是一个实数,再如( ) 2
2

3

,3π 等都是实数.

③逼近思想,事实上里面含有极限的思想,这是以后要学的知识. ④根据②③我们可以推断 5 是一个实数,猜测一个正数的无理数次幂是一个实数. ⑤无理指数幂的意义: α 一般地,无理指数幂 a (a>0,α 是无理数)是一个确定的实数. 也就是说无理数可以作为指数, 并且它的结果是一个实数, 这样指数概念又一次得到推 广,在数的扩充过程中,我们知道有理数和无理数统称为实数.我们规定了无理指数幂的意 义,知道它是一个确定的实数,结合前面的有理指数幂,那么,指数幂就从有理指数幂扩充 到实数指数幂. 提出问题 为什么在规定无理指数幂的意义时,必须规定底数是正数? 无理指数幂的运算法则是怎样的?是否与有理指数幂的运算法则相通呢? 你能给出实数指数幂的运算法则吗? 活动: 教师组织学生互助合作, 交流探讨, 引导他们用反例说明问题,注意类比,归纳. 对问题(1)回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定,举例说明. α 对问题(2)结合有理指数幂的运算法则, 既然无理指数幂 a (a>0, α 是无理数)是一个 确定的实数,那么无理指数幂的运算法则应当与有理指数幂的运算法则类似,并且相通. 对问题(3)有了有理指数幂的运算法则和无理指数幂的运算法则,实数的运算法则自然 就得到了. α 讨论结果: (1)底数大于零的必要性, 若 a=-1, 那么 a 是+1 还是-1 就无法确定了, α 这样就造成混乱,规定了底数是正数后,无理指数幂 a 是一个确定的实数,就不会再造成 混乱. (2)因为无理指数幂是一个确定的实数,所以能进行指数的运算,也能进行幂的运算, 有理指数幂的运算性质, 同样也适用于无理指数幂. 类比有理指数幂的运算性质可以得到无 理指数幂的运算法则: r s r+s ①a ·a =a (a>0,r,s 都是无理数). r s rs ②(a ) =a (a>0,r,s 都是无理数).

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③(a·b) =a b (a>0,b>0,r 是无理数). (3)指数幂扩充到实数后,指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂. 实数指数幂的运算性质: 对任意的实数 r,s,均有下面的运算性质: r s r+s ①a ·a =a (a>0,r,s∈R). r s rs ②(a ) =a (a>0,r,s∈R). r r r ③(a·b) =a b (a>0,b>0,r∈R). 应用示例 思路 1 例 1 利用科学计算器计算(精确到 0.001): 0.2 解:
1.52

r

r r

;3.14 ; 3.1 ;5

-2

2 3

2

.

2

所以 0.2

1.52

≈0.087,3.14 ≈0.101, 3.1 3 ≈2.126,5
-2

2

≈9.739.

点评:不同的计算器,按键的功能和位置不一定相同. 变式训练 x 利用科学计算器计算函数值. 已知 f(x)=2.72 , 求 f(-3), f(-2), f(-1), f(1), f(2), f(3)(精确到 0.001). 解:

就可分别得到: 0.135164359,0.367647059,2.72,7.3984,20.123648. 所以 f(-2)≈0.135,f(-1)≈0.368,f(1)≈2.72,f(2)≈7.398,f(3)≈20.124.

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2 化简下列各式:

点评:注意运算性质的应用. 变式训练 化简(式中字母均为正实数): (1)3x
1 2

(2x
α



2

yz); ).

(2)(xα y) (4y

-α

活动:学生观察,思考,所谓化简,即若能化为常数则化为常数,若不能化为常数则应使所 化式子达到最简,对既有分数指数幂又有根式的式子,应该把根式统一化为分数指数幂的形 式,便于运算,教师有针对性地提示引导,对(1)(2)由里向外,要紧扣分数指数幂的意义和 运算性质,并对学生作及时的评价,注意总结解题的方法和规律. 解:(1)3x (2x yz)=(3×2)x yz=6yz; 1 α 1 -α α -α α -α (2)(x y) (4y )=4x ·α ·y ·y =4xy =4x. α α
2 - 2 2- 2

思路 2 例 计算:

活动:学生观察、思考,根式化成分数指数,利用幂的运算性质解题,另外要注意整体 的意识,教师有针对性地提示引导,对(1)根式的运算常常化成幂的运算进行,对(2)充分利 用指数幂的运算法则来进行, 对(3)则要根据单项式乘法和幂的运算法则进行, 对(4)要利用 平方差公式先因式分解,并对学生作及时的评价.

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点评:在指数运算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式. 变式训练 化简下列各式:

(2)(a +a )(a -a )÷[(a +a +1)(a-a )]. 活动:学生观察式子的特点,特别是指数的特点,教师引导学生考虑题目的思路,这两 题要注意分解因式,特别是立方和和立方差公式的应用,对有困难的学生及时提示:对 2 2 3 2 2 (1)考查 x 与 x 的关系可知 x =(x ) ,立方关系就出来了,公式便可运用,对(2)先利用 3 3 平方差,再利用幂的乘方转化为立方差,再分解因式,组织学生讨论交流.

3

-3

3

-3

4

-4

-1

知能训练

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解析:根据本题的特点,注意到它的整体性,特别是指数的规律性,我们可以进行适当 的变形. 1 1 1 1 因为(1+2- )(1-2- )=1-2- ,所以原式的分子、分母同乘(1-2- ), 32 32 16 32 1 -2- 2 1 +2- -1 2 1-2 1 1 -1 = = (1-2- ) . 1 1 2 32 1-2- 1-2- 32 32

依次类推,所以

答案:A

3.计算 a+2 a-1+ a-2 a-1(a≥1). 解:原式= a-1+
2



a-1-

2

= a-1+1+| a-1-1|(a≥1).

本题可以继续向下做,去掉绝对值,作为思考留作课下练习.
- 1 2 n 4.设 a>0,x= ( a n -a n ),则(x+ 1+x ) 的值为__________. 2 1 1

答案:a 拓展提升
?

已知 10 =3,10 =4,求 10

α

β

α +β

,10

α -β

,10

-2α

, 10 5 .

活动:学生思考,观察题目的特点,从整体上看,应利用运算性质,然后再求值,要有 预见性,教师引导学生考虑问题的思路,必要时给予提示. α +β α β 解:10 =10 ×10 =3×4=12;

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10 10

α -β

10 3 = β= ; 10 4

α

-2α

1 α -2 -2 =(10 ) =3 = ; 9
1

?

10 5 =(10β )5=4 .
点评:运用整体思想和运算法则是解决本题的关键,要深刻理解这种做法. 课堂小结 (1)无理指数幂的意义. α 一般地,无理指数幂 a (a>0,α 是无理数)是一个确定的实数. (2)实数指数幂的运算性质: 对任意的实数 r,s,均有下面的运算性质: r s r+s ①a ·a =a (a>0,r,s∈R). r s rs ②(a ) =a (a>0,r,s∈R). r r r ③(a·b) =a b (a>0,b>0,r∈R). (3)逼近的思想,体会无限接近的含义. 作业 课本习题 3-1 A 1. 设计感想 无理指数是指数概念的又一次扩充, 教学中要让学生通过多媒体的演示, 理解无理指数 幂的意义,教学中也可以让学生自己通过实际情况去探索,自己得出结论,加深对概念的理 解,本堂课内容较为抽象,又不能进行推理,只能通过多媒体的教学手段,让学生体会,特 别是逼近的思想、类比的思想,多做练习,提高学生理解问题、分析问题的能力. 备课资料 参照我们说明无理指数幂的意义的过程,请你说明无理指数幂 2 的意义. 2 活动:教师引导学生回顾无理指数幂 5 的意义的过程,利用计算器计算出 3的近似 3 值, 取它的过剩近似值和不足近似值, 根据这些近似值计算 2 的过剩近似值和不足近似值, 3 利用逼近思想,“逼出”2 的意义,学生合作交流,在投影仪上展示自己的探究结果. 解: 3=1.732 050 80…,取它的过剩近似值和不足近似值如下表. 3的过剩近似值 1.8 1.74 1.733 1.732 1 1.732 06 1.732 051 1.732 050 9 1.732 050 81 … 2 的过剩近似值 3.482 202 253 3.340 351 678 3.324 183 446 3.322 110 36 3.322 018 252 3.321 997 529 3.321 997 298 3.321 997 091 …
3 3

1 5

3的不足近似值 1.7 1.73 1.731 1.731 9 1.732 04 1.732 049 1.732 050 7 1.732 050 79 …

2

的不足近似值 3.249 009 585 3.317 278 183 3.319 578 342 3.321 649 849 3.321 972 2 3.321 992 923 3.321 996 838 3.321 997 045 …

3

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我们把用 2 作底数, 3的不足近似值作指数的各个幂排成从小到大的一列数 1 7, 1.73, 1.731, 1.731 9 2. 2 2 2 ,…, 同样把用 2 作底数, 3的过剩近似值作指数的各个幂排成从大到小的一列数: 1 8, 1.74, 1.733, 1.732 1 2. 2 2 2 ,…,不难看出 3的过剩近似值和不足近似值相同的位数越多,即 α 3的近似值精确度越高,以其过剩近似值和不足近似值为指数的幂 2 会越来越趋近于同一 3 1.7 1.73 1.731 1.731 9 3 1.732 1 1.733 1.74 个数, 我们把这个数记为 2 , 即 2 <2 <2 <2 <…<2 <…<2 <2 <2 1.8 3 3 <2 .也就是说 2 是一个实数,2 =3.321 997 …也可以这样解释: 3 3 当 3的过剩近似值从大于 3 的方向逼近 3 时, 2 的近似值从大于 2 的方向逼近 3 2 ; 3 3 当 3的不足近似值从小于 3 的方向逼近 3 时, 2 的近似值从小于 2 的方向逼近 3 2 . 3 1.7, 1.73, 1.731, 1.731 9 所以 2 就是一串有理指数幂 2 2 2 2 ,…和另一串有理指数幂 1.8, 1.74, 1.733, 1.732 1 3 2 2 2 2 ,…,按上述规律变化的结果,即 2 ≈3.321 997.

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