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2013高一数学必修1教师用书:第三章 §3 指数函数 第一课时 指数函数的概念及图像和性质(北师大版)_图文

知识点一

理解教材新知

第 三 章 指 数 函 数 和 对 数 函 数

知识点二

第一 课时

§3 指 数 函 数

指数 函数 的概 念及 图像 和性 质

考点一

把握热点考向

考点二 考点三

应用创新演练

据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我
国发展前景分析》判断,未来20年,我国GDP(国内生产 总值)年平均增长率可望达到7.3%. 问题1:2004年我国的GDP可望是2000年的多少倍? 提示:(1+7.3%)4倍. 问题2:记x年后,我国的GDP是2000年的y倍,x与y 的关系式是什么?

提示:y=(1+7.3%)x=1.073x(x∈N+,0<x≤20).

x 函数 y=a

叫作指数函数,自变量x在指数位

置上,底数a是一个大于0且不等于1的常量,函数的 定义域是实数集R.

对于给定的指数函数y=ax(a>0,且a≠1).
问题1:根据指数幂的运算,当x>0时,ax的取值情况怎样? 提示:若x>0,当a>1时,ax>1,当0<a<1时,0<ax<1. 问题2:在a>1或0<a<1时,ax是增加还是减少? 提示:a>1时,ax是增加的,0<a<1时,ax是减少的.

问题3:当x=0时,y的值是多少?这说明图像的什么特点?
提示:x=0时,y=1,说明图像过定点(0,1).

指数函数y=ax(a>0,a≠1,x∈R)的图像与性质

a>1

0<a<1

图像

a>1 定义域 R (0,+∞)

0<a<1

值域
定点 性

过点(0,1),即x=0时,y=1

; x<0时,0<y<1 质 的变化 x>0时,0<y<1; x<0时, y>1 单调性 是R上的 增函数 是R上的 减函数

函数值 x>0时, y>1

1.指数函数y=ax的底数规定大于零且不等1的理由:
?当x>0时,ax恒等于0; ? 如果a=0,? ?当x≤0时,ax无意义. ?

1 1 如果a<0,如y=(-4) ,当x=4、2等时,在实数范围内
x

函数值不存在. 如果a=1,y=1x=1,是一个常量,对它就没有研究的 必要.为了避免上述各种情况,所以规定a>0且a≠1.

2.对指数函数图像与性质的理解:

(1)底数a的取值范围确定函数的单调性;
(2)底数变化决定指数函数图像的变化: 指数函数y=ax的图像如右图所示, 由指数函数y=ax的图像与x=1 相交于点(1,a)可知:

①在y轴右侧,图像从上到下相应的底数由大变小;
②在y轴左侧,图像从下到上相应的底数由大变小. 图中的底数的大小关系为0<a4<a3<1<a2<a1.

[例1]

指出下列函数哪些是指数函数:

(1)y=3x;(2)y=x2; (3)y=-3x;(4)y=(-3)x; (5)y=πx;(6)y=(4x)2; 1 2 (7)y=x ;(8)y=(6a-3) (a>2,且a≠3).
x x

[思路点拨]

根据指数函数定义判断.

[精解详析]

(1)、(5)、(8)为指数函数.

(2)底数不是常数,故不是指数函数;

(3)是-1与指数函数3x的乘积;
(4)中底数-3<0,故不是指数函数; (6)中指数不是自变量x,而是x的函数; (7)中底数x不是常数,它们都不符合指数函数的定义. [一点通] 判断一个函数是否为指数函数,①底数要

大于零且不等于1;②幂指数是自变量x;③系数为1,只是
y=ax(a>0,a≠1,x∈R)这样的形式.

1.下列函数中: ①y=2· 2) ;②y=2 ( ④y=3
1 -x

x

x- 1

πx ;③y=(2) ;

;⑤y=x .

1 3

是指数函数的是________(填序号).

解析:①中指数式的系数不为1;②中y=2

x-1

1 x = 2 · 的系 2

数亦不为1;④中自变量不为x;⑤中的指数为常数且底 数不是唯一确定的值.

答案:③

2.若函数y=(a2-3a+3)·x是指数函数,求a的值. a
解:由指数函数的定义知
?a2-3a+3=1 ? ? ?a>0且a≠1 ② ?



由①得a=1或2,结合②得a=2.

[例 2] (1)y= 2

求下列函数的定义域和值域:
1 x? 4



1 2x-x2 (2)y=(2) ; (3)y=5
3x-2

. 函数的定义域是使函数有意义的自变量的

[思路点拨]

取值范围,分式问题要使分母不为 0,根式问题要使被开方数 有意义,结合换元法,联想函数的图像,根据单调性等确定 值域.

[精解详析] ∴x≠4,

(1)要使函数有意义,必须 x-4≠0,

故所求函数的定义域为{x∈R|x≠4}. 1 ∵x≠4, ≠0, x-4 ∴2
1 x? 4

≠1,

故函数的值域为{y|y>0,且 y≠1};

(2)定义域为 R. ∵2x-x2=-(x-1)2+1≤1, 1 2x-x2 1 1 1 ∴(2) ≥(2) =2. 1 2x-x2 1 故函数 y=(2) 的值域为{y|y≥2};

2 (3)要使函数有意义,必须且只需3x-2≥0,即x≥3,
?2 ? ∴函数的定义域为?3,+∞?. ? ?

设t= 3x-2,则t≥0,y=5t, ∴y≥50=1. 1,+∞???. ∴所求函数的值域为
? ? ?

[一点通]

求与指数函数有关的函数定义域和值域时,

要充分考虑指数函数本身的要求,并利用好指数函数的

单调性.对于解析式较复杂的函数,往往采用换元法求
解,这样可以使问题变得简洁,避免出错.

3.函数 y= 2-x2+2

x-1

的定义域是

(

)

A.{x|- 2≤x≤ 2} C.{x|x≥1}
解析:x 满足
?2-x2≥0? - 2≤x≤ ? ? ?x-1≥0? x≥1. ?

B.{x|1≤x≤ 2} D.R

2,

∴1≤x≤

2.

答案:B

1 - 2 -8x+1 4.求函数 y=(3) (-3≤x≤1)的值域. 解:令 t=-2x2-8x+1,
x2

1t 则 y=(3) , 又 t=-2x2-8x+1 =-2(x2+4x)+1 =-2(x+2)2+9, -3≤x≤1,

∴当x=-2时,tmax=9, 当x=1时,tmin=-9, 故-9≤t≤9, 19 1 -9 ∴(3) ≤y≤(3) , 即3-9≤y≤39, 故所求函数值域为[3-9,39].

[例 3]

比较下列各组数的大小: 1;

?3?-1.8 ?3?-2.6 5 -2 (1)?4? 与?4? ;(2)(8) 3 与 ? ? ? ?
-2

4 -2 1 0.3 3 (3)0.6 与(3) ;(4)(3) 与 3-0.2. [思路点拨] (1),(2),(4)利用指数函数的单调性比

较;(3)利用中间值 1 比较.

[精解详析]

3 3x (1)0<4<1,y=(4) 在定义域 R 内是减函数.

又∵-1.8>-2.6, 3 3 ∴(4)-1.8<(4)-2.6; 5 5x (2)∵0<8<1,∵y=(8) 在定义域 R 内是减函数. 2 5 -2 5 0 5 -2 又∵-3<0,∴(8) 3 >(8) =1,∴(8) 3 >1;

4 -2 4 0 (3)∵0.6 >0.6 =1,(3) 3 <(3) =1,
-2

0

4 -2 ∴0.6 >(3) 3 ;
-2

1 0.3 (4)∵(3) =3-0.3, 又∵-0.3<-0.2,∴3-0.3<3-0.2, 1 0.3 -0.2 ∴(3) <3 .

[一点通] 比较指数式大小的方法

(1)单调性法:比较同底数幂的大小,可构造指数函数,
利用指数函数的单调性比较大小.要注意:明确所给的两个 值是哪个指数函数的两个函数值;明确指数函数的底数与1 的大小关系;最后根据指数函数的图像和性质来判断. (2)中间量法:比较不同底数且不同指数幂的大小,常

借助于中间值1进行比较.利用口诀“同大异小”,判断指数
幂和1的大小.

5.设y1=4 ,y2=8 A.y3>y1>y2 C.y1>y2>y3

0.9

0.48

1 -1.5 ,y3=(2) ,则 B.y2>y1>y3 D.y1>y3>y2

(

)

解析:40.9=21.8,80.48=21.44, 1 -1.5 (2) =21.5, 根据y=2x在R上是增函数, 所以21.8>21.5>21.44,即y1>y3>y2.

答案:D

6.比较下列各题两个值的大小: (1)0.90.1,0.90.2; 1 -π (2)(π) ,1; (3)2.3
-0.28,

0.67

-3.1

.

解:(1)0.90.1,0.90.2可看作函数y=0.9x的两个函数值, 由于底数0.9<1, 所以指数函数y=0.9x在R上是减函数, 因为0.1<0.2,

所以0.90.1>0.90.2;

1x (2)考察函数y=(π) , 1 ∵0<π<1, 1x ∴函数y=(π) 在(-∞,+∞)上是减函数. 又-π<0, 1 -π 1 0 ∴(π) >(π) =1; (3)由指数函数的性质,知 2.3-0.28<2.30=1,0.67-3.1>0.670=1, 所以2.3-0.28<0.67-3.1.

1.在指数函数定义中y=ax具备的特点:

2.对于函数y=af(x). 定义域:使f(x)有意义的x的取值范围. 值域:分两步求得:第一步求u=f(x)的值域. 第二步利用y=au的单调性求得此函数的值域.

3.比较幂的大小的常用方法: (1)对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较, 可以利用指数函数的单调性来判断. (2)对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,

可以利用指数函数图像的变化规律来判断.
(3)对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较, 可先化为同底的两个幂,或者通过中间值来比较.

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