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正弦余弦定理习题课1


正弦余弦定理 习题课

教学目标
掌握定理的运用 ? 理解定理的互换使用
?

教学方法
展示法 ? 讲解法
?

一、复习
a b c 1.正弦定理: sin A ? sin B ? sin C ? 2 R

(其中:R为△ABC的外接圆半径)

2.三角形面积公式: 1 1 1 S?ABC ? bc sin A ? ca sin B ? ab sin C 2 2 2 3.正弦定理的变形: a ? 2 R sin A, b ? 2 R sin B, c ? 2 R sin C a?b?c ? 2R sin A ? sin B ? sin C
a b c sin A ? ,sin B ? ,sin C ? 2R 2R 2R

sin A : sin B : sin C ? a : b : c

一、复习 4.余弦定理及其推论:

b2 ? c 2 ? a 2 cos A ? 2 2 2 2bc a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 c ? a ? b 2 2 2 b ? a ? c ? 2ac cos B cos B ? 2ca 2 2 2 2 2 2 a ? b ? c c ? a ? b ? 2ab cos C cos C ? 2ab 5.在△ABC中,常见公式有:A ? B ? C ? ?

sin( A ? B ) ? sin C cos( A ? B ) ? ? cos C

解三角形的四种基本类型: 已知条件
一边和二角 (如a,B,C) 两边和夹角 (如a,b,C) 两边和其中 一边的对角 (如a,b,A) 三边(a,b,c)

定理选用
正弦定理

一般解法
由A+B+C=180°求角A,由正 弦定理求出b与c

由余弦定理求出第三边c,再 余弦定理 由正弦定理求出剩下的角 由正弦定理求出角B,再求角C, 正弦定理 最后求出 c边.可有两解,一解 或无解.

先由余弦定理求出其中两个 余弦定理 角,再利用内角和为180°求出 第三个角.

二、例题讲解

例1.已知△ABC的三条边长的比为1:2: 7,求该 三角形的最大内角. 解:依题意可设该三角形三条边分别为

a ? k , b ? 2k , c ? 7k ,(k ? 0)
则角C为最大内角 a 2 ? b2 ? c 2 k 2 ? (2k )2 ? ( 7k )2 1 ? cos C ? ? ?? 2ab 2k ? 2k 2 又∵0o<C<180o
∴C=120o

变式.在△ABC中,若sinA:sinB:sinC=1:2: 7 ,求该三 角形的最大内角. 120o

二、例题讲解 余弦定理:a

? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 b ? a ? c ? 2ac cos B 2 2 2 c ? a ? b ? 2ab cos C
2 2 2

例2.已知在△ABC中,a=8,b=7,B=60o,求c.
解:由余弦定理得

练习.已知在△ABC中,a=1,b=

,B=60o,求c。3

三、新课讲解 利用余弦定理可判断三角形的形状. 由a2=b2+c2-2bccosA可得 (1)若A为直角,则a? = b? +c?

(2)若A为锐角,则a? < b? +c?
(3)若A为钝角,则a? > b? +c?

练习: 1.在?ABC中,已知a ? 7,b ? 10,c ? 6,试判断?ABC 钝角三角形 的形状 .
2.在锐角三角形三条边的长度分别为2、3、x,试求x 的取值范围. ( 5, 13) 变式:若该三角形是钝角三角形呢? (1, 5,) ? ( 13,5)

练习

2 3 4 3 sin C 3 ,b ? , ? 1.在△ABC中,已知 a ? ,则 3 3 sin B 2 △ABC中的最小内角的度数是( C)
D.15? 1 2.△ABC的两边长为2,3,其夹角的余弦为 ,则其外 3 接圆的半径为( ) A.60? B.45? C.30?

C

9 2 A. 2

9 2 B. 4

9 2 C. 8

2 2 D. 9

3.在△ABC中,若A=120? ,c=5,b=3,则sinBsinC =( A )
45 A. 196 35 B. 196 25 C. 196 45 D. 98

2 4.在△ABC, ∠B=30o,AB= 2 3 ,面积S= 3 ,则AC=______.

二、练习 1.在 ⊿ABC中,内角A、B、C对边的边长分别 ? 是 a、b、c已知 c=2,C= .
3

(Ⅰ)若⊿ABC的面积等于 3,求 a、b; (Ⅱ)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A,求 ⊿ABC的面积.

解: (1) ? △ABC的面积为 3 1 即 S ? ab sin c= 3 ? ab=4 2 2 2 由余弦定理及条件可得:a ? b ? ab ? 4 ?a 2 ? b2 ? ab ? 4, 联立方程组 ? 解得a=2,b=2 ?ab ? 4,

练习 1.在 ⊿ABC中,内角A、B、C对边的边长分别 ? 是 a、b、c已知 c=2,C= .
3

(Ⅰ)若⊿ABC的面积等于 3,求 a、b; (Ⅱ)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A,求 ⊿ABC的面积.

解:(2)?sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A ? sin B cos A ? 2sin A cos A ? ? 4 3 2 3
当cos A ? 0时,A= ,B ? ,a ? ,b ? 2 6 3 3 1 2 3 ?△ ABC的面积为S ? ab sin C ? 2 3

练习 1.在 ⊿ABC中,内角A、B、C对边的边长分别 ? 是 a、b、c已知 c=2,C= .
3

(Ⅰ)若⊿ABC的面积等于 3,求 a、b; (Ⅱ)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A,求 ⊿ABC的面积.

解:(2)?sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A ? sin B cos A ? 2sin A cos A 当cos A ? 0时, 可得 sin B ? 2sin A

? b ? 2a
?a 2 ? b2 ? ab ? 4, 2 3 4 3 联立方程组 ? 解得a= ,b= 3 3 ?b ? 2a, 1 2 3 ?△ ABC的面积为S ? ab sin C ? 2 3

(2009 浙江理)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别

? ???? A 2 5 ??? 为 a, b, c ,且满足 cos 2 ? 5 , AB ? AC ? 3 .
(I)求 ?ABC 的面积; (II)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值.

(2009 浙江理)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别

? ???? A 2 5 ??? 为 a, b, c ,且满足 cos 2 ? 5 , AB ? AC ? 3 .
(I)求 ?ABC 的面积; (II)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值.

四、小结

b2 ? c 2 ? a 2 cos A ? 2 2 2 2bc a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 c ? a ? b 2 2 2 cos B ? b ? a ? c ? 2ac cos B 2ca 2 2 2 2 2 2 a ? b ? c c ? a ? b ? 2ab cos C cos C ? 2ab 利用余弦定理判断三角形的形状:
(1)若A为直角,则a? = b? +c?
(2)若A为锐角,则a? < b? +c?

余弦定理及其推论:

(3)若A为钝角,则a? > b? +c?

五、作业 1. (2009 天津卷理)在⊿ABC 中,BC= 5 ,AC=3,

sinC=2sinA (I) 求 AB 的值:
?? ? 2 A ? (II) 求 sin ? ? 的值 4 ? ?

(2009 浙江理)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别 2.

? ???? A 2 5 ??? 为 a, b, c ,且满足 cos 2 ? 5 , AB ? AC ? 3 .
(I)求 ?ABC 的面积; (II)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值.


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