9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> >>

高考数学概念.方法.题型.易误点及应试技巧总结[二]函数


概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结(二)





1.映射 f : A ? B 的概念。在理解映射概念时要注意:⑴A 中元素必须都有象且唯一; ⑵B 中元素不一定都有原象,但原象不一定唯一。如(1)设 f : M ? N 是集合 M 到 N 的 映射,下列说法正确的是 A、 M 中每一个元素在 N 中必有象 B、 N 中每一个元素在 C、 N 中每一个元素在 M 中的原象是唯一的 D、 N 是 M 中所在元 M 中必有原象 素的象的集合(答:A) ; (2)点 ( a, b) 在映射 f 的作用下的象是 (a ? b, a ? b) ,则在 f 作 用下点 (3,1) 的原象为点________(答: (2,-1) ) ; (3)若 A ? {1,2,3,4} , B ? {a, b, c} , 则 A 到 B 的映射有 个, 个 (答: a, b, c ? R , B 到 A 的映射有 个,A 到 B 的函数有 81,64,81) ; (4)设集合 M ? {?1,0,1}, N ? {1, 2,3, 4,5} ,映射 f : M ? N 满足条件“对任 2 意的 x ? M , x ? f ( x) 是奇数” ,这样的映射 f 有____个(答:12) ; (5)设 f : x ? x 是 集合 A 到集合 B 的映射,若 B={1,2},则 A ? B 一定是_____(答: ? 或{1}). 2.函数 f : A ? B 是特殊的映射。特殊在定义域 A 和值域 B 都是非空数集!据此可知函 数图像与 x 轴的垂线至多有一个公共点, 但与 y 轴垂线的公共点可能没有, 也可能有任意个。 如(1)已知函数 f ( x) , x ? F ,那么集合 {( x, y) | y ? f ( x), x ? F} {( x, y) | x ? 1} 中所 1 2 含元素的个数有 个(答: 0 或 1) ; (2)若函数 y ? x ? 2 x ? 4 的定义域、值域都 2 是闭区间 [2,2b] ,则 b = (答:2) 3. 同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域,值域和对应法则。而值域可由定义 域和对应法则唯一确定,因此当两个函数的定义域和对应法则相同时,它们一定为同一函 数。如若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“天一函 数” ,那么解析式为 y ? x ,值域为{4,1}的“天一函数”共有______个(答:9)
2

4. 求函数定义域的常用方法(在研究函数问题时要树立定义域优先的原则) : ( 1 )根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零,分母不能为零,对数 loga x 中

x ? 0, a ? 0 且 a ? 1 ,三角形中 0 ? A ? ? , 最大角 ?

? ? ,最小角 ? 等。 如( 1 ) 函数 3 3
kx ? 7 kx ? 4kx ? 3
2

y?

x ?4 ? x? lg ? x ? 3?
2

的定义域是____(答:(0, 2)

(2)若函数 y ? (2,3) (3, 4) );

? 3? (3) 函数 f ( x) 的定义域是 [a, b] ,b ? ?a ? 0 , ? ); ? 4? 则 函 数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) 的 定 义 域 是 __________( 答 : [a ,?a ]) ; (4)设函数 2 f ( x) ? lg(ax ? 2 x ? 1) ,①若 f ( x) 的定义域是 R,求实数 a 的取值范围;②若 f ( x) 的值 域是 R,求实数 a 的取值范围(答:① a ? 1 ;② 0 ? a ? 1 )
的定义域为 R, 则 k ? _______(答:? 0, (2)根据实际问题的要求确定自变量的范围。 (3)复合函数的定义域:若已知 f ( x) 的定义域为 [a, b] ,其复合函数 f [ g ( x)] 的定义域 由不等式 a ? g ( x) ? b 解出即可;若已知 f [ g ( x)] 的定义域为 [a, b] ,求 f ( x) 的定义域,相 当于当 x ? [a, b] 时,求 g ( x) 的值域(即 f ( x) 的定义域) 。如(1)若函数 y ? f ( x) 的定义 域为 ? ,2? ,则 f (log 2 x) 的定义域为 __________ (答: x | 2

?1 ? 2?x?4 ) ; ( 2 ) 若函数 ? ? f ( x 2 ? 1) 的定义域为 [?2,1) ,则函数 f ( x) 的定义域为________(答:[1,5]) .
1

?

?

5.求函数值域(最值)的方法: (1) 配方法――二次函数 (二次函数在给出区间上的最值有两类: 一是求闭区间 [m, n] 上的最值;二是求区间定(动) ,对称轴动(定)的最值问题。求二次函数的最值问题,勿 忘数形结合, 注意 “两看” : 一看开口方向; 二看对称轴与所给区间的相对位置关系) , 如 (1) 求 函 数 y ? x ? 2 x ? 5, x ? [?1, 2] 的 值 域 ( 答 : [4,8] ) ; ( 2 ) 当 x ? (0,2] 时 , 函 数
2

1 f ( x) ? ax 2 ? 4(a ? 1) x ? 3 在 x ? 2 时取得最大值,则 a 的取值范围是___(答:a ? ? ) ; 2 x ?b ?1 2 ?1 2 (3)已知 f ( x) ? 3 (2 ? x ? 4) 的图象过点(2,1) ,则 F ( x) ? [ f ( x)] ? f ( x ) 的值域
为______(答:[2, 5]) (2)换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数,其函数特征 是函数解析式含有根式或三角函数公式模型, 如 (1)y ? 2sin x ? 3cos x ? 1 的值域为_____
2

(答: [?4,

; (3) y ?n 的 i s xo c s ? n i s xo c s? x x t ? 0 。运用换元法时,要特别要注意新元 t 的范围) 1 [1,3 2 ? 4] ) 值域为____ (答: ; (4)y ? x ? 4 ? 9 ? x2 的值域为____ (答: ; [?1, ? 2] ) 2 (3)函数有界性法――直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来 确定所求函数的值域,最常用的就是三角函数的有界性, 如 求函数 y ?

17 x ?1 ? x ? 1 ; (2) y ? 2 ]) 8

的值域为_____(答: (3, ??) ) (令 x ? 1 ? t ,

2 sin? ? 1 , 1 ? sin?

3x 2sin ? ? 1 1 3 y? ,y? 的值域(答: (??, ] 、 (0,1) 、 (?? ; ,] ) x 1? 3 1 ? cos ? 2 2
(4)单调性法――利用一次函数,反比例函数,指数函数,对数函数等函数的单调性,

1 9 , y ? 2x?5 ? log3 x ?1 的值域为______ (1 ? x ? 9) , y ? sin 2 x ? x 1 ? sin 2 x 80 11 (答: (0, ) 、 [ ,9] 、 [2,10] ) ; 9 2
如求 y ? x ? (5)数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离、直线斜率、 等等, 如( 1 ) 已知点 P( x, y ) 在圆 x ? y ? 1 上,求
2 2

y 及 y ? 2 x 的取值范围(答: x?2

[?

3 3 2 2 , ] 、[ ? 5, 5] ) ; (2)求函数 y ? ( x ? 2) ? ( x ? 8) 的值域(答:[10, ??) ) ; 3 3

(3)求函数 y ?

x2 ? 6x ? 13 ? x2 ? 4x ? 5 及 y ? x2 ? 6x ? 13 ? x2 ? 4x ? 5 的值域

(答: [ 43, ?? ) 、 (? 26, 26) )注意:求两点距离之和时,要将函数式变形,使两定 点在 x 轴的两侧,而求两点距离之差时,则要使两定点在 x 轴的同侧。 (6)判别式法――对分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型 有时也可以用其它方法进行求解,不必拘泥在判别式法上,也可先通过部分分式后,再利用 均值不等式:

b 3 3 型,可直接用不等式性质,如求 y ? 的值域(答: (0, ] ) 2 2 k?x 2? x 2 bx x ②y? 2 型,先化简,再用均值不等式,如(1)求 y ? 的值域(答: x ? mx ? n 1 ? x2 x?2 1 1 (??, ] ) ; (2)求函数 y ? 的值域(答: [0, ] ) x?3 2 2
①y?

2

x 2 ? m?x ? n? mx 2 ? 8 x ? n y ? log 型,通常用判别式法; 如 已知函数 的定义域 3 x 2 ? mx ? n x2 ? 1 为 R,值域为[0,2],求常数 m, n 的值(答: m ? n ? 5 ) x 2 ? m?x ? n? x2 ? x ? 1 ④y? 型, 可用判别式法或均值不等式法, 如求 y ? 的值域 (答: mx ? n x ?1 (??, ?3] [1, ??) )
③y? (7)不等式法――利用基本不等式 a ? b ? 2 ab (a, b ? R ? ) 求函数的最值,其题型特 征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添 项和两边平方等技巧。 如设 x, a1 , a2 , y 成等差数列,x, b1 , b2 , y 成等比数列, 则 取值范围是____________.(答: (??, 0] [4, ??) ) 。
3

(a1 ? a 2 ) 2 的 b1b2
2

( 8 ) 导数法 ――一般适用于高次多项式函数, 如 求函数 f ( x) ? 2 x ? 4 x ? 40 x , (答:-48) x ?[?3,3] 的最小值。 提醒: (1)求函数的定义域、值域时,你按要求写成集合形式了吗?(2)函数的最值 与值域之间有何关系? 6.分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上,分别用几个不同的式子来表 示对应关系的函数,它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值 f ( x0 ) 时,一定首先要判断

x0 属于定义域的哪个子集,然后再代相应的关系式;分段函数的值域应是其定义域内不同
子集上各关系式的取值范围的并集 。如( 1 ) 设函数 f ( x ) ? ?
2 ? ?( x ? 1) .( x ? 1)

? ?4 ? x ? 1.( x ? 1) ) ; (2)已知 f ( x) ? 1 的 自 变 量 x 的 取 值 范 围 是 __________ ( 答 : (??, ?2 ] [ 0, 1 0 ] (x ? 0) ?1   3 , 则不等式 x ? ( x ? 2) f ( x ? 2) ? 5 的解集是________ (答:(??, ] ) f ( x) ? ? 2 ( x ? 0) ??1  
7.求函数解析式的常用方法: (1)待定系数法 ――已知所求函数的类型(二次函数的表达形式有三种:一般式:

,则使得

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c ;顶点式: f ( x) ? a( x ? m) 2 ? n ;零点式: f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) , 要会根据已知条件的特点,灵活地选用二次函数的表达形式) 。如已知 f ( x) 为二次函数,
且 f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) , 且 f(0)=1,图象在 x 轴上截得的线段长为 2 2 ,求 f ( x) 的解析 式 。(答: f ( x) ?

1 2 x ? 2x ?1 ) 2

(2)代换(配凑)法――已知形如 f ( g ( x)) 的表达式,求 f ( x) 的表达式。如(1)已
2 知 f (1 ? cos x) ? sin x, 求 f x

? ? 的解析式(答: f ( x ) ? ? x
2
2

4

? 2 x 2 , x ? [ ? 2, 2] ) ; (2)

1 2 ,则函数 f ( x ? 1) =_____(答: x ? 2 x ? 3 ) ; (3)若函数 f ( x) 是 2 x 定义在 R 上的奇函数,且当 x ? (0,??) 时, f ( x) ? x (1 ? 3 x ) ,那么当 x ? (??,0) 时,
若 f (x ? ) ? x ?
2

1 x

f ( x) =________(答: x(1 ? 3 x ) ). 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性, 即 f ( x) 的定义域应是 g ( x) 的值域。 (3)方程的思想――已知条件是含有 f ( x) 及另外一个函数的等式,可抓住等式的特 征 对等 式的 进行赋 值,从 而得 到关 于 f ( x) 及另 外一个 函数 的方 程组。 如 ( 1 ) 已 知 2 f ( x) ? 2 f (? x ) ? 3x ? 2 ,求 f ( x) 的解析式(答: f ( x) ? ?3x ? ) ; (2)已知 f ( x) 是奇 3

3

函数, g ( x) 是偶函数,且 f ( x) + g ( x) =

1 ,则 f ( x ) = x ?1

__(答:

x )。 x ?1
2

8. 反函数: (1)存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个 y 值,都有唯一的 x 值与之对 应,故单调函数一定存在反函数,但反之不成立;偶函数只有 f ( x) ? 0( x ?{0}) 有反函数; 周期函数一定不存在反函数。如函数 y ? x ? 2ax ? 3 在区间[1, 2]上存在反函数的充要条
2

件是 A、a ? ? ??,1? D)

B、a ?? 2, ???

C、a ?[1, 2]

D、a ? ? ??,1?

?2, ???

(答:

(2)求反函数的步骤:①反求 x ;②互换 x 、 y ;③注明反函数的定义域(原来函数 的值域) 。 注意 函数 y ? f ( x ? 1) 的反函数不是 y ? f ?1 ( x ? 1) ,而是 y ? f ?1 ( x) ? 1 。 如 设
f ( x) ? ( x ?1 2 ) ( x ? 0) .求 f ( x) 的反函数 f x
?1

( x) (答: f

?1

( x) ?

1 ( x ? 1) ) . x ?1
?1

(3)反函数的性质: ①反函数的定义域是原来函数的值域, 反函数的值域是原来函数的定义域。 如单调递增 函数 f ( x) 满足条件 f (ax ? 3) = x ,其中 a ≠ 0 ,若 f ( x) 的反函数 f

( x ) 的定义域为

?1 4? , ,则 f ( x) 的定义域是____________(答:[4,7]). ? ?a a? ? ?1 ②函数 y ? f ( x) 的图象与其反函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称,注意函数 y ? f ( x) 的图象与 x ? f ?1 ( y ) 的图象相同。如(1)已知函数 y ? f ( x) 的图象过点(1,1),那 2x ? 3 么 f ? 4 ? x ? 的反函数的图象一定经过点_____(答: (1,3) ) ; (2)已知函数 f ( x) ? , x ?1 7 ?1 若函数 y ? g ( x) 与 y ? f ( x ? 1) 的图象关于直线 y ? x 对称,求 g (3) 的值(答: ) ; 2
4 ?1 ( x) ? 4 x ?1 的解 x ? ______(答:1) ; (2)设函数 f(x)的图象关于点(1,2)对称,且存在反函数 f ( x) ,
③ f (a) ? b ? f
?1

(b) ? a 。如(1)已知函数 f ( x) ? log 3 ( ? 2 ) ,则方程 f
(答:-2)

f (4)=0,则 f

?1

(4) =

④互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。 如已知 f ? x ? 是 R 上的增函数, 点 A ? ?1,1? , B ?1,3? 在它的图象上, f ?1 ? x ? 是它的反函数,那么不等式 f ?1 ? log2 x ? ? 1 的解集 为________(答: (2,8) ) ; ⑤设 f ( x) 的定义域为 A,值域为 B,则有 f [ f
?1

( x)] ? x( x ? B) , f ?1[ f ( x)] ? x

( x ? A) ,但 f [ f ?1 ( x)] ? f ?1[ f ( x)] 。
9.函数的奇偶性。 (1)具有奇偶性的函数的定义域的特征:定义域必须关于原点对称!为此确定函数的 奇偶性时,务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如若函数 f ( x) ? 2sin(3x ? ? ) ,

x ?[2? ? 5? ,3? ] 为奇函数,其中 ? ? (0,2? ) ,则 ? ? ? 的值是 (答:0) ;
(2)确定函数奇偶性的常用方法(若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断 其奇偶性) : ①定义法:如判断函数 y ?

| x ? 4 | ?4 9 ? x2

的奇偶性____(答:奇函数) 。

②利用函数奇偶性定义的等价形式: f ( x) ? f (? x) ? 0 或

f (? x) ? ?1 ( f ( x ) ? 0 ) 。如 f ( x)

4

判断 f ( x) ? x(

1 1 ? ) 的奇偶性___.(答:偶函数) 2 ?1 2
x

③图像法:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于 y 轴对称。 (3)函数奇偶性的性质: ①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性, 则其单调性完全相同; 偶函数在关于原 点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反. ②如果奇函数有反函数,那么其反函数一定还是奇函数. ③若 f ( x) 为偶函数,则 f (? x) ? f ( x) ? f (| x |) .如若定义在 R 上的偶函数 f ( x) 在

1 (??, 0) 上 是 减 函 数 , 且 f ( ) =2 , 则 不 等 式 f (log 1 x) ? 2 的 解 集 为 ______. ( 答 : 3 8 ( 0, 0 . 5) ( ?? 2, )) ④若奇函数 f ( x) 定义域中含有 0,则必有 f (0) ? 0 .故 f (0) ? 0 是 f ( x) 为奇函数的既
不充分也不必要条件。如若 f ( x) ?

a · 2x ? a ? 2 为奇函数,则实数 a =____(答:1). 2x ? 1

⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数, 都可表示成 “一个奇函数与一个偶函数 f ( x) ? f (? x) 的和(或差) ” 。 如 设 f ( x) 是 定 义 域 为 R 的 任 一 函 数 , F ( x ) ? , 2

f ( x) ? f (? x) x 。①判断 F ( x) 与 G( x) 的奇偶性; ②若将函数 f ( x) ? lg(10 ? 1) , 2 表示成一个奇函数 g ( x) 和一个偶函数 h( x) 之和,则 g ( x) =____(答:① F ( x) 为偶函数, 1 G( x) 为奇函数;② g ( x) = x ) 2 G ( x) ?
⑥复合函数的奇偶性特点是: “内偶则偶,内奇同外”. ⑦既奇又偶函数有无穷多个( f ( x) ? 0 ,定义域是关于原点对称的任意一个数集). 10.函数的单调性。 (1)确定函数的单调性或单调区间的常用方法: ①在解答题中常用: 定义法 (取值――作差――变形――定号) 、 导数法 (在区间 ( a, b) 内,若总有 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为增函数;反之,若 f ( x) 在区间 ( a, b) 内为增函数,则
3 请注意两者的区别所在。 如已知函数 f ( x) ? x ? ax 在区间 [1, ??) 上是增函数, f ?( x) ? 0 , 则 a 的取值范围是____(答: (0,3] )); b ②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等,特别要注意 y ? ax ? (a ? 0 x b b b ? 0) 型函数的图象和单调性在解题中的运用:增区间为 ( ??, ? ],[ , ?? ) ,减区间为 a a

b b , 0), (0, ] .如(1)若函数 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间(-∞,4] 上是减函 a a ax ? 1 数,那么实数 a 的取值范围是______(答: a ? ?3 ));(2)已知函数 f ( x) ? 在区 x?2 1 间 ? ?2, ?? ? 上为增函数,则实数 a 的取值范围_____(答: ( , ??) );(3)若函数 2 a ? ? f ? x ? ? log a ? x ? ? 4 ? ? a ? 0, 且a ? 1? 的值域为 R,则实数 a 的取值范围是______(答: x ? ? 0 ? a ? 4 且 a ? 1 )); [?

5

③复合函数法:复合函数单调性的特点是同增异减,如函数 y ? log 1 ? x 2 ? 2 x 的单
2

?

?

调递增区间是________(答:(1,2))。
2 (2)特别提醒:求单调区间时,一是勿忘定义域,如若函数 f ( x) ? log a ( x ? ax ? 3)

在区间 (??, ] 上为减函数,求 a 的取值范围(答: (1, 2 3) );二是在多个单调区间之间 不一定能添加符号“ ”和“或”;三是单调区间应该用区间表示,不能用集合或不等式表 示. (3)你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?(①比较大小;②解不等式;③求参数 范围).如已知奇函数 f ( x) 是定义在 (?2,2) 上的减函数,若 f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ? 0 ,求 实数 m 的取值范围。(答: ?

a 2

1 2 ?m? ) 2 3

11. 常见的图象变换 ①函数 y ? f ?x ? a ? (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ? x ? 的图象沿 x 轴向左平移 a 个单 位得到的。如设 f ( x) ? 2 , g ( x) 的图像与 f ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称, h( x) 的图像 由 g ( x) 的图像向右平移 1 个单位得到,则 h( x) 为__________(答: h( x) ? ? log 2 ( x ? 1) )
2 ?x

②函数 y ? f ?x ? a ? ( (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ? x ? 的图象沿 x 轴向右平移 a 个单

位得到的。如(1)若 f ( x ? 199) ? 4 x ? 4 x ? 3 ,则函数 f ( x) 的最小值为____(答:2); (2) 要得到 y ? lg(3 ? x) 的图像,只需作 y ? lg x 关于_____轴对称的图像,再向____平移 3 个 单位而得到(答: y ;右); (3)函数 f ( x) ? x ? lg( x ? 2) ?1 的图象与 x 轴的交点个数有____ 个(答:2) ③函数 y ? f ? x ? + a (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ? x ? 助图象沿 y 轴向上平移 a 个单 位得到的;

④函数 y ? f ? x ? + a (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ? x ? 助图象沿 y 轴向下平移 a 个单

b ? a 的图象向右平移 2 个单位后又向下平移 2 个单位,所得图 x?a 象 如 果 与 原 图 象 关 于 直 线 y ? x 对 称 , 那 么 ( A)a ? ?1, b ? 0 ( B)a ? ?1, b ? R (答:C) (C )a ? 1, b ? 0 ( D)a ? 0, b ? R 1 ⑤函数 y ? f ?ax ? (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ? x ? 的图象沿 x 轴伸缩为原来的 得 a 1 到的。如(1)将函数 y ? f ( x) 的图像上所有点的横坐标变为原来的 (纵坐标不变) ,再 3 将此图像沿 x 轴方向向左平移 2 个单位, 所得图像对应的函数为_____(答: f (3x ? 6) ); (2) 1 如若函数 y ? f (2x ?1) 是偶函数, 则函数 y ? f (2 x) 的对称轴方程是_______(答: x ? ? ). 2 ⑥函数 y ? af ?x ? (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ? x ? 的图象沿 y 轴伸缩为原来的 a 倍得
位得到的;如将函数 y ? 到的. 12. 函数的对称性。

a?b 对称。 如已知二次函 2 2 数 f ( x) ? ax ? bx(a ? 0) 满足条件 f (5 ? x) ? f ( x ? 3) 且方程 f ( x) ? x 有等根, 则 f ( x) 1 2 =_____(答: ? x ? x ); 2 ②点 ( x, y ) 关于 y 轴的对称点为 (? x, y ) ;函数 y ? f ? x ? 关于 y 轴的对称曲线方程为
①满足条件 f ? x ? a ? ? f ?b ? x ? 的函数的图象关于直线 x ?
6

y ? f ?? x ? ; ③点 ( x, y ) 关于 x 轴的对称点为 ( x, ? y ) ;函数 y ? f ? x ? 关于 x 轴的对称曲线方程为 y ? ? f ?x ? ; ④点 ( x, y ) 关于原点的对称点为 (? x, ? y) ;函数 y ? f ? x ? 关于原点的对称曲线方程为 y ? ? f ?? x ? ; ⑤点 ( x, y ) 关于直线 y ? ? x ? a 的对称点为 (?( y ? a), ? x ? a) ;曲线 f ( x, y) ? 0 关于 直线 y ? ? x ? a 的对称曲线的方程为 f (?( y ? a), ? x ? a) ? 0 。特别地,点 ( x, y ) 关于直线 y ? x 的对称点为 ( y, x) ;曲线 f ( x, y) ? 0 关于直线 y ? x 的对称曲线的方程为 f ( y, x) ) 关于直线 y ? ? x 的对称点为 (? y, ? x) ;曲线 f ( x, y) ? 0 关于直线 y ? ? x 的 ? 0 ;点 ( x, y x ?3 3 对称曲线的方程为 f (? y, ? x) ? 0 。如己知函数 f ( x) ? , ( x ? ) ,若 y ? f ( x ? 1) 的 2x ? 3 2 C , C 图像是 C1 ,它关于直线 y ? x 对称图像是 2 2 关于原点对称的图像为 C 3 , 则C 3 对应的函 x?2 数解析式是___________(答: y ? ? ) ; 2x ?1 ⑥曲线 f ( x, y) ? 0 关于点 ( a, b) 的对称曲线的方程为 f (2a ? x, 2b ? y) ? 0 。如若函数
y ? x 2 ? x 与 y ? g ( x) 的图象关于点(-2,3)对称,则 g ( x) =______(答:? x 2 ? 7 x ? 6 ) ⑦形如 y ? ax ? b (c ? 0, ad ? bc) 的图像是双曲线,其两渐近线分别直线 x ? ? d cx ? d c (由分母为零确定)和直线 y ? a (由分子、分母中 x 的系数确定),对称中心是点 ( ? d , a ) 。 c c c 2 ? ? C : y ( x ? a ? 1) ? ax ? a ? 1 如已知函数图象 C 与 关于直线 y ? x 对称,且图象 C 关于点
(2,-3)对称,则 a 的值为______(答:2) ⑧ | f ( x) | 的图象先保留 f ( x) 原来在 x 轴上方的图象, 作出 x 轴下方的图象关于 x 轴的 对称图形,然后擦去 x 轴下方的图象得到; f (| x |) 的图象先保留 f ( x) 在 y 轴右方的图象, 擦去 y 轴左方的图象,然后作出 y 轴右方的图象关于 y 轴的对称图形得到。如(1)作出函 数 y ?| log 2 ( x ? 1) | 及 y ? log 2 | x ? 1| 的图象; (2)若函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 则函数 F ( x) ? f ( x) ? f ( x ) 的图象关于____对称 (答: y 轴) 提醒: (1)从结论②③④⑤⑥可看出,求对称曲线方程的问题,实质上是利用代入法转 化为求点的对称问题; (2)证明函数图像的对称性,即证明图像上任一点关于对称中心(对 称轴)的对称点仍在图像上; (3)证明图像 C1 与 C 2 的对称性,需证两方面:①证明 C1 上 任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在 C 2 上;②证明 C 2 上任意点关于对称中心(对

x ?1? a (a ? R) 。求证:函数 f ( x) a?x 3 的图像关于点 M (a, ?1) 成中心对称图形; (2)设曲线 C 的方程是 y ? x ? x ,将 C 沿 x 轴, y 轴 正 方 向 分 别 平 行 移 动 t , s 单 位 长 度 后 得 曲 线 C1 。 ① 写 出 曲 线 C1 的 方 程 ( 答 :
称轴)的对称点仍在 C1 上。如(1)已知函数 f ( x) ?

?t s? y ? ( x ? t )3 ? ( x ? t ) ? s ) ;②证明曲线 C 与 C1 关于点 A? , ? 对称。 ? 2 2?
13. 函数的周期性。 (1)类比“三角函数图像”得: ①若 y ? f ( x) 图像有两条对称轴 x ? a, x ? b(a ? b) ,则 y ? f ( x) 必是周期函数,且 一周期为 T ? 2 | a ? b | ; ②若 y ? f ( x) 图像有两个对称中心 A(a,0), B(b,0)(a ? b) ,则 y ? f ( x) 是周期函数, 且一周期为 T ? 2 | a ? b | ;
7

③如果函数 y ? f ( x) 的图像有一个对称中心 A(a, 0) 和一条对称轴 x ? b(a ? b) ,则函数 y ? f ( x) 必是周期函数,且一周期为 T ? 4 | a ? b | ; 如已知定义在 R 上的函数 f ( x) 是以 2 为周期的奇函数,则方程 f ( x) ? 0 在 [?2, 2] 上 至少有__________个实数根(答:5) (2) 由周期函数的定义 “函数 f ( x) 满足 f ?x ? ? f ?a ? x ? (a ? 0) , 则 f ( x) 是周期为 a 的周期函数”得: ①函数 f ( x) 满足 ? f ?x ? ? f ?a ? x ? ,则 f ( x) 是周期为 2 a 的周期函数;

1 (a ? 0) 恒成立,则 T ? 2a ; f ( x) 1 (a ? 0) 恒成立,则 T ? 2a . ③若 f ( x ? a ) ? ? f ( x) 如 (1) 设 f ( x) 是 (??,??) 上 的 奇 函 数 , f ( x ? 2) ? ? f ( x) , 当 0 ? x ? 1 时 , f ( x) ? x , 则 f (47.5) 等 于 _____( 答 : ? 0.5 ) ; (2) 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f ( x) 满 足 f ( x ? 2)? f ( x ), 且 在 [?3, ?2] 上 是 减 函 数 , 若 ? , ? 是 锐 角 三 角 形 的 两 个 内 角 , 则 (3)已知 f ( x) 是 f (sin ? ), f (cos ? ) 的大小关系为_________(答: f (sin ? ) ? f (cos ? ) );
②若 f ( x ? a ) ? 偶函数,且 f (1) =993, g ( x) = f ( x ? 1) 是奇函数,求 f (2005) 的值(答:993); (4)设 f ? x ? 是 定 义 域 为 R 的 函 数 , 且 f ? x ? 2? ? ?1 ? f ? x ?? ? ? 1 ? f ? x ? , 又 f ? 2? ? 2?

2,则

f ? 2006? =
m

(答:
?m n

2 ?2 ) 2

14.指数式、对数式:

log a 1 ? 0 , log a a ? 1 , log e x ? ln x , a0 ? 1 , , , lg 2 ? lg 5 ? 1 , ? 1 m n a b a ? N ? log a N ? b(a ? 0, a ? 1, N ? 0) , a loga N ? N , log a b ? log c b ,

a n ? n am , a

log c a

1 log n (2) ( ) log a b 。如(1) log 2 25 log 3 4 log 5 9 的值为________(答:8); 2 m 1 的值为________(答: ) 64
log am bn ?

2

8

15. 指数、对数值的大小比较: (1)化同底后利用函数的单调性; (2)作差或作商法; (3)利用中间量(0 或 1) ; (4)化同指数(或同真数)后利用图象比较。 16. 函数的应用。 (1)求解数学应用题的一般步骤:①审题――认真读题,确切理解题 意,明确问题的实际背景,寻找各量之间的内存联系;②建模――通过抽象概括,将实际问 题转化为相应的数学问题,别忘了注上符合实际意义的定义域;③解模――求解所得的数 学问题;④回归――将所解得的数学结果,回归到实际问题中去。 (2)常见的函数模型有: ①建立一次函数或二次函数模型;②建立分段函数模型;③建立指数函数模型;④建立

b y ? ax ? 型。 x
17. 抽象函数: 抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式, 只给出了其它一些条 件(如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等)的函数问题。求解抽象函数问题的 常用方法是: (1)借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 : ①正比例函数型: f ( x) ? kx(k ? 0) --------------- f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y) ; ②幂函数型: f ( x) ? x
2

-------------- f ( xy ) ? f ( x) f ( y) , f ( ) ?

x y

f ( x) ; f ( y)

8

③指数函数型: f ( x) ? a

x

------------ f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) , f ( x ? y ) ?

f ( x) ; f ( y)

④对数函数型: f ( x ) ? log a x ----- f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) , f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) ;

x y

f ( x) ? f ( y ) 。如已知 f ( x) 是定义在 1 ? f ( x) f ( y ) T R 上的奇函数,且为周期函数,若它的最小正周期为 T,则 f (? ) ? ____(答:0) 2
⑤三角函数型: f ( x) ? tan x ----- f ( x ? y ) ? (2)利用函数的性质(如奇偶性、单调性、周期性、对称性等)进行演绎探究:如(1) 设函数 f ( x)( x ? N ) 表示 x 除以 3 的余数, 则对任意的 x, y ? N , 都有 A、f ( x ? 3) ? f ( x) B、 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) C、 f (3x) ? 3 f ( x) D、 f ( xy) ? f ( x) f ( y) (答:A) ; (2 ) 设 f ( x) 是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 函 数 , 且 满 足 f ( x ? 2) ? f ( x ? 1) ? f ( x) , 如 果

3 , f (2) ? lg 15 ,求 f (2001) (答:1) ; (3)如设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函 2 数,且 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,证明:直线 x ? 1 是函数 f ( x) 图象的一条对称轴; (4)已知定 义域为 R 的函数 f ( x) 满足 f (? x) ? ? f ( x ? 4) ,且当 x ? 2 时, f ( x) 单调递增。如果 x1 ? x2 ? 4 ,且 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? 0 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的值的符号是____(答:负数) (3)利用一些方法(如赋值法(令 x =0 或 1,求出 f (0) 或 f (1) 、令 y ? x 或 y ? ? x 等) 、递推法、反证法等)进行逻辑探究。如(1)若 x ? R , f ( x) 满足 f ( x ? y) ? f ( x) 则 f ( x) 的奇偶性是______ (答: 奇函数) ; (2) 若 x ? R , f ( x) 满足 f ( xy ) ? f ( x) ? f ( y) , ; (3)已 ? f ( y) ,则 f ( x) 的奇偶性是______(答:偶函数) y 知 f ( x) 是定义在 (?3,3) 上的奇函数, 当 0 ? x ? 3 时,f ( x) 的 图 像 如 右 图 所 示 , 那 么 不 等 式 f ( x) c o sx? 0 的解集是 f (1) ? lg
_____________ (答: (? ; (4) 设 f ( x) , ?1) (0,1) ( ,3) ) O 1 2 3 2 2 ? ? 的 定 义 域 为 R , 对 任 意 x, y ? R , 都 有 x 1 f( ? ) f (? x ) f,且 ( y x)? 1 时, f ( x) ? 0 ,又 f ( ) ? 1 , y 2 ①求证 f ( x) 为减函数;②解不等式 f ( x) ? f (5 ? x) ? ?2 .(答: ? 0,1? ? 4,5? ) .

?

?

x

9


赞助商链接

更多相关文章:
...概念方法题型易误点及应试技巧总结(二)函数
高考备战冲刺指导)高考数学必胜秘诀在哪?――概念方法题型、易误点 ――概念方法题型易误点及应试技巧总结 概念二函数 1.映射 f : A → B 的...
...方法题型易误点及应试技巧总结(十四)高考数学选...
――概念方法题型易误点及应试技巧总结(十四)高考数学选择题的解题策略。...在第二象限角内通过余弦函数线 cosα >cosβ 找出α 、β 的终边位置关系,...
...在哪――概念方法题型易误点及应试技巧总结(...
高考数学必胜秘诀在哪――概念方法题型易误点及应试技巧总结(四)三角函数 - 京翰教育中心 http://www.zgjhjy.com 高考数学必胜秘诀在哪? 高考数学必胜秘诀...
1高考函数概念方法题型易误点及应试技巧总结函数
1高考函数概念方法题型易误点及应试技巧总结函数_数学_高中教育_教育专区。数概念方法题型易误点及应试技巧总结 1. 映射 f : A ?B 的概念。在理解...
2012高考函数概念方法题型易误点及应试技巧总结函数
2012高考函数概念方法题型易误点及应试技巧总结函数_数学_高中教育_教育专区。概念方法题型、易误点 函 数概念方法题型易误点及应试技巧总结 1.映...
概念方法题型易误点及应试技巧总结(2)函数
概念方法题型易误点及应试技巧总结(2)函数 高三复习高三复习隐藏>> 高考数学必胜秘诀( ) 高考数学必胜秘诀(2) 函 数 1.映射 f : A → B 的概念 映...
...在哪――概念方法题型易误点及应试技巧总结
高考数学必胜秘诀在哪? ――概念方法题型易误点及应试技巧总结二函数 1.映射 f : A ?B 的概念。在理解映射概念时要注意:⑴A 中元素必须都有象且...
...哪?――概念方法题型易误点及应试技巧总结(二...
――概念方法题型易误点及应试技巧总结(二)函数_数学_高中教育_教育专区。高考数学必胜秘诀在哪? ――概念方法题型易误点及应试 技巧总结二函数 1...
函数概念方法题型易误点及应试技巧总结
函数概念方法题型易误点及应试技巧总结】。概念方法题型、易误点及...(高考备战冲刺指导)数_列... 8页 免费 免费-高考数学专题-函 数... 12页...
高考数学概念方法题型易误点及应试技巧总结(选择...
高考数学概念方法题型易误点及应试技巧总结(选择题的解题策略) - 高分网 www.gaofen.com 高考数学必胜秘诀在哪? 高考数学必胜秘诀在哪? 数学必胜秘诀在哪 ...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图